Неявные функции
30. Если имеются 
величину, 
между которыми имеется 
соотношений
если 
разлагаются в ряд по степеням х и у и обращаются в нуль вместе с этими 
переменными; если, наконец, функциональный определитель 
по переменным у не равен нулю, когда все 
равны нулю одновременно, то можно из уравнений (7) определить 
неизвестных у в форме рядов по степеням 
Действительно, рассмотрим 
как единственную независимую переменную, а 
как произвольные параметры. Мы сможем заменить уравнения (7) 
дифференциальными уравнениями
Таким образом, мы пришли к случаю, которым только что занимались. В частности, если 
функция, разлагающаяся в ряд по степеням у и х, если при
будет
я если у определяется из равенства
о у можно разложить в ряд по степеням х.
31. Этот результат можно выразить иначе. В самом деле, рассмотрим любое алгебраическое уравнение
Если для некоторого значения 
переменной х функция 
обращается в нуль, а ее производная не равна нулю, то говорят, что 
простой корень уравнения; 
кратный корень порядка 
если для значения 
обращается в нуль вместе со своими 
первыми производными.
Так же, если имеется произвольная система алгебраических уравнений, например, состоящая из трех уравнений, а именно:
то говорят, что
— простое решение этой системы, если при этих значениях 
обращаются в нуль, а их якобиан, или функциональный определитель, не равен нулю.
Можно сохранить те же наименования в случае, когда 
являются не целыми многочленами от х, у, z, а голоморфными функциями от х, у, z.
Результат предыдущего пункта можно выразить тогда следующим образом: если имеется 
уравнений (относительно неизвестных 
левые части которых голоморфны, и если при
система значений
является простым решением уравнений, то у разлагаются в ряд по возрастающим степеням х. Следовательно, если дать переменным х достаточно малые значения, то наши уравнения будут допускать действительное решение.
