Прямое доказательство сходимости

45. Может быть полезным знание прямого доказательства сходимости рядов, которые мы построили и существование и сходимость которых мы предварительно доказали в п. 28. Я дам сначала это прямое доказательство в частном случае. Пусть

— дифференциальное уравнение. Мы видели в п. 2, что это уравнение (изученное Гильденом и затем Линдштедтом в работах о небесной механике) может рассматриваться как частный случай уравнений динамики всего с двумя степенями свободы.

Я предположу, что можно разложить в ряд по степеням у:

где функции х, периодические с периодом . Я предположу, что среднее значение равно нулю.

Попытаюсь теперь разложить у в ряд по степеням так что

Подставляя это значение у в получаем

и дифференциальные уравнения принимают вид

Мы хотим, чтобы были периодическими функциями х. Это возможно, если средние значения правых частей равны нулю, т. е.

Первое условие выполняется само собой, так как

С другой стороны, получаем

причем зависит лишь от

Пусть среднее значение положим

так что периодическая функция х, среднее значение которой равно нулю.

Представил! себе теперь, что мы уже определили

и, следовательно, также и что нам надо вычислить

Соотношение можно записать в виде

В этом уравнении можно считать известными, поскольку величины (2) известны; постоянная известна; можно, следовательно, найти

Имеет место равенство

Если положить

то получим

Следовательно, и у могут быть вычислены рекуррентно.

Отсюда следует, что если периодическая функция х, такая, что (в обозначениях п. 20, дополненных в п. 35) имеем

то

В дальнейшем мы будем писать

так что

Пусть теперь функция х и у того же вида, что и т. е.

где периодические функции х и, кроме того, предположим, что

Если затем положить

то получим

Положим также

откуда

Запишем, наконец,

Пусть теперь три неизвестные функции, связанные соотношением

и разложенные в ряд по степеням так что

Определим эти функции следующими уравнениями:

Сначала найдем

и так как, с другой стороны, мы имеем

то заключаем

Затем находим

и, с другой стороны,

откуда

Затем получим

и, с другой стороны,

откуда

затем

и, с другой стороны,

откуда

и т. д. Закон очевиден, и мы получим

и

Следовательно, если ряд

сходится, то ряд

сходится a fortiori. Остается установить, что ряд у сходится или, что то же самое, что уравнения (3) могут быть разрешены относительно

Но функциональный определитель, соответствующий уравнениям (3), может быть записан в виде

и его значение при равно 1. Следовательно, он не равен нулю, и таким образом по теореме п. 30 уравнения (3) могут быть разрешены.

Итак, ряд (4) сходится, что и требовалось доказать.

Уравнения, рассмотренные в этом пункте, являются частным случаем тех, которые были предметом обсуждения предыдущего пункта. В общем случае может быть дано аналогичное непосредственное доказательство сходимости. Мы вернемся к этому в дальнейшем.