Решения первого сорта

40. Я хочу воспроизвести здесь то, что уже излагал по поводу этих трех сортов решений. Начну с решений первого сорта, которые содержат в качестве частного случая решения Хилла.

Вновь воспользуемся обозначениями п. 11. Пусть А, В, С — три массы, которые я предполагаю остающимися все время в одной плоскости. Пусть центр тяжести А и и — координаты В относительно осей, параллельных неподвижным осям, с началом в координаты С относительно осей, параллельных неподвижным, с началом в

Примем переменные , т. е. переменные

В данном случае, так как движение происходит в плоскости,

Взаимные расстояния между тремя телами и производные по времени этих расстояний являются функциями переменных

и разности .

Поэтому, чтобы решение было периодическим, надо, чтобы в конце периода переменные (1) принимали свои первоначальные значения и чтобы разность увеличивалась на величину, кратную например, пусть увеличится на

Если положить движение будет кеплеровым; предположим, кроме того, что первоначальные значения равны нулю, тогда движение будет круговым и равномерным.

Если начальные значения величин выбраны так, что средние движения равны решение будет периодическим с периодом

Не будем больше предполагать, что равно нулю и рассмотрим произвольное решение. Мы можем выбрать за начальный момент времени момент

соединения и за начало отсчета долгот долготу этого соединения. Начальные значения будут тогда равны нулю.

Пусть начальные значения ; начальные значения Это будут также и начальные значения четырех последних переменных (1).

Пусть теперь значение в конце периода Пусть в конце того же самого периода

— значения и

— значения четырех последних переменных (1).

Для того чтобы решение было периодическим, необходимо, чтобы

Эти уравнения не все независимы; действительно, дифференциальные уравнения движения допускают два интеграла: интеграл живой силы и интеграл площадей. Якобиан этих двух интегралов по не равен нулю при

Уравнения являются поэтому следствием пяти остальных. Следовательно, нам надо разрешить систему

к которой мы присоединим уравнение живых сил , где постоянную С будем рассматривать как фиксированную.

Итак, нужно рассмотреть функциональный определитель левых частей этих шести уравнений по шести переменным

и показать, что этот определитель не обращается в нуль при

Но при

где у и 7 — постоянные, зависящие от масс,

где

Итак, обозначают значения двух долгот в конце периода, так что

Таким образом, при зависят только от и от от

Следовательно, наш функциональный определитель является произведением трех других:

1) определителя по

2) определителя по

3) определителя по

Первый из этих трех определителей обращается в нуль лишь при впрочем, это неважно, потому, что если он обращается в нуль, то вместо того, чтобы присоединять к системе (2) уравнение живых сил, к ней можно присоединить любое другое произвольно выбранное уравнение относительно Как бы то ни было, поскольку случай представляет трудности различного рода и не интересен для приложений, мы не будем его касаться.

Второй определитель сводится к

Следовательно, он может обращаться в нуль, лишь если кратно При

имеет место равенство

Следовательно, наш определитель обращается в нуль, только если кратно разности

Точно так же третий определитель обратится в нуль, лишь если и, следовательно, кратно

Из этого следует, что для любых значений постоянной живых сил С, равной

и для малых значений задача трех тел допускает периодическое решение первого рода с периодом

Исключением является лишь тот случай, когда кратно или

Имеется четырехкратно бесконечное множество периодических решений первого сорта; действительно, при достаточно малом мы можем произвольно выбрать:

1. Период

2. Постоянную С.

3. Момент соединения, который в предыдущих рассуждениях был нами выбран за начальный момент времени.

4. Долготу соединения, которую мы выбрали за начало отсчета долгот. Таким образом, для каждого значения мы имеем периодических решений.

Эти решения можно найти следующим образом.

Предположим, что в начальный момент времени имеем

три тела будут в соединении, а их скорости будут перпендикулярны соединяющей их прямой; эта прямая будет, кроме того, осью которая в этот момент совпадает с осью Из этой симметрии положения трех тел в момент 0 немедленно вытекают следующие следствия: значения радиусов-векторов в моменты будут одинаковыми; значения долгот в моменты будут равными, но с противоположными знаками.

Мы будем говорить тогда, что в момент 0 три тела находятся в симметричном соединении.

Мы предположили, что в момент 0 имеет место симметричное соединение и в этот момент общая долгота трех тел равна нулю; таким образом, мы определим четыре из оскулирующих элементов: остаются еще четыре, которые являются произвольными, а именно, Мы распорядимся ими так, чтобы в момент снова было симметричное соединение и чтобы общая долгота трех тел была

где истинные долготы.

Здесь, собственно говоря, речь идет не о симметричном соединении, но о симметричном противостоянии.

Для того чтобы имело место симметричное соединение (или противостояние), необходимы, как только что было показано, четыре условия. Следовательно, мы получим четыре уравнения для определения четырех элементов, оставшихся произвольными. Эти четыре уравнения могут быть разрешены, если соответствующий функциональный определитель не равен нулю; но в общем случае он не равен нулю, в чем можно убедиться с помощью нетрудных вычислений, подобных тем, которые были проделаны выше и приводить которые снова не имеет смысла.

Итак, радиусы-векторы имеют одинаковые значения в момент и момент а также в момент (поскольку в момент имеет место симметричное соединение). Что касается разности долгот, ее значения в моменты (или же в моменты равны по величине и имеют противоположные знаки.

Следовательно, взаимные расстояния между тремя телами меняются периодически с периодом Т. Итак, эти решения, которые представляют то симметричные соединения, то симметричные противостояния, являются периодическими решениями.

Можно было бы подумать, что таким образом определенные периодические решения являются менее общими, чем те, существование которых мы доказали вначале. Ничуть не бывало; таких решений также четырехкратно бесконечное множество, так как мы можем выбрать произвольным образом моменты соединения и противостояния и долготу трех тел в момент соединения и противостояния; следовательно, остаются четыре произвольные постоянные. Отсюда видно, что все решения первого сорта принадлежат одной этой категории. Если подходящим образом выбрать момент О, то для всех решений первого сорта в начале каждого периода будет иметь место симметричное соединение, а в середине каждого периода — симметричное противостояние.

В этом можно убедиться еще и следующим образом.

Всегда можно предполагать, что начальный момент времени был выбран так, что начальные значения равны нулю. Для этого достаточно за начальный момент времени принять момент соединения, а за начальное значение долготы — долготу этого соединения.

С другой стороны, уравнения задачи трех тел представляют следующую симметрию: они не изменяются, если заменить на или же одновременно заменить X на —X и на

Следовательно, если имеются периодические решения, с начальными значениями переменных равными то периодическим будет и решение с начальными значениями

Следовательно, уравнения (3) не изменяются, когда заменяют на

Но эти уравнения (3) имеют лишь одно решение; следовательно, должно выполняться равенство

овначающее, что в начальный момент времени имеет место симметричное соединение, что и требовалось доказать.

Все периодических решений первого сорта связаны между собой простыми соотношениями. Можно перейти от одного решения к другому следующими способами; 1) изменяя начало отсчета времени; 2) изменяя начало отсчета долготы; 3) изменяя одновременно единицы длины и времени таким образом, чтобы единица длины увеличивалась в раз, когда единица времени увеличивается в к раз. Все эти изменения не меняют формы уравнений и, следовательно, могут только заменить одно периодическое решение на другое. Итак, по существу имеется только однократная бесконечность периодических решений, действительно различных; каждое из этих решений характеризуется отношением или, что то же самое, разностью между долготой симметричного соединения и долготой следующего за ним противостояния.