Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава XVI. МЕТОДЫ ГИЛЬДЕНА167. Методы, о которых я хочу рассказать в этой главе, в высокой степени оригинальны. На первый взгляд может показаться, что они не имеют ничего общего с теми, о которых говорилось раньше. Однако вопреки этому впечатлению методы, о которых пойдет речь, тесно связаны с изложенными в предыдущих главах, но кое в чем превосходят их и позволяют рассматривать задачи, к которым нельзя было применять методы глав IX и XV. Таким образом, они более тесно связаны с теми методами, о которых речь будет идти дальше. Разумеется, мое изложение значительно отличается от изложения Гильдена. В самом деле, методы Гильдена представляют собой совокупность искусственных приемов, между которыми нет никаких необходимых связей и которые удобнее изучать по отдельности. Читатель без труда сможет свести их затем воедино. Первый из этих искусственных приемов состоит в использовании специально выбранных независимых переменных. Предположим сначала, что движение трех тел происходит в одной плоскости. В этой плоскости рассмотрим движение одной из планет, на которую действует центральное тело, положение которого мы примем за начало координат, и на которую оказывает возмущающее воздействие другая планета. Пусть
В случае, когда
(с — некоторая постоянная). Если затем принять
откуда непосредственно усматривается эллиптический вид траектории. Вернемся к общему случаю, когда Для этого положим
где Если
Если же, кроме того, положить
Аналогия с уравнением (3) станет еще более очевидной, если заметить, что в последующих вычислениях
Выбор переменной В самом деле, существуют два сильно отличающихся варианта задачи трех тел. В одном из них мы имеем дело с двумя планетами, массы которых сравнимы, в другом же, наоборот, масса одной из планет много меньше массы другой. В первом случае с одной из планет необходимо связать независимую переменную
где В этом состоит один источник трудностей. Поэтому метод Гильдена в его первоначальном виде особенно пригоден для второго случая, например для изучения возмущений малых планет Юпитером. Однако имеются еще и другие трудности. Движение Юпитера известно, но как функция от 168. Посмотрим теперь, какой вид имеют уравнения движения. Координаты и и
я правые части зависят не только от и Переменная Координаты и и Переменная Предположим теперь, что к этим уравнениям требуется применить методы, аналогичные старым методам небесной механики. Вот что получилось бы при этом. Предположим, что мы знаем приближенные значения и и В правую часть уравнения (5) или (6) вместо Производя аналогичные действия с уравнениями (5) и (6), получим следующие приближения для и и После этого из уравнений (4) с помощью квадратур получим Таким образом, можно получить следующее приближение для и и Остается выбрать первое приближение. Чтобы лучше понять те усовершенствования, которые пришлось ввести Гильдену, временно предположим, что первое приближение мы выбираем так, как это сделали бы вычислители, действующие в духе старых методов. Очевидно, что выбор в качестве первого приближения кеплеровского движения лучше всего отвечал бы духу старых методов. В этом случае
где Что касается соотношения между
которое интегрируется в квадратурах. Это дает нам Таким образом, соотношение между Ничего подобного не возникает при рассмотрении методов Ньюкома. Не следует, однако, переоценивать это "обстоятельство. Разложение возмущающей функции всегда требует продолжительных вычислений. Однако получить ее в виде функции от истинных аномалий можно быстрее, чем в виде функции от средних аномалий. В методе Ньюкома мы предполагаем, что возмущающая функция записана через оскулирующие элементы двух планет и их средние аномалии. Следовательно, чтобы найти ее, необходимы продолжительные вычисления, но методы, имеющиеся в нашем распоряжении, позволяют устранить все трудности. Здесь же, наоборот, мы выражаем Сложное соотношение, связывающее Посмотрим теперь, где же находится тот подводный камень, на который наталкивается применение методов, имитирующих старые методы, и с помощью каких остроумных приемов Гильден обходит возникающие при этом трудности. Уравнения (5) и (6) после замены в правых частях В первом приближении правые части записываются в виде тригонометрических рядов, расположенных по синусам и косинусам, зависящих от
где пят — целые числа, к — отношение средних движений. Если бы правая часть уравнения (5) не содержала свободного члена или если бы правая часть уравнения (6) не содержала членов
Следовательно, независимая переменная Очевидно, что в последующих приближениях вне знаков тригонометрических функций будут встречаться еще более высокие степени Единственное преимущество, даваемое выбором 169. Итак, чтобы избежать вековых членов, т. е. членов, в которых Рассмотрим какое-нибудь одно из уравнений (5) или (6). Перенесем в левую часть главные члены правой части. Заменим Сказанное допускает, очевидно, достаточно большую степень произвола. В самом деле, в зависимости от обстоятельств мы можем считать главным и переносить в левую часть уравнения то один, то другой член. В этом и состоит гибкость метода. Из всего бесконечного разнообразия получающихся при этом уравнений я намереваюсь перечислить здесь лишь те из них, которые были рассмотрены Гильденом особенно подробно. Пусть
Величина
В новых неизвестных уравнения (5) и (6) п. 167 записываются в следующем виде:
Функции Функция В помимо других замечательных членов содержит члены вида
где 1. Если перенести в левую часть уравнения
где В означает функцию, в которую переходит В после вычеркивания члена, перенесенного в левую часть. В функции В положим
Уравнение (6а) будет линейным с правой частью, но его коэффициенты уже не будут постоянными. Теперь ясно, что точно так же можно было бы записать
где
и, кроме того, в первом приближении
ибо в этом случае параметры Далее можно воспользоваться тем, что а и 2. Аналогично можно перенести в левую часть член с
или
а затем в правой части положить
3. Ясно, что А разлагается в ряд по синусам и косинусам линейных комбинаций
— некоторый член разложения
где
можно также разложить в ряд, расположенный по синусам и косинусам линейных комбинаций
Аналогично, если в выражении
заменить
то это выражение можно будет разложить в тригонометрический ряд по
причем главный член этого разложения будет иметь вид
Именно этот член мы и перенесем в левую часть уравнений (5), которое в этом случае запишется в виде
где
Затем в А положим
так что функцию А можно будет рассматривать как известную функцию от Почаще всего выбирают
В этом случае все предыдущее изложение несколько упрощается. Именно уравнениями (6b), (6с) и (5а) Гильден пользовался чаще всего. Заметим, что все они имеют вид
или
Следовательно, их можно привести к каноническому виду (это вытекает из сказанного в Мы предположили, что в правых частях уравнений
Так на самом деле и обстоит дело в первом приближении. Однако во втором приближении необходимо вместо величин Следовательно, правые части всегда будут известными функциями от
|
1 |
Оглавление
|