Уравнения в вариациях в динамике

56. Пусть функция двойного ряда переменных

и времени

Предположим, что имеются дифференциальные уравнения

Рассмотрим два бесконечно близких решения этих уравнений: решение

которое послужит порождающим решением, и

где достаточно малы, чтобы можно было пренебречь их квадратами.

Тогда будут удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям

которые являются уравнениями в вариациях уравнений (1).

Пусть другое решение этих линейных уравнений, так что

Умножим уравнения (2) и (2) соответственно на и просуммируем все эти уравнения; получим

или

или, наконец,

Это соотношение связывает между собой два любых решения линейных уравнений (2).

Легко найти другие аналогичные соотношения.

Рассмотрим четыре решения уравнений (2)

Затем рассмотрим сумму определителей

где индексы и к изменяются от 1 до Легко проверить, что и эта сумма постоянна.

Вообще, если образовать при помощи решений уравнений (2) сумму определителей

то эта сумма будет постоянной.

В частности, определитель, образованный значениями величин решениях уравнений (2), будет постоянным.

Эти рассуждения позволяют найти одно решение уравнения (2), когда известен один его интеграл, и обратно.

Действительно, предположим, что

— частное решение уравнений (2) и обозначим через и произвольное решение этих же уравнений. Должно выполняться равенство

которое является интегралом уравнений (2).

Обратно, пусть

— интеграл уравнений (2); тогда должно выполняться уравнение

откуда получаем

Это показывает, что

является частным решением уравнений (2).

Если теперь

— интеграл уравнений (1), то

будет интегралом уравнений (2) и, следовательно,

будет частным решением этих уравнений.

Если два интеграла уравнений (1), то

Это теорема Пуассона.

Рассмотрим частный случай, когда переменные х обозначают прямоугольные координаты точек в пространстве, будем их обозначать при помощи двойных индексов

где первый индекс относится к трем прямоугольным осям координат, а второй — к материальным точкам. Пусть — масса материальной точки. Тогда

где V — силовая функция.

Тогда уравнение живых сил имеет вид

Положим далее

откуда

и

Пусть

— решение этих уравнений (1), тогда другим решением будет

где любая постоянная.

Считая бесконечно малой величиной, можно получить решение уравнений (2), которое соответствует (1) так же, как уравнения (2) соответствуют (1),

где постоянный очень малый множитель, который можно опустить, когда рассматриваются лишь линейные уравнения (2).

Зная решение

этих уравнений, можно вывести из них интеграл

Но этот же интеграл получается очень легко дифференцированием уравнения живых сил (3).

Если материальные точки набавлены от всяких внешних воздействий, то из решения (4) можно получить другое решение

где — произвольные постоянные. Считая эти постоянные бесконечно малыми, получим два решения уравнений (2)

Таким образом получаются два интеграла уравнений (2)

Эти интегралы можно получить с помощью дифференцирования уравнений движения центра тяжести

Если повернуть решение (4) на угол со вокруг оси z, то получится другое решение

Считая бесконечно малым, находим решение уравнений (2)

откуда получается интеграл уравнений (2)

который можно было также получить, дифференцируя интеграл площадей уравнений (1)

Предположим теперь, что функция V однородна и имеет степень — 1 относительно переменных х, как это и есть в природе.

Уравнения (1) не изменятся, если умножить на на и у на где — произвольная постоянная. Тогда из решения (4) мы получим следующее решение:

Если рассматривать значение , очень близкое к единице, то в качестве решения уравнений (2) получим

или

откуда получается следующий интеграл уравнений (2), который в отличие от рассматриваемых до сих пор нельзя получить дифференцированием

известного интеграла уравнений (1);