Неявные функции

30. Если имеются величину, между которыми имеется соотношений

если разлагаются в ряд по степеням х и у и обращаются в нуль вместе с этими переменными; если, наконец, функциональный определитель по переменным у не равен нулю, когда все равны нулю одновременно, то можно из уравнений (7) определить неизвестных у в форме рядов по степеням

Действительно, рассмотрим как единственную независимую переменную, а как произвольные параметры. Мы сможем заменить уравнения (7) дифференциальными уравнениями

Таким образом, мы пришли к случаю, которым только что занимались. В частности, если функция, разлагающаяся в ряд по степеням у и х, если при

будет

я если у определяется из равенства

о у можно разложить в ряд по степеням х.

31. Этот результат можно выразить иначе. В самом деле, рассмотрим любое алгебраическое уравнение

Если для некоторого значения переменной х функция обращается в нуль, а ее производная не равна нулю, то говорят, что простой корень уравнения; кратный корень порядка если для значения обращается в нуль вместе со своими первыми производными.

Так же, если имеется произвольная система алгебраических уравнений, например, состоящая из трех уравнений, а именно:

то говорят, что

— простое решение этой системы, если при этих значениях обращаются в нуль, а их якобиан, или функциональный определитель, не равен нулю.

Можно сохранить те же наименования в случае, когда являются не целыми многочленами от х, у, z, а голоморфными функциями от х, у, z.

Результат предыдущего пункта можно выразить тогда следующим образом: если имеется уравнений (относительно неизвестных

левые части которых голоморфны, и если при

система значений

является простым решением уравнений, то у разлагаются в ряд по возрастающим степеням х. Следовательно, если дать переменным х достаточно малые значения, то наши уравнения будут допускать действительное решение.