Теорема Коши

23. Теорему Коши можно найти сегодня в любом классическом трактате, и я ограничился бы ее формулировкой без доказательства, если бы не хотел ее несколько дополнить.

Рассмотрим дифференциальные уравнения

Я предполагаю, что функции разложены в ряд по возрастающим степеням независимой переменной х, двух неизвестных функций у и z и произвольного параметра

Предполагая, что независимая переменная не входит в правые части уравнений (1), я не ограничиваю общности, так как система порядка содержащая независимую переменную явно, может всегда быть заменена системой порядка , в которую эта независимая переменная не входит.

Действительно, пусть, например,

Ясно, что эти два уравнения могут быть заменены следующими тремя:

Я намерен показать, что существуют три сходящихся ряда по степеням у о, 20, которые удовлетворяют уравнениям (1), когда их подставляют вместо х, у и z, и которые сводятся к соответственно при

Итак, вместо того чтобы разлагать, как это делал Коши, в ряд только по степеням независимой переменной х, я разлагаю в ряд также по степеням параметра и по степеням начальных значений Но прежде надо доказать две новые леммы.

24. Пусть

— дифференциальные уравнения, где два ряда по степеням неизвестных функций х и у, переменной и произвольного параметра

Легко проверить, что существуют два ряда

по степеням обращающиеся в нуль вместе с такие, что если подставить их по обычным правилам в уравнения (1) вместо х и у, то эти уравнения формально удовлетворяются.

Если мы попытаемся определить коэффициенты рядов методом неопределенных коэффициентов, то найдем, что каждый коэффициент ряда является целым многочленом с положительными коэффициентами от различных коэффициентов рядов

Итак, рассмотрим другие уравнения того же вида, что и (1),

такие, что

Если

— ряды обращающиеся в нуль вместе с и формально удовлетворяющие уравнениям при подстановке их вместо х и у, то можно заключить, что

25. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта. Предположим, что разлагаются в ряд по степеням для всех значений заключенных между (мы условимся рассматривать лишь

значеыия заключенные между этими пределами). Здесь я не предполагаю, что разлагаются по степеням

Тогда существуют ряды по степеням

которые обращаются в нуль вместе с и удовлетворяют формально уравнениям (1) (коэффициент при любой степени является функцией не обязательно разложимой в ряд по степеням

Как определить коэффициенты рядов

Пусть коэффициент при коэффициент при

Тогда для определения находим следующие уравнения:

где разложены в ряд по степеням

и, с другой стороны, зависят от

Кроме того, в переменные x, у и параметр должны быть заменены на и 0.

Пусть теперь уравнения предыдущего пункта

таковы, что

Пусть

— ряды по степеням обращающиеся в 0 вместе с и удовлетворяющие формально приведенным выше уравнениям

Получаем

В начальный момент времени имеем

и, кроме того,

откуда

для малых положительных значений положительны и по абсолютной величине больше, чем

Итак, запишем, что

Неравенства (4) не могут нарушиться до тех пор, пока не нарушены неравенства (3). Но это не может произойти, так как неравенства (4) вместе с неравенствами (2) влекут за собой неравенства (3). Следовательно, неравенства (4) будут всегда справедливы при

Я предполагаю доказанным, что

и намерен доказать, что

Действительно, из неравенств (5) можно заключить, что

Следовательно, мы должны заключить, что из неравенств

следуют неравенства

С помощью аналогичного рассуждения можно показать, что

Эти же неравенства можно записать в виде

26. Вернемся к уравнениям (1) п. 23

Эти уравнения формально удовлетворяются некоторыми рядами

по возрастающим степеням приводящимися соответственно к

Чтобы доказать сходимость этих рядов, сравним их с рядами, полученными из других уравнений.

Можно всегда найти три положительных действительных числа таких, что если положить

то получим

Рассмотрим уравнения

которые также можно записать в виде

Этим уравнениям можно удовлетворить с помощью рядов, аналогичных рядам (3), которые также являются рядами по степеням и сводятся к при

Положения показывают, что ряды (3) сходятся всякий раз, когда сходятся упомянутые только что мажорантные ряды.

Уравнения легко интегрируются и выражения, которые являются их интегралами, могут быть записаны в виде

где мы. положили для краткости

Эти ряды, расположенные по степеням сходятся, если только

достаточно малы.

Следовательно, то же самое справедливо и для рядов (3), что и требовалось доказать.