Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Случай, когда время не входит явно в уравнения38. В предыдущих рассмотрениях мы предполагали, что функции Результаты изменились бы, если бы время Прежде всего между этими двумя случаями имеется разница, которую невозможно не заметить. Мы предполагали прежде, что X были периодическими функциями времепи и период был равен Затем, если уравнения (1) п. 36 допускают периодическое решение (и если X не зависят от В самом деле, если
— периодическое решение уравнений (1), то при любой постоянной
Итак, случай, на котором мы остановились прежде всего и когда при Займемся теперь случаем, когда время
Пусть Итак, нам надо решить
относительно
У нас имеется одна лишняя неизвестная, поэтому мы можем распоряжаться ею произвольно, например, положить
Из уравнений (5) мы затем найдем
не равен нулю при Если определитель равен нулю, то вместо того, чтобы произвольно полагать
равны нулю одновременно (следует заметить, что определитель, полученный вычеркиванием последнего столбца этой матрицы, всегда равен нулю при Так как в общем случае все эти миноры не равны нулю одновременно, то дифференциальные уравнения (1) п. 36 допускают при малых значениях Обозначим через
определители, содержащиеся в этой матрице; определитель Л получается, если в матрице вычеркнуть Исходное периодическое решение дифференциальных уравнений, которое они допускают при
Я обозначаю через определитель
не обращаются одновременно в нуль. В самом деле, предположим, что не все эти определители равны нулю одновременно, а определитель Так как дифференциальные уравнения не содержат время в явном виде, то они допускают при
какова бы ни была константа Следовательно, если положить
то Это будет иметь мест о и при бесконечно малом
Эти соотношения показывают прежде всего, что определитель Кроме того, величины
не могут быть связаны с другими линейными соотношениями того же вида, т. е. вида
Действительно, в противном случае все определители обратились бы в нуль одновременно. Мы предположили, что
Но других соотношений вида (2), кроме соотношений (6), не может быть. Значит
и, следовательно,
Итак, если Если
Сперва может показаться, что произвольное введение уравнения Если, наоборот,
аналогичное уравнению того же вида из предыдущего пункта. Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой, проходящей через начало координат, и изучение этой кривой позволяет исследовать все возможные случаи. Впрочем, мы встретимся здесь в точности с теми же явлениями, что и в предыдущем пункте. Например, когда Может также случиться, что при
так что кривая
уравнением
Может даже случиться, что некоторые из функций будут делиться на
где Мы сможем тогда заменить уравнения (3) следующими:
Примеры этого мы увидим в дальнейшем. Если предположить, что существует интеграл
то уравнения (3) не все независимы и их можно заменить следующими:
где
Можно также заменить уравнения (3) следующими:
откуда вытекает важное следствие: в общем случае при малых значениях Действительно, если при
то из уравнений
вытекает, что Вот другое обстоятельство, с которым мы уже встретились в предыдущем пункте и к которому возвращаемся здесь. Пусть Представим себе, что функциональный определитель по Исключив
мы получим единственное уравнение
мы будем рассматривать его как уравнение кривой, имеющей в начате координат простую точку. Исключим теперь
получим
Мы видим, как и в предыдущем пункте, что Ф делится на Ф. Кривую
Следовательно, или кривая Но одна из ветвей кривой Это означает, что дифференциальные уравнения допускают периодические решения, период которых мало отличается от
|
1 |
Оглавление
|