Глава IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Уравнения в вариациях
53. Маловероятно, чтобы в каком-либо приложении начальные условия движения в точности соответствовали периодическому решению; но может случиться, что они отличаются от него очень мало. Тогда, если рассматривать координаты трех тел в их истинном движении и, с другой стороны, координаты, которые эти же три тела имели бы в периодическом движении, то разность остается очень малой по крайней мере в течение некоторого времени, и в первом приближении можно пренебречь квадратом этой разности.
Пусть
— система дифференциальных уравнений, где 
данные функции 
Пусть
— некоторое решение этих уравнений, которое мы назовем порождающим решением.
Пусть
— решение, мало отличающееся от первого.
Если пренебречь квадратами то можно записать
Уравнения (2) мы назовем уравнениями в вариациях уравнений (1). Понятно, что можно в первом приближении пользоваться этими уравнениями в вариациях для определения 
.
Предыдущих рассуждений достаточно, чтобы понять важность этих уравнений. Поэтому мы займемся их подробным изучением, делая упор в основном на уравнения в вариациях для уравнений динамики.
54. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта и уравнениям (2), которые являются их уравнениями в вариациях.
Когда известно решение уравнений (1), содержащее некоторое число произвольных постоянных, то можно, исходя из него, найти частные решения уравнений (2).
Действительно, предположим, что уравнения (1) удовлетворяются при
Я предполагаю, что порождающее решение получается, если положить в уравнениях (3)
где 
произвольных постоянных.
Ясно, что уравнения (2) допускают 
частных решений
Конечно, в этих производных 
после дифференцирования надо положить
Предположим теперь, что известен один интеграл уравнений (1), и пусть
— этот интеграл.
Тогда для решения 
сэлутш
и для решеии с 
где 
— две числовые постоянные.
Если мы предположим, что 
очень малы, то же самое можно будет сказать о разности 
, и если пренебречь квадратами этих величин, то получим
В частных производных 
надо, конечно, после дифференцирования положить
Уравнение (4) даст тогда интеграл уравнений (2). Важно заметить, что этот интеграл, вообще говоря, содержит время в явном виде.
Таким образом, если известен интеграл уравнений (1), можно из него получить интеграл уравнений (2).
