Случай, когда время не входит явно в уравнения

38. В предыдущих рассмотрениях мы предполагали, что функции входящие в дифференциальные уравнения (1) п. 36, зависят от времени

Результаты изменились бы, если бы время не входило в эти уравнения.

Прежде всего между этими двумя случаями имеется разница, которую невозможно не заметить. Мы предполагали прежде, что X были периодическими функциями времепи и период был равен из этого вытекало, что если уравнения допускали периодические решения, то период этого решения должен был быть равным или кратным Если, наоборот, не зависят от то период решения может быть произвольным.

Затем, если уравнения (1) п. 36 допускают периодическое решение (и если X не зависят от то этих решений бесконечное число.

В самом деле, если

— периодическое решение уравнений (1), то при любой постоянной то же самое можно сказать и о

Итак, случай, на котором мы остановились прежде всего и когда при уравнения (1) допускают единственное периодическое решение, не может представиться, если X не зависят от

Займемся теперь случаем, когда время не входит явно в эти уравнения и предположим, что при они допускают периодическое решение с периодом Т

Пусть значение при если значение при то будут голоморфными функциями и будут обращаться в нуль вместе с этими переменными.

Итак, нам надо решить уравнений

относительно неизвестной

У нас имеется одна лишняя неизвестная, поэтому мы можем распоряжаться ею произвольно, например, положить

Из уравнений (5) мы затем найдем в виде голоморфных функций от [X, обращающихся в нуль вместе с Это можно сделать, если только определитель

не равен нулю при

Если определитель равен нулю, то вместо того, чтобы произвольно полагать можно положить, например, Наш метод не проходит, если все миноры матрицы

равны нулю одновременно (следует заметить, что определитель, полученный вычеркиванием последнего столбца этой матрицы, всегда равен нулю при

Так как в общем случае все эти миноры не равны нулю одновременно, то дифференциальные уравнения (1) п. 36 допускают при малых значениях периодическое решение с периодом

Обозначим через

определители, содержащиеся в этой матрице; определитель Л получается, если в матрице вычеркнуть столбец.

Исходное периодическое решение дифференциальных уравнений, которое они допускают при записывалось, как мы помним, в виде

Я обозначаю через производную от функции и намерен доказать следующее! если производная не равна нулю, то

определитель не может обратиться в нуль, если только все определители

не обращаются одновременно в нуль.

В самом деле, предположим, что не все эти определители равны нулю одновременно, а определитель равен нулю. Я утверждаю, что будет равна нулю.

Так как дифференциальные уравнения не содержат время в явном виде, то они допускают при периодическое решение,

какова бы ни была константа

Следовательно, если положить

то обратятся в нуль при любом

Это будет иметь мест о и при бесконечно малом что приводит к соотношениям

Эти соотношения показывают прежде всего, что определитель равен нулю.

Кроме того, величины

не могут быть связаны с другими линейными соотношениями того же вида, т. е. вида

Действительно, в противном случае все определители обратились бы в нуль одновременно.

Мы предположили, что равен нулю. Между тем этот определитель является не чем иным, как функциональный определителем по Сказать, что этот определитель равен нулю, — это сказать, что между производными от имеются соотношения вида (2) и что, кроме того,

Но других соотношений вида (2), кроме соотношений (6), не может быть. Значит

и, следовательно,

Итак, если , не равно нулю (а это можно всегда предположить, так как, если бы было не так, то подходящей замены переменных было бы достаточно, чтобы прийти к этому случаю), то бесполезно рассматривать все определители достаточно рассмотреть .

Если не равен нулю, то разрешим относительно (3) уравнения

Сперва может показаться, что произвольное введение уравнения уменьшит общность и что таким образом можно пайти лишь те периодические решения, для которых равно нулю при Но другие решения получаются, если заменить на где произвольная постоянная.

Если, наоборот, равен нулю, то, исключая из уравнений (3), получим единственное уравнение

аналогичное уравнению того же вида из предыдущего пункта.

Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой, проходящей через начало координат, и изучение этой кривой позволяет исследовать все возможные случаи.

Впрочем, мы встретимся здесь в точности с теми же явлениями, что и в предыдущем пункте.

Например, когда непрерывно меняется, периодические решения могут исчезать лишь парами, подобно корням алгебраических уравнений.

Может также случиться, что при существует бесконечное число периодических решений. Тогда Ф делится на и можно записать

так что кривая распадается на две — прямую и кривую . В этом случае мы сможем заменить уравнение

уравнением

Может даже случиться, что некоторые из функций будут делиться на так что, например,

где голоморфные функции

Мы сможем тогда заменить уравнения (3) следующими:

Примеры этого мы увидим в дальнейшем.

Если предположить, что существует интеграл

то уравнения (3) не все независимы и их можно заменить следующими:

где

произвольная постоянная.

Можно также заменить уравнения (3) следующими:

откуда вытекает важное следствие: в общем случае при малых значениях нет периодического решения, имеющего тот же период Т, что и при наоборот, если существует интеграл то можно найти, при достаточно малых периодическое решение, имеющее период, в точности равный Т.

Действительно, если при нарушается равенство

то из уравнений

вытекает, что

Вот другое обстоятельство, с которым мы уже встретились в предыдущем пункте и к которому возвращаемся здесь.

Пусть значение при значение при значение при где — целое число.

Представим себе, что функциональный определитель по не равен нулю, но функциональный определитель равен нулю.

Исключив из уравнений

мы получим единственное уравнение

мы будем рассматривать его как уравнение кривой, имеющей в начате координат простую точку.

Исключим теперь из уравнений

получим

Мы видим, как и в предыдущем пункте, что Ф делится на Ф. Кривую можно, следовательно, рассматривать как одну из ветвей кривой Так как функциональный определитель равен нулю, должно выполняться равенство

Следовательно, или кривая имеет несколько ветвей, проходящих через начало координат, или же ее касательной должна быть прямая

Но одна из ветвей кривой а именно нам уже известна, и мы знаем, что касательная к этой ветви не является прямой Следовательно, кривая имеет другие ветви, проходящие через начало.

Это означает, что дифференциальные уравнения допускают периодические решения, период которых мало отличается от эти решения отличны от периодических решений с периодом Т при малых значениях , но совпадают с ними при