Исследования Хилла по теории Луны

41. Имеется частный случай, когда решения первого сорта упрощаются. Это тот случай, когда одна из масс, например масса бесконечно мала.

Поскольку движение С относительно А остается тогда кеплеровым, симметричное соединение может произойти, лишь когда С проходит перигелий или афелий, если только движение С не круговое. Но долгота симметричного соединения должна тогда отличаться от долготы симметричного противостояния, которое за ним немедленно следует, на угол, кратный . Однако так может быть, только если целое, а это как раз тот случай, который мы исключили. Следовательно, мы должны заключить, что движение С является круговым.

Положение еще больше упрощается, если предположить, что масса С намного больше массы А и что расстояние очень велико (что как раз имеет место в теории Луны). Если мы предположим бесконечно большим и массу С бесконечно большой, так, чтобы угловая скорость С на ее орбите оставалась конечной; если в то же время отнести массу В к двум подвижным осям, а именно к оси Асовпадающей с и оси перпендикулярной первой, то уравнения движения, как было показано Хиллом, примут вид

где угловая скорость С.

Периодические решения первого сорта все еще существуют в этом случае и являются теми решениями, существование которых первым установил Хилл, как я уже заметил выше.

Они допускают симметричные соединения и противостояния, которые могут иметь место лишь на оси Но они также допускают другие весьма важные конфигурации, которые можно было бы назвать симметричными квадратурами; в этих конфигурациях угол прямой и скорость точки В относительно точки А перпендикулярна В А.

Действительно, уравнения столь симметричны, что они не изменяются при замене на Периодические решения, следовательно, не должны изменяться при замене на Следовательно, если рассматривать относительную траекторию точки В по отношению к системе подвижных осей то эта траектория является замкнутой кривой (поскольку решение периодическое), которая симметрична одновременно и относительно и относительно

Если, наоборот, предполагая движение С круговым и беря за ось прямую не предполагать расстояние бесконечным (если, другими словами, в теории Луны учитывать параллакс Солнца, продолжая пренебрегать наклонением орбит и экцентриситетом Солнца), то эта относительная траектория была бы замкнутой кривой, симметричной относительно оси но она не была бы симметричной относительно оси

Уравнения (1) имеют интеграл, который записывается в виде

Хилл изучил, как изменяются решения первого сорта при увеличении он установил, что относительная траектория является замкнутой симметричной кривой, форма которой напоминает в грубом приближении форму эллипса, большой осью которого является ось Когда С очень мало, эллипс подобного рода очень мало отличается от окружности и его эксцентриситет быстро растет вместе с С. Для больших значений С кривая начинает сильно отличаться от эллипса, но отношение большой оси к малой продолжает расти вместе с наконец, для некоторого значения С, которое я буду называть , кривая будет иметь две точки возврата, расположенные на оси Это то, что Хилл называет орбитой «Луны наибольшей лунации» (Moon of maximum lunation). Его вычисления, основанные то на использовании рядов, то на использовании механических квадратур, слишком длинны, чтобы приводить их здесь; я замечу только, что Хилл точно построил кривую для различных значений С, в частности для случая Не может быть ни малейшей тени сомнения по поводу точности его результатов.

Нетрудно отдать себе отчет в значении этих точек возврата, Я предполагаю, что в некоторый момент скорость массы В по отношению к

подвижным осям станет равной нулю, так что одновременно

ясно, что относительная траектория будет иметь точку возврата. Именно это происходит в случае «Луны наибольшей лупации» Хилла. Хилл говорит далее следующее:

«The moon of the last line (т. e.

«Луна наибольшей лунации») s, of the class of satellites considered in this Chapter, that which, having the longest lunation, is still able to appear at all angles with the Sun and then undergo all possible phases. Whether this class of satellites is properly to be prolonged beyond this Moon, can only be decided by further employment of mechanical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures and that the Moons describing them would make oscillations to and for, never departing as much as 90° from the points of conjunction or of opposition».

Со стороны автора это всего лишь простая интуиция, не основанная ни на каком рассуждении или вычислении. Простые рассмотрения аналитического продолжения позволяют мне утверждать, что эта интуиция его обманула [16].

Можно прежде всего задать вопрос, существуют ли периодические решения первого сорта при другими словами, может ли класс спутников, изученный Хиллом, быть продолжен за орбиту «Луны наибольшей лунации»?

Предположим с этой целью, что в начальный момент времени масса В (т. е. Луна) находится в квадратуре (на оси и что ее скорость относительно подвижных осей перпендикулярна к оси

Я обозначу через начальные значения переменных . В случае хилловой «Луны наибольшей лунации» имеем

и я обозначу через соответствующее значение

По истечении времени Т, равного четверти периода, эта Луна будет находиться в симметричном соединении и будут выполняться равенства

Рассмотрим теперь другое частное решение наших дифференциальных уравнений и пусть

— начальные значения

так что в начальный момент времени имеет место симметричная квадратура. Рассмотрим значения по истечении времени и пусть

будут разлагаться в ряд по степеням и обратятся в нуль при

Если

то по истечении времени произойдет симметричное соединение и решение будет, периодическим с периодом

Из уравнений (2) можно выразить в виде функций от будут разлагаться в ряд по степеням

В силу п. 30 исключением будет лишь тот случай, когда функциональный определитель по обращается в нуль в точности при

Представляется крайне невероятным, чтобы дело обстояло так; однако могли бы еще оставаться некоторые сомнения, если бы механические квадратуры Хилла не доказывали обратное. В самом деле, вот как Хилл действовал, чтобы определить Он вычислил для различных значений Т и функции

а затем определил с помощью интерполяции то значения при которых эти функции обращаются в нуль. Если бы функциональный определитель обращался в нуль в точности для этих значений, обычная интерполяция была бы невозможной. Следовательно, мы должны заключить, что открытый Хиллом класс спутников может быть продолжен за пределы «Луны наибольшей лунации».

Какой же становится за пределами этой Луны форма орбиты? Величины зависят от времени и параметра так как другое начальное значение задано как функция от в силу уравнений (2).

Если достаточно малы, могут быть разложены в ряд по степеням этих двух переменных. Более того, из соображений симметрии будет содержать лишь нечетные степени будет содержать лишь четные степени Следовательно,

где начальное значение производной

Если достаточно малы, я могу без ощутимой погрешности ограничить ряд его двумя первыми членами; кроме того, разлагается в ряд по возрастающим степеням но так как очень мало, я могу ограничиться вначением которое эта величина принимает при Но при имеем

отсюда следует

Для рассмотренных Хиллом Лун, у которых «лунации» меньше, чем у «Луны наибольшей лунации», величина отрицательна, оба члена правой части (3) одного и того же знака и не может обращаться в нуль при весьма малых значениях за исключением значения .

Рис. 1

Напротив, для новых спутников, о которых идет речь и которые встречаются за орбитой «Луны наибольшей лунации», положительно, а обращается в нуль при

Следовательно, имеются три очень малых значения при которых обращается в нуль, т. е. три квадратуры в очень близкие моменты времени.

Итак, относительная траектория при имеет форму, представленную на рис. 1.

В течение одного периода масса В находится шесть раз в квадратуре, так как ее относительная траектория пересекает ось в двух двойных точках и двух простых.

Таким образом, Хилл ошибается, полагая, что этот род спутников никогда не находится в квадратуре; имеются, напротив, три квадратуры между двумя последовательными сизигиями.

Это не значит, что не существует периодических решений, при которых масса В никогда не может быть в квадратуре: мы их изучим в дальнейшем, в п. 52; но эти решения не являются аналитическим продолжением тех, основополагающее исследование которых проделал Хилл в «American Journal of Mathematics».

Те же результаты остаются справедливыми, если не пренебрегать параллаксом Солнца, за исключением того, что симметрия относительно оси исчезает.