Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Теорема Коши23. Теорему Коши можно найти сегодня в любом классическом трактате, и я ограничился бы ее формулировкой без доказательства, если бы не хотел ее несколько дополнить. Рассмотрим дифференциальные уравнения
Я предполагаю, что функции Предполагая, что независимая переменная Действительно, пусть, например,
Ясно, что эти два уравнения могут быть заменены следующими тремя:
Я намерен показать, что существуют три сходящихся ряда по степеням Итак, вместо того чтобы разлагать, как это делал Коши, в ряд только по степеням независимой переменной х, я разлагаю в ряд также по степеням параметра 24. Пусть
— дифференциальные уравнения, где Легко проверить, что существуют два ряда
по степеням Если мы попытаемся определить коэффициенты рядов Итак, рассмотрим другие уравнения того же вида, что и (1),
такие, что
Если
— ряды
25. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта. Предположим, что значеыия Тогда существуют ряды по степеням
которые обращаются в нуль вместе с Как определить коэффициенты рядов Пусть Тогда для определения
где
и, с другой стороны, зависят от Кроме того, в Пусть теперь уравнения
таковы, что
Пусть
— ряды по степеням Получаем
В начальный момент времени имеем
и, кроме того,
откуда
Итак, запишем, что
Неравенства (4) не могут нарушиться до тех пор, пока не нарушены неравенства (3). Но это не может произойти, так как неравенства (4) вместе с неравенствами (2) влекут за собой неравенства (3). Следовательно, неравенства (4) будут всегда справедливы при
Я предполагаю доказанным, что
и намерен доказать, что
Действительно, из неравенств (5) можно заключить, что
Следовательно, мы должны заключить, что из неравенств
следуют неравенства
С помощью аналогичного рассуждения можно показать, что
Эти же неравенства можно записать в виде
26. Вернемся к уравнениям (1) п. 23
Эти уравнения формально удовлетворяются некоторыми рядами
по возрастающим степеням Чтобы доказать сходимость этих рядов, сравним их с рядами, полученными из других уравнений. Можно всегда найти три положительных действительных числа
то получим
Рассмотрим уравнения
которые также можно записать в виде
Этим уравнениям можно удовлетворить с помощью рядов, аналогичных рядам (3), которые также являются рядами по степеням Положения Уравнения
где мы. положили для краткости
Эти ряды, расположенные по степеням
достаточно малы. Следовательно, то же самое справедливо и для рядов (3), что и требовалось доказать.
|
1 |
Оглавление
|