Сравнение со старыми методами

150. К сказанному добавлю лишь одно: каким образом, не имея возможности убедиться в сходимости рядов, лучше всего выбирать средние значения Я полагаю, что эти средние значения удобно выбирать так, чтобы (начиная с х обращались в нуль при При этом начальными значениями величин будут служить а начальными значениями величины

Далее, если рассмотреть получающиеся при этом ряды

где зависят от затем разложить эти величины по степеням и расположить по возрастающим степеням правые части уравнений (1), то получим разложение по степеням тех частных решений дифференциальных уравнений, у которых начальными значениями для служат

Известно, что такое разложение сходится при достаточно малых

Пусть

Здесь и функции, зависящие от времени непериодически, но не зависящие более от Кроме того, эти функции, так же, как и об ращаются в нуль при .

Точно таким же образом, как мы получили разложение (2) из разложения (1), мы можем вывести кое-какие заключения о виде разложения (2).

Так, чтобы получить достаточно в выражении для положить Напомним, каким образом зависит от является

периодической функцией величин, которые мы обозначали через

и, кроме того,

Здесь некоторая постоянная интегрирования, а зависит от Следовательно, если положить то будет равно поскольку

В силу этого будет равно останется по-прежнему периодической функцией величин

Следовательно, не содержит векового члена.

Для того чтобы найти достаточно в выражении

положить Рассуждая точно так же, как мы только что делали, убедимся в том, что значение не приводит к появлению в векового члена. С другой стороны,

или (при

Очевидно также, что выражение для содержит вековые члены, однако в этом случае необходимо проводить различие. Я буду называть смешанными вековыми членами члены вида

и чисто вековыми членами члены вида

Можно записать

Действительно, левая часть этого уравнения периодически зависит от а при

Если равно нулю, то выражение для не содержит чисто вековых членов, но может содержать смешанные вековые члены. Если же отлично от нуля, то выражение для содержит чисто вековые члены.

Существует случай, когда заведомо равно нулю: это именно тот случай, когда ни одна из величин и? не равна нулю, и между не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами (случай п. 125). Действительно,

Здесь с помощью символа мы обозначали среднее значение периодической функции зависящей от

Однако существует еще один случай, когда также равно нулю. Предположим, что

и что, с другой стороны, несоизмеримо с Положим

где целые числа, а некоторые константы. Действительно, разложение имеет такой вид, поскольку эта функция периодически зависит от

Тогда

где

При получим

где

В силу сделанного выше предположения а может быть равной нулю лишь в том случае, если Следовательно,

причем суммирование проводится по всем членам, таким, что

Пусть теперь

где и к зависят от Такой вид должна иметь функция периодическая по у.

Пусть те значения, которые принимают и к, если вместо подставить Пусть

— функция, в которую переходит функция если в ней произвести замену на на Функция определяется уравнением

откуда

из чего следует

Если или 2, то С обращается в нуль, когда равно нулю. Следовательно, и в этом случае будут содержать смешанные вековые члены, но не будут содержать чисто вековых членов. Выражения же

напротив, могут содержать чисто вековые члены.

Применим сказанное к задаче трех тел. Обратимся вновь в рядам из .

Величины равны нулю, за исключением и .

Разложим А и по возрастающим степеням Тогда

где являются функциями от не зависящими от которые обращаются в нуль вместе с

В силу приведенных выше соображений функции Л не содержат векового члена. В этом и состоит теорема Лагранжа об инвариантности больших осей с точностью до квадратов масс.

Функции будут содержать смешанные вековые члены, но не будут содержать чистых вековых членов. В этом и заключается теорема Пуассона об инвариантности больших осей с точностью до кубов масс.

Функции вековых членов не содержат, но содержат вековые члены как чистые, так и смешанные.

Возвратимся к случаю, когда все и? отличны от нуля и не связаны никаким линейным соотношением с целыми коэффициентами. Тогда

Очевидно, что так же, как и раньше, функции не приведут к появлению векового члена, а производная не приведет к появлению чисто векового члена. С другой стороны,

Правую часть можно переписать в виде

Таким образом, мы получим еще и смешанные вековые члены, но не получим чисто вековых членов, ибо среднее значение производных всегда равно нулю.

Очевидно, что в точности те же рассуждения можно применить и к следующим членам разложения, т. е. к

Итак, в том частном случае задачи трех тел, о котором шла речь в п. 9, большая ось остается инвариантной в смысле Пуассона несколько дольше, чем это следует из соответствующего приближения.

Точно так же, если закон притяжения отличается от закона Ньютона, то разложения величин, соответствующих большим осям, не будут содержать чисто вековых членов несколько дольше, чем это следует из соответствующего приближения. Поэтому эти величины будут инвариантными в смысле Пуассона.

Таким образом, мы установили связь между методом Линдштедта и знаменитыми теоремами Лагранжа и Пуассона. Идеей о возможности такой связи мы обязаны Тиссерану.

Высказанные соображения наводят на еще одно (последнее) замечание. Может показаться, что из найденных нами в предыдущих главах разложений нельзя сделать никаких выводов, поскольку все эти разложения расходятся.

Действительно, рассмотрим разложение функции и

отсюда мы сможем вывести, что

Степени и т. д. можно без особого труда разложить по синусам величин, кратных Не кажется ли поэтому, что отсюда можно вывести, по крайней мере формально, разложение функции в тригонометрический ряд?

Очевидно, что так же будет обстоять дело и с и всеми другими членами, которые могут входить в разложение (2).

Следовательно, может показаться, будто утверждение о том, что функции, представленные рядами (2), можно разложить в чисто тригонометрические ряды, коль скоро речь идет о формальном разложении, еще не позволяет делать какие-либо выводы и поэтому не дает нам никаких сведений о виде рядов (2).

Однако такое мнение ошибочно. Если угодно, то разложения (2) с помощью весьма простого искусственного приема, которым я только что воспользовался в случае функции (я отнюдь не осмелюсь утверждать, что этим приемом до меня никто не пользовался), можно привести к чисто тригонометрическому виду, если ввести бесконечно много различных аргументов. Но теоремы предыдущих глав утверждают, что формальные разложения возможны лишь с конечным числом аргументов. Это обстоятельство заранее не очевидно, и именно оно и позволяет получить многочисленные выводы по поводу коэффициентов рядов (2) и аналогичных рядов, встречающихся в задаче трех тел [45].