Связь с рядами п. 125

211. В п. 125 мы определили некоторые ряды первые члены которых сходятся достаточно быстро, если ни одна из линейных комбинаций

не слишком мала. В п. 204 и последующих мы определили другие ряды первые члены которых сходятся достаточно быстро и в тех случаях, когда эти линейные комбинации малы.

Каким образом можно перейти от одних рядов к другим? Ответ на этот вопрос можно предвидеть, исходя из того, что было сказано в п.201.

Функция определенная в п. 125, зависит (см. там же) от бесконечного числа наборов, состоящих из произвольных постоянных, а именно:

Мы не уменьшим общности, если предположим, что все равны нулю.

Пусть, в самом деле,

— те функции, которые получаются из функций если положить все равными нулю. Функции S будут содержать лишь произвольных постоянных

Поскольку произвольные постоянные, мы можем заменить их любыми разложениями по степеням

Итак, мы заменяем разложением

где некоторые постоянные. Функция к которой приводит такая подстановка, как и удовлетворяет уравнению (4) п. 125, однако на сей раз не все равны нулю. Ясно, что произвольные постоянные можно выбрать так, чтобы а имели какие угодно значения. Следовательно, полученная при указанной выше подстановке функция является функцией S наиболее общего вида.

Вернемся к функции S. Эта функция зависит от постоянных но, с другой стороны, средних движений также зависят от и, наоборот, зависят от так что S можно рассматривать как функцию, зависящую от произвольных постоянных

Каков вид зависимости функций от этих постоянных? Каждый член содержит в качестве множителя синус или косинус дуги

а коэффициент при синусе или косинусе представляет собой некоторую голоморфную функцию от деленную на произведение множителей вида

Именно эти множители мы и называем малыми делителями.

Из рассуждений, аналогичных проводимым в п. 201, видно, что ни один из членов не может содержать более чем малого делителя.

Если эти делители, например

становятся очень малыми, то сходимость ряда S становится сомнительной. Так же, как в п. 202, заменим постоянные интегрирования различными разложениями, проводимыми не по степеням и, а по степеням Пусть, например,

Я предполагаю, что

Отсюда следует, что разложение величины

начинается с члена, содержащего

Далее, пусть

какой-то член где Р означает произведение малых делителей. Тогда будут допускать разложение по возрастающим степеням и показатель в первом члене разложения Р не больше

Отсюда следует, что функцию S после подстановки в нее вместо их разложений (2) можно будет разлагать по положительным степеням

Пусть

— такое разложение. Ясно, что различные разложения (4), которые можно получить при этом, не отличаются от разложений, уже служивших объектом рассмотрений в этой главе. Эти разложения мы научились строить в пунктах 204—207. Рассмотрим, в частности, первые члены

Имеем

Величины постоянные. Эти постоянные в свою очередь являются известными функциями от величины необходимо заменить постоянными поскольку при разложение (2) величины вырождается в первый член, т. е. в

С другой стороны, находим

где

Величины представляют собой известные функции от поэтому их производные также известны и в них вместо надлежит подставить а

Что же касается то эту функцию находят следующим образом. Возьмем все члены в виде (3), где знаменатель Р содержит малый делитель

в степени .

Подставим в числитель вместо постоянные а в знаменатель вместо

подставим

Тогда выделенный член примет вид

где означает то, во что переходит при замене на

Аналогичным образом мы поступим со всеми членами которые содержат малый делитель (6) в степени . Пусть

— сумма всех полученных при этом членов вида (8).

Проделав аналогичные операции со всеми функциями мы получим последовательно

Тогда

Если теперь мы будем считать, что выполняется предположение (9) п. 204, то

Комбинируя эти соотношения с (5) и (7), можно записать

где А — коэффициент, вычисление которого не представляет никаких трудностей, зависящий от целых чисел и производных Отсюда находим

Из этого следует, что квадрат правой части уравнения (9), допускающий, как и сама правая часть, разложение по убывающим степеням у, если ограничиться первыми двумя его членами, равен

В свою очередь отсюда вытекает ряд тождеств

которые, даже независимо от своих приложений (им посвящена эта глава), представляют собой любопытные и неожиданные свойства разложения (1).