Приложение к основной задаче динамики

42. Прежде чем приступить к изучению периодических решений второго и третьего сорта, мы изучим сейчас более общим образом периодические решения уравнений динамики.

Вернемся к уравнениям п. 13

а также к предположениям этого пункта. Функция разложена в ряд по степеням очень малого параметра так что

периодическая функция функция, зависящая только от х. Я предположу для определенности, что имеются лишь три степени свободы.

Легко проинтегрировать эти уравнения при Недействительно, так как не зависит от у, эти уравнения сводятся к

Таким образом, и, следовательно, постоянны.

Итак, уравнения (1) при допускают решения

где все а и постоянные интегрирования, а функции от а.

Ясно, что еели

кратны то это решение периодическое с периодом Т.

Предположим теперь, что не равно нулю, и представим себе, что в некотором решении значения переменных х и у при равны соответственно

Предположим, что в том же решении значения х и у при равны

Чтобы это решение было периодическим с периодом Т, должно выполняться равенство

Шесть уравнений (12) не всенезависимы. В самом деле, так как уравнение является интегралом уравнений (1) и, кроме того, периодическая функция относительно у, имеем

Поэтому достаточно будет удовлетворить пяти уравнениям (12). Кроме того, я предположу, что

Для этого достаточно выбрать начальный момент времени так, чтобы равнялся нулю при .

Легко видеть, что голоморфные функции обращающиеся в нуль, когда все эти переменные обращаются в нуль.

Следовательно, речь идет о том, чтобы доказать, что можно из пяти последних уравнений (12) получить в виде функций от

Заметим, что, если равно нулю, тождественно выполняются равенства

Следовательно, будучи разложенными в ряд по степеням содержат множитель Мы отбросим этот множитель и запишем, следовательно, пять уравнений (2), которые нам надо решить, в виде

При известно общее решение уравнений (1); следовательно, легко можно найти

Функциональный определитель по равен с точностью до множителя — гессиану по х. Я намерен теперь выразить в виде функций от положив и в то же время

Итак, находим

откуда

или при

Поскольку мы предполагаем и в то же время

и помним, что то мы должны в правой части уравнения (3) заменить соответственно на

Тогда становится периодической функцией

Мы можем записать

где целые положительные числа, а функции х, не зависящие от у.

Тогда получим

где для краткости положено

Таким образом становится периолической функцией с периодом в то же время она является периодической функцией с периодом относительно

Я буду обозначать через среднее значение периодической функции так что

где символ S означает, что суммируются все те члены, для которых

Тогда получаем, что

Отсюда заключаем, что:

1. Всегда можно выбрать таким образом, что уравнения

будут удовлетворяться при

Действительно, конечная функция периодична по ; следовательно, она имеет максимум и минимум; для них будем иметь

и отсюда

что и требовалось доказать.

2. Функциональный определитель по равен умноженному на гессиан по

Отсюда следует, что можно выбрать постоянные так, чтобы удовлетворялись уравнения (13). Для того чтобы установить существование периодических решений, остается показать, что функциональный определитель этих уравнений, т. е.

не равен нулю.

Но при зависят только от но не от Этот функциональный определитель, следовательно, является произведением двух других

Но мы только что вычислили эти два функциональных определителя и увидели, что они равны, с точностью до постоянного множителя, один — гессиану по другой — гессиану по х.

Итак, если ни один из этих гессианов не равен нулю, уравнения (1) имеют периодические решения при малых значениях

Мы попытаемся теперь определить не только периодические решения с периодом Т, но и решения с периодом, мало отличающимся от Т. За отправную точку мы взяли три числа мы можем с таким же успехом выбрать три других числа лишь бы они были соизмеримы между собой, и мы придем к периодическому решению, период которого Т будет наименьшим общим кратным величин

Если мы возьмем, в частности,

то три числа будут соизмеримы между собой, поскольку они пропорциональны числам

Это приведет нас к периодическому решению с периодом

так что мы получим

где функции, разложимые в ряд по степеням и периодические по но таким образом, что период зависит от

Если в мы заменим их значениями (14), F должна стать независимой от времени постоянной [поскольку является одним из

интегралов уравнений (1)]. Но эта постоянная, которая называется постоянной живых сил, будет зависеть от и 8 и может быть разложена в ряд по возрастающим степеням этих переменных.

Если постоянная живых сил В задана, то уравнение

можно рассматривать как соотношение, связывающее Следовательно, если мы произвольно зададим В, то всегда будет существовать периодическое решение, каково бы ни было значение этой постоянной, но период будет зависеть от и, следовательно, от

Более частным случаем, чем тот, который мы только что подробно рассмотрели, является случай, когда имеются лишь две степени свободы. Тогда зависит лишь от четырех переменных и функция зависит только от одной переменной При этом соотношения (6) сводятся

а гессиан функции сводится к откуда можно заключить следующее: каждому простому корню уравнения (7) соответствует периодическое решение уравнений (1), которое существует при всех достаточно малых значениях

Я мог бы даже добавить, что так же будет обстоять дело и для каждого корня нечетного порядка.

После того как доказано существование периодических решений, остается показать, что эти решения можно разложить в ряды по степеням и записать в виде

где периодические функции разложимые в ряды по синусам и косинусам углов, кратных

В силу теоремы мы имеем

если начальные значения при разлагается в ряд по степеням

если достаточно мало и если достаточно близко к , Мы возьмем

Кроме того, возьмем

Выберем так, чтобы получить периодическое решение, т. е. так, чтобы удовлетворялись уравнения вида (12). Мы только что видели, что если удовлетворяют этим уравнениям, то можно разложить в ряды по возрастающим степеням и что обращаются в нуль вместе с

Следовательно, будем иметь

где функция, разложенная в ряд по степеням зависит не только от а еще и от поэтому мы запишем

имея в виду, однако, что разложено в ряд по степеням но не по степеням

В этих предположениях, когда увеличивается до увеличивается до и, так как мы условились рассматривать периодическое решение с периодом не должно изменяться; следовательно, мы имеем

Так как разлагается по степеням можно записать

где зависят только от Тождество (10) показывает тогда, что не изменяется, когда заменяют на . Следовательно, периодическая функция и может быть разложена в ряд по синусам и косинусам углов, кратных

что и требовалось доказать.