Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Случай уравнений динамики69. Перейдем теперь к уравнениям динамики
куда, я предполагаю, время не входит явно. Они имеют интеграл живых сил
Предположим, что уравнения (1) имеют периодическое решение с периодом
и составим уравнения в вариациях, положив
В п. 56 мы показали, что если
Я утверждаю, что отсюда следует, что характеристические показатели попарно равны по величине и противоположны по знаку. В самом деле, пусть и Пусть
— таблица коэффициентов этой линейной подстановки. Составим уравнение относительно X:
Для этого уравнение относительно X должно быть возвратным. Действительно, теория линейных подстановок нас учит, что если линейная подстановка не изменяет билинейной формы, то ее уравнение относительно S должно быть возвратным. Итак, если положить
то величины а должны быть попарно равными по абсолютной величине и противоположными по знаку, что и требовалось доказать. Мы вернемся к этому в п. 70. 70. Уравнения (1) предыдущего пункта всегда допускают интеграл, называемый интегралом живых сил
Я предполагаю, что они имеют, кроме того,
Я предполагаю также, что попарные скобки Пуассона этих интегралов равны нулю, т. е.
Впрочем, известно, что для произвольного интеграла
Я собираюсь доказать, что в этом случае либо все функциональные определители функций Действительно, рассмотрим снова уравнения (2) п. 56, т. е. уравнения в вариациях уравнений (1). Пусть — частное решение этих уравнений; обозначим это решение через Мы знаем, что
Я обозначу Мы видели в п. 59, что среди решений предложенных уравнений некоторые имеют замечательный вид. Для одних каждая из величин и Для других каждая из величин Уравнения (2) могут допускать только Если из Пусть
Линейно независимых решений, удовлетворяющих условиям
не может быть больше Действительно, пусть
— решение Теперь предположим, что первого или второго вида, соответствующее характеристическому показателю
Это выражение имеет следующий вид: показательная функция умноженная на целый многочлен от Но это выражение должно сводиться к постоянной. Ясно, что это может быть лишь в двух случаях: либо если эта постоянная равна нулю, либо если а Отсюда можно заключить, что если имеется Пусть
не может быть больше Следовательно, среди фундаментальных решений (которые все первого или второго вида) имеются 71. Предположим теперь, что уравнения (1) допускают интеграл
Как мы видели в п. 54, уравнения (2) будут допускать в качестве частного решения
Обозначим через Если
то
Предположим теперь, что наши уравнения (1) допускают
и пусть
Справедливо одно из двух: либо эти Предположим, что это не так и что решения Во всех случаях мы будем иметь
откуда
Я предполагаю, что, кроме того,
Равным образом будем иметь
За Среди фундаментальных решений заведомо найдется
и которые, следовательно, будут иметь характеристический показатель, равный нулю. Но эти
Я утверждаю, что, например, не может иметь место равенство
так как по предположению
а 72. Предположим теперь, что существуют
но что попарные скобки Пуассона этих Поэтому если было установлено, что уравнения (2) допускают лишь
|
1 |
Оглавление
|