Случай уравнений динамики

69. Перейдем теперь к уравнениям динамики

куда, я предполагаю, время не входит явно. Они имеют интеграл живых сил

Предположим, что уравнения (1) имеют периодическое решение с периодом

и составим уравнения в вариациях, положив

В п. 56 мы показали, что если два произвольных частных решения уравнений в вариациях, то

Я утверждаю, что отсюда следует, что характеристические показатели попарно равны по величине и противоположны по знаку.

В самом деле, пусть и начальные значения и при в некотором решении уравнений в вариациях; пусть и соответствующие значения и при Ясно, что и будут линейными функциями и так что подстановка Т, переводящая в будет линейной подстановкой.

Пусть

— таблица коэффициентов этой линейной подстановки.

Составим уравнение относительно X:

корней этого уравнения будут так называемыми мультипликаторами линейной подстановки Т. Но эта линейная подстановка Т не может быть произвольной; необходимо, чтобы она не изменяла билинейной формы

Для этого уравнение относительно X должно быть возвратным. Действительно, теория линейных подстановок нас учит, что если линейная подстановка не изменяет билинейной формы, то ее уравнение относительно S должно быть возвратным. Итак, если положить

то величины а должны быть попарно равными по абсолютной величине и противоположными по знаку, что и требовалось доказать. Мы вернемся к этому в п. 70.

70. Уравнения (1) предыдущего пункта всегда допускают интеграл, называемый интегралом живых сил

Я предполагаю, что они имеют, кроме того, однозначных интегралов

Я предполагаю также, что попарные скобки Пуассона этих интегралов равны нулю, т. е.

Впрочем, известно, что для произвольного интеграла

Я собираюсь доказать, что в этом случае либо все функциональные определители функций по любым переменным одновременно равны нулю во всех точках периодического решения, либо характеристических показателей равны нулю.

Действительно, рассмотрим снова уравнения (2) п. 56, т. е. уравнения в вариациях уравнений (1). Пусть — частное решение этих уравнений; обозначим это решение через пусть — другое рзшение этих же уравнений; обозначим его через S.

Мы знаем, что

Я обозначу левую часть этого соотношения.

Мы видели в п. 59, что среди решений предложенных уравнений некоторые имеют замечательный вид. Для одних каждая из величин и равна показательной функции умноженной на периодическую функцию от Эти решения я буду называть решениями первого вида.

Для других каждая из величин равна показательной функции умноженной на целый многочлен от , коэффициенты которого являются периодическими функциями Я буду их называть решениями второго вида.

Уравнения (2) могут допускать только линейно независимых решений. Следовательно, произвольное решение может рассматриваться как линейная комбинация решений, называемых фундаментальными.

Если из характеристических показателей различны, можно выбрать в качестве фундаментальных решений решений первого вида и решений второго вида.

Пусть

частных линейно независимых решений уравнений (2); обозначим через S произвольное решение.

Линейно независимых решений, удовлетворяющих условиям

не может быть больше

Действительно, пусть

— решение сохраним буквы и для обозначения решений тогда условия (3) нам дадут линейных соотношений между и эти соотношения различны, если частные решения линейно независимы. Следовательно, они дадут возможность понизить на единиц порядок линейных дифференциальных уравнений (2). После этого понижения порядка уравнения будут иметь только линейно независимых решений, что и требовалось доказать.

Теперь предположим, что решение первого или второго вида, соответствующее характеристическому показателю а, и что решение

первого или второго вида, соответствующее характеристическому показателю Составим выражение

Это выражение имеет следующий вид: показательная функция умноженная на целый многочлен от коэффициентами которого являются периодические функции

Но это выражение должно сводиться к постоянной. Ясно, что это может быть лишь в двух случаях: либо если эта постоянная равна нулю, либо если а

Отсюда можно заключить, что если имеется характеристических показателей, равных найдется еще равных —а, что подтверждает результат, полученный в . Действительно, если характеристических показателей равны то показателю а соответствуют линейно независимых решений первого или второго вида.

Пусть эти решений. Независимых решений удовлетворяющих соотношениям

не может быть больше

Следовательно, среди фундаментальных решений (которые все первого или второго вида) имеются для которых по меньшей мере одна из постоянных не равна нулю, и, следовательно, для которых показатель равен —а.

71. Предположим теперь, что уравнения (1) допускают интеграл

Как мы видели в п. 54, уравнения (2) будут допускать в качестве частного решения

Обозначим через это решение; функции (где надо будет заменить и их значениями, соответствующими порождающему периодическому решению) будут периодическими функциями Следовательно, решение первого вида и его характеристический показатель равен нулю.

Если другой интеграл и — решение

то

Предположим теперь, что наши уравнения (1) допускают интеграл

и пусть

решений уравнений (2), соответствующих этим интегралам.

Справедливо одно из двух: либо эти решений независимы; либо все функциональные определители по переменным, выбранным среди одновременно равны нулю во всех точках периодического решения.

Предположим, что это не так и что решения независимы.

Во всех случаях мы будем иметь

откуда

Я предполагаю, что, кроме того,

Равным образом будем иметь

За фундаментальных решений я возьму решений других решений первого или второго вида.

Среди фундаментальных решений заведомо найдется , которые (я обозначу их ) не будут одновременно удовлетворять соотношениям

и которые, следовательно, будут иметь характеристический показатель, равный нулю.

Но эти решений не совпадут с решениями

Я утверждаю, что, например, не может иметь место равенство

так как по предположению

а в силу самого своего определения этим свойством не обладает.

72. Предположим теперь, что существуют интегралов а именно,

но что попарные скобки Пуассона этих интегралов не равны нулю. Все, что можем утверждать в этом случае, это что характеристических показателя равны нулю. Но мы знаем, что по меньшей мере фундаментальных решений (тех, что мы обозначили будут первого вида с нулевым показателем.

Поэтому если было установлено, что уравнения (2) допускают лишь линейно независимых решений первого вида с нулевым показателем, то можно быть уверенным, что уравнения (1) имеют не более чем интегралов (включая или по крайней мере что если эти интегралов существуют, то все их функциональные определители по из переменных у одновременно равны нулю во всех точках периодического решения.