Глава I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И МЕТОД ЯКОБИ

Общие положения

1. Прежде чем приступить к основной теме моего исследования, я должен изложить некоторые предварительные сведения и вкратце напомнить основные принципы «Лекций по динамике» Якоби и теорию Кстпи, связанную с интегрированием дифференциальных уравнений с помощью рядов. Я намерен посвятить первую главу изложению метода Якоби, ограничиваясь чаще всего формулировкой результатов, доказательства которых хорошо известны.

Сначала дадим несколько пояснений по поводу обозначений и названий, которые будут использоваться во всей этой работе.

Мы будем иметь дело с дифференциальными уравнениями следующего вида:

где аналитические и однозначные функции переменных Что касается независимой переменной которую мы будем рассматривать как обозначающую время, то чаще всего будем предполагать, что она не входит явно в функции

Можно рассматривать систему (1) как систему порядка так как она эквивалентна одному дифференциальному уравнению порядка Однако, если функции X не зависят от порядок системы может быть уменьшен на единицу. Для этого достаточно исключить время и записать уравнения (1) в виде

Чтобы избежать путаницы, мы определим следующим образом смысл слов решение и интеграл.

Если уравнения (1) удовлетворяютс при

то мы будем говорить, что уравнения (2) определяют частное решение уравнений (1).

Если некоторая функция переменных

остается постоянной в силу уравнений (1), мы будем говорить, что эта функция является частным интегралом системы (1).

Ясно, что знание интеграла позволяет понизить на единицу порядок системы.

В задачах динамики уравнения (1) встречаются в более частной форме, известной под названием гамильтоновой, или канонической формы [1]. Переменные распадаются на два ряда; обычно мы обозначаем через

переменные первого ряда и через

переменные второго ряда и записываем дифференциальные уравнения в виде

где однозначная функция переменных x и у.

Эти уравнения допускают частный интеграл, которым является сама функция известный под названием интеграла живых сил.

Говорят, что образуют пар сопряженных переменных.

По примеру англичан мы скажем, что система (3) допускает степеней свободы.

Эта система имеет порядок но знание интеграла живых сил позволяет понизить этот порядок на единицу. Так как время не входит явно в правые части уравнений (3), мы можем, как мы уже раньше указывали, посредством исключения времени понизить порядок еще на единицу, так что в конечном счете система, допускающая степеней свободы, всегда может быть сведена к системе порядка

Известно, например, что если система имеет только одну степень свободы, она может быть сведена к системе нулевого порядка, т. е. полностью проинтегрирована.