Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Прямое вычисление рядов127. Перейдем теперь к непосредственному вычислению рядов Для этого предположим, например, что в производную
после чего эта производная Эта функция периодична по Запишем эту производную в виде
где коэффициенты Аналогичным образом получим
Функции Если вспомнить, что производная
Коэффициенты Предположим, что
тогда
Мы предполагаем, что и можно разложить по степеням
Тогда наши дифференциальные уравнения приобретают вид
В самом деле,
Заменим в уравнениях (12) величины Обозначим для краткости
Приравняв коэффициенты при
Приравняв члены, не зависящие от
— уравнения, которым, как мы уже видели, можно удовлетворить, положив
После этого уравнения (13) приводятся к виду
Посмотрим, каким образом можно воспользоваться уравнениями (14), чтобы последовательно найти функции
периодические по В двух предыдущих пунктах мы видели, что найти такие функции можно. Предположим, что мы уже вычислили
и что требуется найти Так как Пусть
— такая функция. Интегрируя уравнение (14), мы получаем
Отсюда видно, что величины
и если бы среднее значение периодической функции Что касается константы Нам осталось еще вычислить
равно нулю. Однако константа Таким образом, вычисление различных членов рядов Полученные формулы содержат достаточно много произвола, которым вычислитель может искусно пользоваться для сокращения выкладок. В самом деле, средние значения Среди тех возможностей, на которых можно остановить свой выбор, я укажу на следующую, отнюдь не желая рекомендовать ее как-то особо. Константы
Этот метод применим всякий раз, когда величины Именно так обстоит дело, например, в том частном случае задачи трех тел, о котором шла речь в п. 9. В самом деле, в этом случае
откуда
Ясно, что Точно так же обстоит дело и при рассмотрении следующего уравнения, возникающего в приложениях методов Гильдена, которое было подробно изучено Линдштедтом
где Замечу прежде всего, что функцию
Положим затем
Тогда наши уравнения запишутся в виде
В самом деле, из п. 6 следует, что каноническая форма уравнений не изменится. Положив
откуда
Следовательно, если число Точно так же метод будет применим и в общем случае задачи трех тел, если эти тела движутся в одной плоскости и закон притяжения отличен от ньютоновского. Для ньютоновского закона притяжения рассматриваемый метод теряет силу, если только речь идет не о тех его важных модификациях, которые составят содержание последующих пунктов. В самом деле, в этом случае (мы придерживаемся обозначений, указанных в п. 125)
Излагаемый здесь прямой метод весьма схож с оригинальным методом Линдштедта. По сравнению с косвенными методами двух предыдущих пунктов он обладает важным преимуществом, поскольку дает нам непосредственно значения 128. Определенную выше константу
В самом деле,
где
Функции достаточно так подобрать константы
Для этого необходимо и достаточно [34], чтобы гессиан функции Этот гессиан равен нулю и в частном случае задачи трех тел, сформулированном в пункте 9, но в п. 43 мы видели, каким образом можно с помощью простого искусственного приема устранить эту трудность.
|
1 |
Оглавление
|