Сходимость рядов

105. Мы должны теперь изучить вопрос о сходимости этих рядов. Единственная трудность возникает, впрочем, как мы увидим, из-за делителей

Заменим уравнения (2) следующими:

Определим Нетрудно видеть, что имеет следующий вид:

где С — произвольная константа, положительные целые числа, сумма которых равна — положительное или отрицательное целое число. Возьмем тогда

Полученные таким образом ряды будут сходящимися, если только тригонометрические ряды, определяющие периодические функции, от которых зависят Н, сходятся абсолютно и равномерно; но последнее всегда имеет место, так как эти периодические функции аналитичны. Что касается то это положительная константа.

Из уравнений можно получить в следующем виде:

Здесь многие члены могут соответствовать тем же показателям положительное целое число. Если сравнить их с рядами, полученными из (2), которые имеют вид

то можно заметить следующее.

1. М — действительное положительное число, большее, чем

2. П означает произведение делителей (5), число которых меньше или равно

Итак, если ряд сходится и если ни один из множителей (5) не меньше то ряд (4) также сходится. Итак, вот каким образом можно сформулировать условие сходимости.

Ряд сходится, если выражение

не может стать меньше любой данной величины для положительных целых значений и целых (положительных или отрицательных) значений у; другими словами, если ни один из двух выпуклых многоугольников, содержащих: первый а и второй а и не содержит начало координат; или если все величины а имеют вещественные части одного и того же знака и ни одна из них не имеет нулевой вещественной части.

Что мы будем делать, если это не так?

Предположим, например, что к из величин а имеют положительные вещественные части, к величин а имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Тогда ряд (4) останется сходящимся, если в нем равны нулю константы А, соответствующие тема, у которых вещественные части отрицательны или равны нулю, так что эти ряды дадут нам не общее решение рассматриваемых уравнений, а решение, содержащее только к произвольных постоянных. Это решение представлено рядом (4) по степеням

Поскольку по предположению вещественные части

положительны, экспоненты

стремятся к , когда стремится к Следовательно, то же самое верно и для величин это означает, что, когда стремится к решение, представленное рядом (4), асимптотически приближается к рассматриваемому периодическому решению. По этой причине мы назовем его асимптотическим решением.

Мы получим вторую систему асимптотических решений, приравнивая пулю в ряду (4) все коэффициенты А, соответствующие показателям а, вещественная часть которых положительна или равна нулю. Тогда этот ряд будет рядом по степеням

где показатели имеют отрицательную вещественную часть. Если теперь устремить соответствующее решение будет

асимптотически приближаться к рассматриваемому периодическому решению.

Если мы предполагаем, что данные уравнения являются уравнениями динамики, то, как мы видели, четно и а попарно противоположны.

Тогда, если к из них имеют положительную вещественную часть, к других будут иметь отрицательную вещественную часть и нулевую вещественную часть. Беря сначала те а, которые имеют положительную вещественную часть, мы получим частное решение, содержащее к произвольных постоянных; второе решение мы получим, беря показатели а с отрицательной вещественной частью.

Впрочем, в случае, когда ни один из а не имеет нулевой вещественной части, и в частности, если все а вещественны, получим

106. Предположим, что в уравнениях (1) X зависят от параметра и функции X разлагаются в ряды по степеням этого параметра.

Представим себе, что при характеристические показатели а все различны, так что эти показатели, определяемые уравнением (аналогичным уравнению , но таким, что все корни уравнения различны), сами разлагаются в ряды по степеням в силу пунктов 30 и 31.

Предположим, наконец, что, как мы только что говорили, мы обратили в нуль все константы А, соответствующие таким а, вещественная часть которых отрицательная или нулевая.

Ряды (4), определяющие величины тогда будут зависеть от Я намерен установить, что эти величины можно разложить в ряды не только по степеням но еще и по степеням

Рассмотрим выражение, обратное одному из делителей (5)

Я утверждаю, что это выражение можно разложить в рядно степеням

Пусть к характеристических показателей, вещественные части которых положительны при и при малых значениях и которые мы договорились сохранить. Каждый из них может быть разложен в ряд по степеням Пусть значение при мы сможем взять достаточно малым для того, чтобы а отличалось как угодно мало от при Пусть тогда положительная величина, меньшая, чем самая малая из вещественных частей к величин мы сможем взять достаточно малым для того, чтобы при вещественные части к показателей были больше

Вещественная часть будет тогда больше, чем h (если ), так что будем иметь

Таким образом, при функция

остается однозначной, непрерывной, ограниченной и меньшей по абсолютной величине, чем

Отсюда в силу хорошо известной теоремы мы заключим, что эта функция разлагается в ряд по степеням и что коэффициенты разложения меньше по абсолютной величине, чем коэффициенты разложения

Следует заметить, что числа не зависят от целых чисел и у. Исключением был бы случай, когда равно нулю. Вещественная часть делителя (5) могла бы быть меньше и даже отрицательной.

В самом деле, она равна вещественной части выражения которая положительна, минус вещественная часть которая также положительна и которая может быть больше вещественной части если равно нулю.

Предположим, что вещественная часть остается меньше некоторого числа при Тогда если

то вещественная часть (5) заведомо больше, чем итак, трудности могут встретиться лишь для тех делителей (5), для которых неравенство (7) не выполняется.

Предполояшм теперь, что мнимая часть величин остается постоянно меньше по абсолютной величине, чем некоторое положительное число если тогда мы имеем

то мнимая часть (5) и, следовательно, его модуль будут все еще больше так что трудности могут возникнуть для тех делителей (5), для которых ни одно из неравенств (7) и (8) не выполняется. Но этих делителей, которые не удовлетворяют ни одному из этих неравенств, конечное число.

В силу сделанного выше предположения ни один из них не обращается в нуль для рассматриваемых нами значений следовательно, мы можем взять достаточно малыми для того, чтобы абсолютное значение любого из них оставалось больше, чем когда остается меньше

Тогда выражение, обратное произвольному делителю (5), разлагается в ряд по степеням и коэффициенты разложения меньше по абсолютной величине, чем коэффициенты разложения

Мы писали выше

В силу наших предположений С можно разложить в ряд по степеням так что я могу положить

Вернемся теперь к уравнениям полагая в них

Правые части уравнений будут тогда сходящимися рядами по степеням

Из них можно найти в виде сходящихся рядов по степеням

С другой стороны, из уравнений (2) мы получим в виде рядов (4) по степеням

Каждый из членов (4) меньше по абсолютной величине соответствующего члена а поскольку ряды сходятся, то будут сходиться и ряды (4).