Приложение к задаче трех тел
30. Допускает ли задача трех тел периодические решения? Будем снова пользоваться обозначениями п. 11 и обозначим три массы через 
Если положить 
т. е. если две малые массы считать равными пулю, то большая масса будет неподвижной и каждая из двух малых масс будет описывать вокруг большой кеплеров эллипс.
Тогда ясно, что если средние движения этих двух малых масс соизмеримы между собой, то вся система через некоторое время придет в начальное положение и, следовательно, решение будет периодическим.
Но это еще не все: вместо того, чтобы отнести три массы к неподвижным осям (или же подвижным, остающимся всегда параллельными
неподвижным осям, как в п. 11), можно их отнести к подвижным осям, находящимся в равномерном вращательном движении.
Тогда может оказаться, что координаты трех масс относительно неподвижных осей не будут периодическими функциями времени, в то время как координаты относительно подвижных осей будут, напротив, периодическими функциями времени (ср. п. 36).
Предположим теперь, что 
две малые массы будут описывать кеплеровы эллипсы. Предположим также, что оба эти эллипса будут лежать в одной плоскости, например, в плоскости 
и что их эксцентриситеты равны нулю. Движение двух малых масс будет тогда круговым и равномерным. Пусть 
средние движения этих двух масс 
Предположим, что за начальный момент времени было выбрано соединение, причем начальные долготы обеих масс равны нулю.
По прошествии времени 
эти долготы станут соответственно 
и их разность будет равна 
Так как две массы находятся в соединении, взаимное расположение всех трех тел будет то же, что и в начале. Но только вся система повернулась на угол, равный 
Итак, если пользоваться системой координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью 
то координаты трех тел относительно этих подвижных осей будут периодическими функциями времени с периодом 
С этой точки зрения и в силу того, что мы говорили в конце п. 36, это решение можно рассматривать как периодическое.
Итак, в предельном случае, когда 
задача трех тел допускает периодические решения. Имеем ли мы право отсюда заключить, что периодические решения существуют и при малых значениях 
Именно к этому заключению позволяют нам прийти принципы пунктов 37 и 38.
Первыхм периодическим решением, которое было обнаружено в случае 
, было решение, открытое Лагранжем; при этом три тела описывали подобные кеплеровы эллипсы, в то время как их взаимные расстояния сохраняли постоянное отношение (ср.: Laplace. Mecanique celeste, livre X, Cliap. VI). Этот случай слишком хорошо изучен, чтобы к нему возвращаться.
Хилл в своих знаменитых исследованиях о теории Луны («American Journal of Mathematics», t. I) [14] изучил другой случай, важность которого с практической точки зрения значительно больше.
Я вернулся к этому вопросу в «Bulletin astronomique» (t. I, p. 65) [15] и пришел к заключению, что надо различать три сорта периодических решений: для решений первого сорта наклонения равны нулю, а эксцентриситеты очень малы, для решений второго сорта наклонения равны нулю и эксцентриситеты конечны. Наконец, для решений третьего сорта наклонения не равны нулю.
Во всех этих случаях взаимные расстояния трех тел являются периодическими функциями времени; в конце каждого периода все три тела
находятся всегда в одном и том же относительном положении, только вся система поворачивается на некоторый угол. Для того чтобы координаты трех тел были периодическими функциями времени, их надо относить к системе подвижных осей, совершающей равномерное вращательное движение.
Скорость этого вращательного движения конечна для решений первого сорта и очень мала для решений второго и третьего сорта.
