Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Сходимость рядов105. Мы должны теперь изучить вопрос о сходимости этих рядов. Единственная трудность возникает, впрочем, как мы увидим, из-за делителей
Заменим уравнения (2) следующими:
Определим
где С — произвольная константа,
Полученные таким образом ряды будут сходящимися, если только тригонометрические ряды, определяющие периодические функции, от которых зависят Н, сходятся абсолютно и равномерно; но последнее всегда имеет место, так как эти периодические функции аналитичны. Что касается Из уравнений
Здесь многие члены могут соответствовать тем же показателям
то можно заметить следующее. 1. М — действительное положительное число, большее, чем 2. П означает произведение делителей (5), число которых меньше или равно Итак, если ряд Ряд сходится, если выражение
не может стать меньше любой данной величины Что мы будем делать, если это не так? Предположим, например, что к из величин а имеют положительные вещественные части,
Поскольку по предположению вещественные части
положительны, экспоненты
стремятся к Мы получим вторую систему асимптотических решений, приравнивая пулю в ряду (4) все коэффициенты А, соответствующие показателям а, вещественная часть которых положительна или равна нулю. Тогда этот ряд будет рядом по степеням
где показатели асимптотически приближаться к рассматриваемому периодическому решению. Если мы предполагаем, что данные уравнения являются уравнениями динамики, то, как мы видели, Тогда, если к из них имеют положительную вещественную часть, к других будут иметь отрицательную вещественную часть и Впрочем, в случае, когда ни один из а не имеет нулевой вещественной части, и в частности, если все а вещественны, получим
106. Предположим, что в уравнениях (1) X зависят от параметра и функции X разлагаются в ряды по степеням этого параметра. Представим себе, что при Предположим, наконец, что, как мы только что говорили, мы обратили в нуль все константы А, соответствующие таким а, вещественная часть которых отрицательная или нулевая. Ряды (4), определяющие величины Рассмотрим выражение, обратное одному из делителей (5)
Я утверждаю, что это выражение можно разложить в рядно степеням Пусть Вещественная часть
Таким образом, при
остается однозначной, непрерывной, ограниченной и меньшей по абсолютной величине, чем Отсюда в силу хорошо известной теоремы мы заключим, что эта функция разлагается в ряд по степеням
Следует заметить, что числа В самом деле, она равна вещественной части выражения Предположим, что вещественная часть
то вещественная часть (5) заведомо больше, чем Предполояшм теперь, что мнимая часть величин
то мнимая часть (5) и, следовательно, его модуль будут все еще больше В силу сделанного выше предположения ни один из них не обращается в нуль для рассматриваемых нами значений Тогда выражение, обратное произвольному делителю (5), разлагается в ряд по степеням Мы писали выше
В силу наших предположений С можно разложить в ряд по степеням
Вернемся теперь к уравнениям
Правые части уравнений Из них можно найти
С другой стороны, из уравнений (2) мы получим Каждый из членов (4) меньше по абсолютной величине соответствующего члена
|
1 |
Оглавление
|