КОММЕНТАРИЙ II

За последние годы издан и переиздан целый ряд монографий и учебников по различным разделам небесной механики. Не претендуя на полноту, укажем лишь на некоторые из них, в которых можно найти сведения о круге вопросов, затрагиваемых во втором томе сочинения А. Пуанкаре.

Л. Пуанкаре. Лекции по небесной механике (1905—1909). М., изд-во «Наука», 1965.

К. Шарлье. Небесная механика (1927). М., изд-во «Наука», 1966.

А.    Уинтнер. Аналитические основы небесной механики. М., изд-во «Наука». 1967 (в англ. оригинале книга издана в 1941 г.).

К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике (1956). М., ИЛ, 1959.

Д. Брауэр и Д ж. Клеменс. Методы небесной механики. М., изд-во «Мир», 1964.

Г. А. Чеботарев. Аналитические и численные методы небесной механики. М.— Л., изд-во «Наука», 1965.

В последних двух монографиях приведены обширные исторические и литературные ссылки по практическим методам расчета планетных движений, применяемых в небесной механике.

Наконец, нельзя не упомянуть о давно ставшей библиографической редкостью книге: Дж. (Г.) Д. Биркгоф. Динамические системы (1927). М.— Л., ГИТТЛ, 1941, послужившей отправной точкой для многих упоминаемых в наших комментариях исследований.

Во втором томе «Новых методов небесной механики» А. Пуанкаре излагает методы, позволяющие представить решение задач пебесной механики в виде бесконечных тригонометрических рядов.

Сама идея разложения в бесконечный ряд была к тому времени далеко не новой, ею широко пользовались еще Ньютон и Эйлер, решая дифференциальные уравнения с помощью рядов Тейлора. Очевидно, однако, что ряды по степеням времени бесполезны для практических нужд астрономов. В самом деле, движения планет носят периодический характер, а предсказывать их нужно на протяжении многих периодов (например, на протяжении десятков лет — оборотов Земли вокруг Солнца). Для этой цели мало пригодна аппроксимация функции отрезком ее ряда Тейлора. Чтобы иметь возможность вычислить два верных знака синуса из разложения

на отрезке (немногим больше 15 периодов), не пользуясь при этом периодичностью, понадобится по самой грубой оценке не менее сотни членов.

Поэтому усилия многих поколений ученых были направлены на отыскание методов, с помощью которых можно было бы получить последовательно сколь угодно точные приближения к решению в виде суммы периодических функций. Эти методы получили название теории возмущений. В основе их лежит идея вариации произвольных постоянных, восходящая к Эйлеру и подробно развитая Лагранжем.

Теория возмущений планетных орбит позволила астрономам не только предсказывать с большой точностью движение известных нланет солнечной системы. Ее подлинным торжеством явилось открытие Нептуна, который был вычислен Адамсом Леворрье по возмущениям в движении Урана, которые нельзя было объяснить влиянием других планет.

Параллельно с решением прикладных задач — вычислением эфемерид — математики и астрономы всегда старались получить ответ и на вопросы теоретического

характера. В первую очередь здесь следует назвать вопрос об устойчивости солнечной системы. В 1773-1784 гг. Лагралж и Лаплас показали, что большие полуоси планетных орбит, равно как и эксцентриситеты и наклонения, испытывают лишь периодические изменения, если пренебречь возмущениями второго порядка, т. е. порядка квадрата отношения масс планет к массе Солнца (даже для самой большой планеты, Юпитера, это отношение имеет порядок Таким образом, размеры солнечной системы должны оставаться ограниченными вечно. Движения, траектории которых остаются в конечной области фазового пространства, получили впоследствии название устойчивых по Лагранжу.

В 1809 г. Пуассон продолжил эти исследования и показал, что и во втором приближении большие полуоси не содержат вековых членов (вида но включают сметанные члены Ясно, что решение, содержащее смешанный член, не будет устойчивым по Лагранжу, так как амплитуда такого члена неограниченно возрастает. Все же и здесь имеет место устойчивость в некотором ослабленном смысле, так как решение возвращается к своему начальному значению бесконечно много раз. Такое явление было названо Пуанкаре устойчивостью по Пуассону и в третьем томе данного сочинения продемонстрировано его значение для задач динамики.

Наконец, в 1878 г. Аретю показал, что в третьем приближении теории возмущений изменение больших полуосей должно содержать вековой член. Подробные вычисления третьего приближения провел недавно Ж. Мефруа, который и нашел явный вид этого векового члена (J. Меffгоу. Contribution a l’etude de la stabilite du systeme solai-re.- Bull. Astr., 1955, 19, № 1-3, p. 1—104, 105—195, 197—224).

Появление вековых и смешанных членов не всегда вызвано существом дела. Иногда причина коренится в неудачном выборе метода. В самом деле, в разложении по степеням

смешанный член возник из-за того, что мы пытаемся колебание с частотой разложить по колебаниям с частотой Достаточно изменить частоту и трудность мгновенно исчезает.

Идея вариации частот и легла в основу методов, появившихся во второй половине XIX в. на смену классическим методам теории возмущений Лагранжа и Лапласа и связанных с именами Ганзена, Делопе, Линдштедта, Гильдена, Ньюкома, Болина и др. Эти методы дали возможность избежать появления вековых и смешанных членов и представить тем самым решение в чисто тригонометрическом виде. Именно это обстоятельство особенно подчеркивает Пуанкаре, включая их в число «новых методов» в противовес «старой» теории возмущений.

Другая трудность теории возмущений связана с появлением в ее разложениях так называемых малых делителей или малых знаменателей. Дело в том, что в каждом приближении нам приходится интегрировать тригонометрические ряды, в которых аргументы под знаками синуса или косинуса имеют вид . При интегрировании члена такого ряда в знаменателе появляется сумма пктк. Если частоты почти соизмеримы, то некоторые из этих сумм оказываются малыми, а соответствующие члены большими. Со времен Лапласа известно «большое неравенство» в планетных движениях, связанное с тем, что отношение частот

обращения Сатурна и Юпитера (соответственно малы знаменатели, кратные

Открытие пояса астероидов и построение теории их движения особенно подняло интерес к проблеме малых делителей, так как, с одной стороны, среди астероидов встречаются такие, частоты обращения которых «остро соизмеримы» с частотой обращения Юпитера (Юпитер — троянцы, Юпитер — Гекуба, Юпитер — Гильда, и т. п.), а с другой — в распределении частот обращения всей массы астероидов обнаружились «люки»: частот, остро соизмеримых с частотой обращения Юпитера, много меньше, чем остальных. Явление «люков» было одним из первых указаний, что проблема малых делителей лежит в существе дела, а не является трудностью, порожденной неудачным методом.

Излагая новые методы теории возмущений, А. Пуанкаре отнюдь не стремился следовать изложению их авторов. Обобщив эти методы на широкий класс задач динамики, он показал прежде всего возможность провести их во всех приближениях. Затем он выяснил сферу применимости новых методов и проследил их взаимосвязи. На протяжении многих страниц он возвращается к одной и той же задаче, показывая предмет то с одной, то с другой стороны, стараясь не пропустить ни одного интересного явления.

Анализируя полученные разложения, Пуанкаре приходит к выводу о расходимости рядов теории возмущений «с точки зрения геометра», хотя первые их члены вполне удовлетворительны «с точки зрения астрономов». Попутно вводится понятие, известное теперь под названием «асимптотических рядов в смысле Пуанкаре».

Под влиянием этого открытия энтузиазм (особенно среди математиков) по отношению ко всей теории возмущений в целом в значительной степени ослаб. Оживился интерес к поискам решений в виде степенных рядов, и, наконец, в 1912 г. Зундман доказал, что решения задачи трех тел небесной механики (за исключением решений, заполняющих в фазовом пространстве многообразие меньшего числа измерений) представляются на всей временной оси в виде аналитических функций вспомогательного переменного. К сожалению, теорема Зундмана бесполезна с точки зрения практических вычислений ввиду крайне медленной) сходимости рядов. В 1931 г. французский астроном Белорицкий показал, что нужно взять членов в рядах Зундмана, чтобы добиться точности, необходимой для астрономов. Поэтому астрономы продолжали пользоваться для своих расчетов теорией возмущений, первые члены которой позволяют вполне удовлетворительно описать движение небесных тел.

С появлением быстродействующих электронных вычислительных машин классические аналитические методы небесной механики получили серьезного конкурента. Еще в 1950 г. в США было проведено численное интегрирование системы дифференциальных уравнений порядка, описывающей движение Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона вокруг Солнца на протяжении с 1650 по 2060 г. н. э. Вычисления велись с 14 знаками и их результаты показали прекрасное согласие с наблюдениями. Особенно велико преимущество электронных машин при расчете траекторий искусственных небесных тел, где обстановка меняется очень быстро и нет времени для построения аналитической теории. С этой же точки зрения по-новому ставится вопрос и об использовании степенных рядов, так как эти ряды и ряды полиномов, дающие сходимость на всей временной оси, оказываются здесь полезными.

Однако теория возмущений еще не сказала своего последнего слова. Прогнозирование движения искусственных спутников Земли (а теперь и спутников Луны) на промежутках времени порядка нескольких тысяч оборотов и качественный анализ эволюции их орбит поставили новые задачи, для решения которых успешно используются асимптотические методы, начало которым положил Пуанкаре. С другой стороны, чрезвычайно заманчивой представляется идея синтеза численных и аналитических методов. Построение аналитической теории движения планет связано со столь большим количеством выкладок, что выполнить их вручную — практически задача нереальная. Так как отдельные операции при этом более или менее стандартны (разложение в ряд, перемножение рядов, подстановка ряда в ряд и т. п.), то для их проведения можно использовать вычислительные машины. Эта идея уже реализована в ряде работ (В. А. Брумберг. Обобщенная планетная теория.- Труды ИТА АН СССР; D. Вагtоn. Lunar disturbing function.- Astron. J., 1966, 71, № 6, 438-442).

Наконец, для качественного анализа систем небесной механики численный эксперимент является прекрасным союзником теории. Достаточно вспомнить о проблеме захвата в задаче трех тел. После работ Ж. Шази долгое время эта проблема считалась решенной в отрицательном смысле, пока эксперимент — численный эксперимент - вновь не поставил ее на повестку дня. Пример захвата, построенный численным интегрированием О. Ю. Шмидтом и Г. Ф. Хильми, вызвал к жизни теоретические работы Г. А. Мермана, К. А. Ситникова, В. М. Алексеева и др.

В настоящее время после работ А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера (см. прим. |44]) на очередь встал вспрос об описании строения всего многообразия решений в системах небесной механики и эволюции этих систем. Ответ на этот вопрос вряд ли можно получить, не изучив предварительно его в рамках теории возмущений и не проанализировав большое количество численных экспериментов.

Можно надеяться, что издание перевода труда А. Пуанкаре будет в значительной мере этому содействовать.

30. (стр. 333). Введенное А. Пуанкаре понятие асимптотически сходящегося ряда и развитое им исчисление таких рядов, основы которого излагаются в настоящем разделе, выросло в современной математике в большую область асимптотического анализа. См., например: Н. де Брейн. Асимптотические методы в анализе. М., ИЛ, 1961;

Эрден. Асимптотические разложения. М., Физматгиз, 1962 и др.

31. (стр. 345). Пуанкаре ссылается здесь на свои работы: «Sur une methode de M. Lindstedt» (Об одном методе г. Линдштедта). — Bull. Astr., 1886, III, fevrier; «Sur les series de M. Lindstedt» (О работах г. Линдштедта).- СП, СVIII, 1889; см.: «Oeuvres», t. 8.

32 (стр. 346). Уравнения, которые рассматривал Линдштедт и которые анализирует далее Пуанкаре, составляют основу современной теории колебаний. Потребности радиотехники и других практических областей стимулировали развитие асимптотических методов, правда в отличие от задач небесной механики главным образом в неконсервативном случае. Интересно проследить аналогию между классическими методами небесной механики и методами теории нелинейных колебаний. Метод усреднения, приписываемый Ван-дер-Полю, задолго до Ван-дер-Поля применялся Лагранжем и Гауссом при изучении вековых возмущений планетных орбит. Методы Крылова — Боголюбова, с помощью которых решения представляются в виде асимптотического

ряда, представляют обобщение методов Линдштедта и т. д. Следует заметить, что в неконсервативных системах детально исследован лишь случай одночастотных колебаний, что совершенно нехарактерно для задач небесной механики. По этому поводу см.:

Н. Н. Боголюбов и Ю. А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958; В. М. Волосов. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.- УМН, 1962, 17, вып. 6(108); М. Круска л. Адиабатические инварианты. М., ИЛ, 1962.

33 (стр. 349). Это рассуждение не совсем точно. В самом деле, построение функций методом, изложенным выше, возможно лишь при отсутствии соизмеримости между частотами Так как для которых частоты соизмеримы, расположены всюду плотно, то использование производных в замене переменных (7) некорректно. Эту трудность можно обойти следующим образом.

Пусть фиксированы так, что соответствующие частоты несоизмеримы. Положим и вместо (4) рассмотрим уравнение

Функции будем искать в виде

где периодична по формы степени относительно с периодическими по коэффициентами. Для их определения получаем уравнения

которые решаются так же, как и уравнения (6). Делители , появляющиеся в коэффициентах рядов Фурье, по предположению отличны от нуля. Таким образом, члены рядов (3 определены корректно (при надлежащем выборе ряды Фурье сходятся, см. гл. XIII), но сами ряды носят по-прежнему формальный характер. Так как формальные ряды можно дифференцировать по то замена переменных

с точки зрения формального анализа имеет смысл и дает нам ряды

где формы степени относительно с периодическими относительно коэффициентами. Ряды (2 определяют решение системы уравнений (1), но это решение носит формальный характер не только в смысле главы VIII, т. е. по отношению к малому параметру но и по отношению к

34 (стр. 361). Имеется в виду: при любых правых частях. С другой стороны, вывод Пуанкаре о разрешимости этой системы основан на замечании, сделанном в п. 126, и не требует проверки алгебраических условий совместности. Подобная проверка была бы довольно громоздкой, что и составляет трудность в непосредственном доказательстве применимости метода Линдштедта, о которой говорил выше Пуанкаре.

35. (стр. 366). Напомним, что согласно формулам и 6 — четные функции эксцентриситетов и наклонений.

36. (стр. 371). Можно показать, что в пространственной задаче трех тел постоянная тождественно равна нулю, что обусловлено наличием интеграла площадей. Таким образом, все построения п. 132 (как и все построения последующих глав, опирающиеся на методы этого пункта) можно применять только для плоской задачи.

37. (стр. 382). Здесь и далее следует иметь в виду, что функция разлагается по степеням Поэтому в уравнение Гамильтона — Якоби войдут не только целые степени производных но и полуцелые (хотя, как это несколько раз подчеркивает Пуанкаре, младшие члены относительно этих производных линейны). То же самое имеет место для разложений по степеням Это обстоятельство делает излагаемый метод непригодным при малых т. е. при малых эксцентриситетах. Разбор этого случая Пуанкаре приводит в главе XII.

Указанная трудность не возникает, если для решения исходной системы п. 131 воспользоваться методом Биркгофа («Динамические системы»). Этот метод сводится к построению формальной канонической замены, приводящей функцию Гамильтона к виду Система с такой функцией Гамильтона легко интегрируется.

38. (стр. 411). Метод, предложенный Пуанкаре в главе переносится непосредственно на задачу тел Между тем преодолеваемую им трудность можно обойти в задачах весьма общего типа следующим приемом.

Пусть канонические переменные и функция Гамильтона имеет вид

где - -периодична по с нулевым средним. Именно к такому виду может быть приведена, например, плоская задача тел.

Совершим каноническую замену

по формулам

где S удовлетворяет уравнению

Как нетрудно заметить, в новых переменных функция Гамильтона принимает вид

Здесь содержит, вообще говоря, члены первой степени относительно . Аналогично за I шагов мы придем к функции Гамильтона, в которой член, зависящий от имеет порядок Пренебрегая членами этого порядка, получаем «осредненную» систему, которая отличается от системы п. 131 лишь наличием членов первой степени относительно Эти члены легко устраняются линейной относительно заменой переменных. После этого осредненную систему можно решать методом Биркгофа. Модифицируя, как и в [33], метод последовательных приближений, можно избежать и здесь появления всюду разрывных функций.

39 (стр. 413). Тут ссылка на работу: «Sur la convergence des series trigonomotriques» (О сходимости тригонометрических рядов).- Bull. Astr., 1884, I, juillet; см. также «Oeuvres», t. 4.

40 (стр. 413). Ряды с малыми знаменателями типа рядов (3), которые рассматривает Пуанкаре, возникают во многих задачах математики. В качестве примера назовем задачу о приведении к нормальной форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Трудности, связанные здесь с наличием малых знаменателей, преодолел впервые К. Л. Зигель в 1952 г. (О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положений равновесия. — «Математика», 1962, 5, № 2). Другой пример доставляет изучение поведения решений дифференциальных уравнений на торе (А. Н. Колмогоров. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе.- Докл. АН СССР, 1953, 93, № 5; В. И. Арнольд. Об отображениях окружности на себя.- Изв. АН СССР, матем., 1961, 25, № 1; см. также доклад А. Н. Колмогорова на Математическом конгрессе в Амстердаме).

Общим во всех этих исследованиях является применение арифметических соображений. Грубо говоря, основная масса иррациональных чисел плохо приближается рациональными и потому малые знаменатели «не слишком малы». С другой стороны, иррациональные числа, ненормально хорошо приближающиеся рациональными, позволяют построить примеры расходящихся рядов типа (3) даже при аналитических возмущениях.

41. (стр. 419). См. п. 74 и далее первого тома «Новых методов».

42. (стр. 419). Если бы ряды Линдштедта (2) или (7) сходились равномерно для изменяющихся в некотором интервале, то формулы (7) определяли бы расслоение фазового пространства на -мерные торы, а равенства равномерное вращение угловых координат на этих торах. При независимых частотах соответствующее движение было бы условно периодическим. Именно так и обстоит дело при «Резонансные торы», на которых для некоторых целых распадаются при этом на торы меньшего числа измерений. Оказывается, что при резонансные торы перестают существовать, причем большая часть составляющих их торов меньшего числа измерений разрушается полностью и лишь конечное число таких торов продолжает существовать и в возмущенной системе, являясь инвариантным многообразием размерности которое может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В случае двух степеней свободы эти многообразия суть периодические решения. Г. А. Мерман (Г. А. Мерман. Почти периодические решения и расходимость рядов Линдштедта в ограниченной плоской круговой задаче трех тел.- Труды Ин-та теоретической астрономии, 1961, вып. 8) провел соответствующие рассуждения для случая рядов Линдштедта в ограниченной задаче трех тел.

Доказательство существования «зон неустойчивости» и анализ их структуры в общем случае рассматривается в статьях 10. Мозера (J.Moser. On theory of quasi-perio-dic motion. SIAM Review, 1966; Ю. Мозер. О разложении условно периодических движений в сходящиеся степенные ряды и независимо В. К. Мельниковым (О некоторых случаях сохранения условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.- Докл. АН СССР,

1965, 165, № 6, 1245-124S;

Об одном семействе условно периодических решений системы Гамильтона. — Там же, 181, № 3, 546—549). В одной модельной задаче В. И. Арнольд (О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. - Докл. АН СССР, 1964, 156, № 1, 9—12) показал, что при числе степеней свободы зоны неустойчивости не только существуют, но вдоль них траектории могут уйти сколь угодно далеко.

43 (стр. 419). В этом место рассуждения Пуанкаре содержат пробел, на который обратил внимание Г. А. Мерман (цит. выше соч.). Пусть иррационально. Согласно рассуждению Пуанкаре мы должны взять достаточно малое так чтобы было рациональным. Функция аналитична и, не ограничивая общности, можно считать, что . Но тогда

для почти всех иррациональных со (0). В то же время период Т дважды бесконечного семейства периодических решений, полученного из рядов Линдштедта, будет равен

Таким образом, для применимости результатов мы должны знать, что решение

разлагается в ряд по степеням причем для изменяющихся на интервале длины порядка радиус сходимости этих рядов должен быть не меньше Для оценки радиуса сходимости в распоряжении Пуанкаре имеется только мажорантная оценка что заведомо недостаточно.

44. (стр. 421). Таким образом, доказательство расходимости рядов Линдштедта при фиксированных у Пуанкаре фактически отсутствует. При желании восполнить этот пробел следует иметь в виду два существенно различпых случая. При анализе рядов Линдштедта Пуанкаре особое внимание уделяет возможности произвольного выбора коэффициентов разложения частот по степеням (начиная со второго члена). Если ряды Линдштедта сходятся и для простоты предположено, что число степеней свободы равно 2, то отношение частот а является аналитической функцией вообще говоря, непостоянной.

Таким образом, мы получаем следующую картину. Двумерный тор с циклическими координатами с помощью уравнений (7) вкладывается в фазовое пространство и является там двумерным инвариантным многообразием. Основная система дифференциальных уравнений индуцирует на нашем торе систему, аналитически зависящую от параметра Соответствующее число вращения а (равное отношению частот) также является аналитической функцией и. Такая ситуация является весьма исключительной, так как из работы В. И. Арнольда, цитированной выше, следует, что зависимость от коэффициентов, вообще говоря, аналитической не является. Поэтому и в этом случае ряды Линдштедта, по-видимому, не сходятся.

Существенно отличным является случай постоянных частот, и значительный прогресс в рассматриваемых проблемах был достигнут в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и 10. Мозера. Чтобы понять существо применяемых ими методов, вернемся к началу п. 148 и зададим вопрос: существуют ли функции вида (7), не обязательно аналитические по и определяющие решение уравнений Гамильтона после подстановки если не при всех, то по крайней мере при достаточно большом наборе

Для решения поставленной задачи А. Н. Колмогоров предложил использовать метод типа метода Ньютона (касательных). При этом мы отказываемся от использования разложений по степеням характерных для метода малого параметра, и строим функции (7) с помощью метода последовательных приближений. Заметим, что подобная же идея отличает метод Ньюкома от метода Линдштедта (ср. стр. 361 настоящего издания). Однако сходимость разложений, как говорит Пуанкаре, «с точки зрения геометра» Ньюкома интересовала мало, а сам Пуанкаре расценил метод Ньюкома как эквивалент методу Линдштедта, в расходимости рядов которого он был уверен.

Пусть функция Гамильтона имеет вид

где возмущение имеет порядок и пусть частоты несоизмеримы

в достаточно сильном смысле. Более точно, пусть при всех целых не равных нулю одновременно, выполняется неравенство

Полезно заметить, что точки в -мерном пространстве, для которых подобное неравенство имеет место хотя бы при одном К, образуют множество, дополнение к которому имеет меру нуль в смысле Лебега.

Надлежащим каноническим преобразованием, определенным в окрестности -мерного тора функция Гамильтона преобразуется к виду

в котором возмущение имеет уже порядок После шагов это возмущение будет иметь порядок Возникающая «сверхсходимость», характерная для методов последовательных приближений ньютоновского типа, позволяет преодолеть влияние малых делителей, возникающих на каждом шагу при выборе нужного канонического преобразования.

Применяя этот метод, А. Н. Колмогоров доказал . Колмогоров. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.- Докл. АН СССР, 1954, 98, № 4; В. И. Арнольд. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.- УМН, 1963, 18, вып. 5), что при отсутствии собственного вырождения (т. е. если гессиан функции Гамильтона отличен от нуля) ответ на сформулированный выше вопрос положителен. Функции вида (7) при фиксированных и определяют в фазовом пространстве инвариантный тор, если только частоты «сильно несоизмеримы», и движение на этом инвариантном торе является условно периодическим.

Инвариантные торы не заполняют всего фазового пространства, но мера дополнительного к ним множества стремится к нулю вместе с Это дополнительное множество заполнено остатками разрушившихся «резонансных торов», на которых при частоты удовлетворяли соотношению вида

Процедура метода последовательных приближений ньютоновского типа не связана с зависимостью функции Гамильтона от малого параметра Если же зависит от [1 аналитически, то эта зависимость сохраняется и при предельном переходе. Поэтому функции вида (7), с помощью которых определяются инвариантные торы с условно периодическим движением, также должны зависеть от аналитически. Это означает, что при надлежащем выборе при котором частоты «сильно несоизмеримы», т. е. удовлетворяют написанному выше неравенству, ряды Линдштедта должны сходиться, если мы выбираем коэффициенты в разложениях равными нулю, начиная со второго. В задаче об отображении окружности сходимость рядов, аналогичных рядам Линдштедта, была доказана В. И. Арнольдом (цит. выше соч., Изв. АН СССР, 1961). Позднее Ю. Мозер доказал то же самое и для самих рядов Линдштедта (цит. соч., перевод в УМН, 1969). Эти результаты получены сравнением рядов теории возмущений

с тем, что дает метод Ньютона. Прямое доказательство сходимости рядов Линдштедта, основанное на оценке коэффициентов, пока не найдено.

В применениях теоремы Колмогорова существенно различаются случаи, когда число степеней свободы равно двум или больше двух. В первом случае изоэнергетическое многообразие имеет размерность три и двумерные инвариантные торы его разделяют. Поэтому траектория, начинающаяся в «щели» между двумя инвариантными торами, остается вечно в ограниченной области фазового пространства, т. е. соответствующее движение будет устойчивым по Лагранжу. Для периодических решений, принадлежащих к устойчивому (эллиптическому в смысле Биркгофа) типу, те же рассуждения позволяют установить устойчивость в смысле Ляпунова. См., например: А. М. Леонтович. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел.- Докл. АН СССР, 1962, 143, № 3.

Подобные рассуждения отказываются служить, если число степеней свободы больше двух, так как в этом случае -мерные торы не разделяют -мерного изоэнергетического многообразия. Зоны неустойчивости, возникающие в местах, где частоты связаны линейными соотношениями с целыми коэффициентами, сообщаются друг с другом, и появляется возможность уйти по ним сколь угодно далеко. Это было показано В. И. Арнольдом в одном модельном примере (см. прим. [42]) и механизм, примененный им для доказательства, носит общий характер. Вероятно, наличие условно периодических движений на инвариантных торах дополняется неустойчивыми движениями в щелях между ними. Не исключена возможность, например, существования траекторий, всюду плотных в некоторой области фазового пространства, и т. п.

Теорема Колмогорова отказывалась служить в применении ко многим задачам небесной механики. Дело в том, что обычно при здесь имеет место вырождение: функция Гамильтона зависит лишь от части переменных и потому между частотами всегда имеется резонансное соотношение. Подобная трудность встречается и при построении рядов Линдштедта (см. п. 134), и Пуанкаре преодолевает ее, добавляя к результат усреднения по «быстрым» переменным.

Аналогичным приемом воспользовался и В. И. Арнольд. В своей работе «Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике» (УМН, 1963,18, вып. 6) он доказал, что результаты, аналогичные теореме Колмогорова, можно получить и при наличии вырождения. В частности, В. И. Арнольд доказал, что для задач трех тел и многих тел мера множества начальных условий, порождающих условно периодические движения, положительна. Этот результат, хотя и не означает устойчивости солнечной системы (из сказанного выше следует, что в смысле Ляпунова такой устойчивости, по-видимому, и не может быть), но делает ее «достаточно вероятной».

Как А. Н. Колмогоров, так и В. И. Арнольд имели дело с аналитическими гамильтоновыми системами. В цикле работ Ю. Мозер (Новый метод построения решений нелинейных дифференциальных уравнении (1961). — «Математика», 1962, 6, вып. 4, 3—10; О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.- Там же, 1962, 6, вып. 5; 51—67; Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения,— УМН, 1966,23, №4 (142); 179—238) показал, что аналогичных результатов можно добиться и для достаточно гладких систем и возмущений.

Многочисленные применения методов Колмогорова — Арнольда — Мозера можно

найти в уже упоминавшихся работах, а также в докладе В. И. Арнольда (в сб. «Проблемы движения искусственных небесных тел». М., Изд-во АН СССР, 1963).

Упомянем еще о некоторых результатах, относящихся к исследованию окрестности положения равновесия. К. Л. Зигель доказал (О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия (1954).- «Математика», 1962, 5, вып. 2), что для сходимости рядов Биркгофа, родственных рядам Линдштедта, необходимо, чтобы функция Гамильтона удовлетворяла счетному числу условий на ее коэффициенты. См. также: S. Мiуаhагa. On the existence of the normal form in the neighbourhood of an equilibrium point of analytical Hamiltonian differential equations.- Publ. Astr. Soc. Japan, 1960, 14, № 3; H. Riissma nn. Ober die NormaHorm analytischer HamiltonscherDifferential-Gleichungen in der Nahe einer Gleichgewichtslosung.- Math. Ann., 1967, 169, 55—72.

Вопрос о сходимости и расходимости формальных рядов, приводящих аналитическую систему дифференциальных уравнений к (не обязательно гамильтоновой) нормальной форме, рассмотрел А. Д. Брюно (Нормальная форма дифференциальных уравнений.- Докл. АН СССР, 1964, 157, № 6; О сходимости преобразований дифференциальных уравнений к нормальной форме.- Докл. АН СССР, 1965, 165. № 5; О расходимости преобразований дифференциальных уравнений к нормальной форме,— Докл. АН СССР, 1967, 174, № 5; О формальной устойчивости систем Гамильтона.- Матем. заметки, 1967, 1, № 3).

Дж. Литлвуд рассмотрел асимптотические ряды, с помощью которых представляется решение задачи трех тел в окрестности лагранжева равностороннего треугольника, и получил для их члена оценку порядка при порядка Это позволило ему заключить, что, возмущая начальные условия на величину порядка в, мы получим возмущения решений, имеющие порядок на интервале времени порядка

Для рассматриваемой задачи число степеней свободы равно двум и подобный результат на бесконечном интервале можно получить из топологических соображений. Однако метод Литлвуда, по-видимому, применим и в высших размерностях, что может оказаться полезным.

45. (стр. 426). Неяспо, что имеет в виду Пуанкаре, говоря о бесконечно большом числе аргументов. В написанном выше разложении для все аргументы будут кратны одному, тогда как в рядах Линдштедта аргументы являются целочисленными комбинациями по крайней мере основных.

46. (стр. 442). Обратим внимание на то, что в этих формулах по сравпеншо с формулами в пунктах 131 и 137 синус и косинус поменялись местами.

47. (стр. 530). Это уравнение в настоящее время обычно называется уравнением Матье. Его решения хорошо изучены (см., например: М. Д. О. Стретт. Функции Л яме, Матье и родственные им в физике и технике, 1935). Неустойчивость решений дифференциальных уравнений, вызванная периодическим изменением их параметров, носит название «параметрического резонанса». См. цитируемую выше монографию Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, а также: Дж. Стокер. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М., ИЛ, 1953. Глубокое исследование явлений параметрического резонанса провел М. Г. Крейн (Основные положения теории

Х-зон неустойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Сборник памяти А. А. Андронова. М., 1955, 113—498).

48. (стр. 531). Пуанкаре ссылается на работу: «Sur les groupes des equations lineaires» (О группах линейных уравнений). Она перепечатана в «Oeuvres», t. 2.

49. (стр. 540). В самом деле, воспользовавшись периодичностью получаем

и

Коэффициенты уравнения (1) периодичны, поэтому вместе с решением будет и а следовательно, и Заменив во втором тождестве на и воспользовавшись четностью находим, что нечетна.

50. (стр. 558). Речь идет о работе: «Sur les determinants d’ordre infini» (Об определителях бесконечного порядка).- Bull. Soc. Math. France, 1886, XIV, 77—90: см. также: «Oeuvres», t. 5.

51. (стр. 561). G. W. Нi11. On the part of the motion of the lunar perigel which is function of the mean motions of the sun and moon.— Acta Math., 1886, t. 8.

52. (стр. 568). Пуанкаре ссылается здесь на работу: «Sur les fonctions entieres» (О целых функциях).- Bull. Soc. Math. France, 1883, XI, p. 136—144; см. также: «Oeuvres», t. 4.

53. (стр. 569). Пуанкаре дает здесь, видимо, неточную ссылку, так как он имеет в виду работу Адамара «Sur les fonctions entieres de la forme » (О целых функциях вида напечатанную в CR, 1892, CXIV, p. 1053. Там доказана теорема: чтобы целая функция была рода нуль, коэффициенты ее тейлорова разложения должны удовлетворять условию

где к — постоянная,

54. (стр. 604). Методы Делоне, Болина и являющиеся их обобщением методы Цойпеля (Н. V. Zеiре1. Recherches sur le mouvement des petites planetes, I-Arkiv mat. astr., och fysik. Stockholm, 1916, 11, № 1) получили значительное развитие после Пуанкаре в связи с исследованием движения астероидов с острыми соизмеримостями. Обзор задач небесной механики, в которых применяются различные варианты этих методов, см.: Ferraz MelloSylvio. Sur la methode de von Zeipel.- Mem. Soc. astr. ital., 1966, 37, № 2.

55. (стр. 656). Изучение систем дифференциальных уравнений в окрестности инвариантного многообразия более сложной природы, чем стационарная точка или периодическое решение, только начинается. Отметим здесь работы: Э. Г. Белага. О приводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности условно периодического движения,— Докл. АН СССР, 1962, 143, N° 2; Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. Метод интегральных многообразий в

нелинейной механике,— Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев. Изд-во АН УССР, 1963; Ю. Мозер (соч., цит. на стр. 763); А. М. Самойленко. О приводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности гладкого тороидального многообразия,— Изв. АН СССР, серия матем., 1966, 30, 1047—1072. О приводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений

6 окрестности гладкого интегрального многообразия.- Укр. матем. журн., 1966, 18, № 6, 41-65.

Считаю своим долгом выразить признательность В. И. Арнольду, В. А. Брумбергу,

I. А. Красинскому, Г. А. Мерману, М. С. Петровской и переводчику тома 2 «Новых методов» Ю. А. Данилову, указавшим многочисленные опечатки во французском оригинале.

Г. А. Красинскому я обязан также принадлежащими ему примечаниями

В. М. Алексеев