Исследование в общем случае

98. Недостаток места не позволяет мне провести исследование в самом общем случае; однако я могу в нескольких словах наметить путь, которым оно должно быть проведено.

Если мы будем изменять элементы орбит непрерывным образом, то особые точки функции будут также изменяться непрерывным образом. Предположим, что мы изменяем эти элементы так, что орбиты остаются вещественными и ни в какой момент не пересекаются в вещественной точке, так что ни в один момент особые точки функции не сливаются. Рассмотрим особую точку функции она будет непрерывно изменяться, и поскольку мы предположили, что она никогда не сливается ни с одной другой точкой, то можно проследить за ее изменениями, не опасаясь неоднозначности.

Я утверждаю, что если эта точка допустима в некоторый момент, то она всегда останется допустимой, и обратно, за исключением одного случая, к которому мы еще вернемся.

Действительно, допустимость особой точки равносильна тому, что среди конечных значений соответствующих этой точке, имеются такие, модуль которых больше 1, и другие, модуль которых меньше 1.

Здесь, однако, необходимо некоторое уточнение. Действительно, в частном случае, рассмотренном в предыдущем пункте, была однозначной функцией что позволило нам изобразить особые точки на плоскости

В общем случае дело обстоит иначе, и такое простое представление становится невозможным. Надо изображать особые точки функции (рассматриваемой как функция от на специальной римановой поверхности, обозначенной мною выше через S.

Эту поверхность можно определить следующим образом. Имеем

Если мы зафиксируем z, то это уравнение будет определять соотношение между х и у, которому удовлетворяет бесконечное число систем значений у, или же Каждую из этих систем значений можно назвать аналитической точкой. Каждой точке римановой поверхности будет соответствовать одна и только одна из этих аналитических точек, обратно.

Когда мы станем изменять z, риманова поверхность S также будет изменяться, потому что особые точки функции перемещаются.

Пусть значение когда модуль z становится равным единице. Мы сможем провести на поверхности 50 окружность, которую я обозначу уравнение которой

(В самом деле, если придать х произвольное значение с модулем 1, то всегда можно выбрать значение у, также имеющее модуль 1, так что z будет иметь любое наперед заданное значение с модулем 1.)

Окружность делит риманову поверхность на две области. Ту из двух областей, которая содержит соседние с точки с , я обозначу а другую — .

Итак, предположим, что точка пробегает прямую А из предыдущего пункта, и пусть мы изучаем изменения особых точек функции . Когда z изменяется, эти точки перемещаются по поверхности в то время как поверхность S сама изменяется. Две из этих точек, первоначально слившиеся в одну (которая является особой точкой функции , разделяются; когда модуль z достигает значения 1, а S сводится к 0, они достигают на этой поверхности конечных положений. (Исследование предыдущего пункта нам показало, что существуют случаи, когда одна из этих особых точек сама разделяется на две другие; тогда имеются два конечных положения, но то, что я скажу, все равно остается применимым.) Если все конечные положения принадлежат одной и той же из двух ограниченных окружностью областей на поверхности то соответствующая особая точка функции недопустима; в противном случае она допустима.

Отметим небольшое отличие этой формулировки от той, которая была дана первоначально и соответствует частному случаю, указанному в предыдущем пункте. Аффиксы двух рассматриваемых особых точек могут быть по абсолютной величине один — больше, а другой — меньше единицы, но эти две точки могут тем не менее принадлежать одной и той же из двух указанных выше областей, если они не принадлежат одному и тому же листу римановой поверхности.

Я утверждаю теперь, что при изменении элементов двух орбит особая точка, которая сначала была допустимой, не может, вообще говоря, стать недопустимой, и обратно. В самом деле, рассмотрим изменения поверхности и изменения значений, которые мы назвали конечными. Для того чтобы особая точка действительно перестала быть допустимой или стала ею, надо, чтобы соответствующее конечное значение пересекло окружность чтобы перейти из одной области в другую. Но каков же смысл уравнений этой окружности

Они означают, что обе эксцентрические аномалии вещественны. Каждой точке М римановой поверхности и в частности поверхности соответствует пара точек , лежащих на орбитах и определенных значениями эксцентрических аномалий, или, что то же самое, значениями х и у. Если точка М находится на окружности то точки вещественны. Точка М может быть особой лишь в том случае, когда расстояние равно нулю или же когда одна из точек находится на нулевом расстоя -нии от Солнца. Второе обстоятельство не может представиться в случае, когда точки вещественны; первое также не может представиться, если, как мы предположили, орбиты не пересекаются ни в одной вещественной точке.

Таким образом, невозможно, чтобы точкаокружности была особой, т. е. чтобы одно из конечных значений достигло окружности; другими словами, чтобы особая точка функции приобрела или потеряла свойство допустимости.

Остается, однако, рассмотреть один случай, когда это рассуждение не проходит. Я предполагаю, что точка пробегает прямую А, и мы изучаем соответствующие изменения особых точек функции . Вначале две из этих точек слились в одну и, следовательно, совпадают с особой точкой А функции затем они разделяются; пусть а — одна из этих точек; может случиться (и мы видели примеры этому в предыдущем пункте), что для некоторого значения z точка а сливается с другой особой точкой функции (вообще говоря, отличной от той, с которой она совпадала вначале) и, следовательно, с особой точкой В функции . Затем они разделяются, так что особая точка А имеет не два, а три конечных значения.

В этом случае для краткости я буду говорить, что точка В подчинена точке для этого надо, чтобы значение z в точке В имело тот же аргумент, что и значение z в точке А, а его модуль был ближе к единице, чем в точке А.

Пусть теперь две особые точки функции и предположим, что их z первоначально имели различные аргументы. Будем непрерывно изменять элементы двух орбит и, следовательно, точки А и если в некоторый момент точка В становится подчиненной точке А, то может

случиться, что в этот момент вопреки общему правилу, сформулированному выше, точка А становится допустимой или перестает ею быть.

Посмотрим, как это может произойти. Заметим сначала, что значения х, соответствующие особым точкам функции , определяются из алгебраических уравнений. Если точки определены, таким образом, одним и тем же неприводимым уравнением, я скажу, что они имеют одну природу, а в противном случае — различную. Нетрудно видеть, что если точки различной природы, то точка В может стать подчиненной точке при этом последняя не потеряет и не приобретет свойства допустимости.

Теперь я предположу, что точки одной природы. Если точка В недопустима, то она может стать подчиненной точке А, причем последняя не станет допустимой и не перестанет ею быть. Если, напротив, точка В допустима, то в общем случае может случиться, что в момент, когда В станет подчиненной А, точка А перестанет быть допустимой, если до этого она была таковой или же станет допустимой, если она не была допустимой. При этом точка В всегда сохраняет свойство допустимости или недопустимости.

Итак, предыдущие рассуждения позволяют нам определить, какие из точек допустимы, непрерывно изменяя элементы орбит и следуя за изменениями особых точек. При этом можно либо ограничиться таким изменением элементов, при котором две особые точки ни в один момент не имеют z с одним и тем же аргументом (чтобы избежать исследования, необходимого для определения того, действительно ли они подчинены одна другой), либо не ограничивать изменения элементов, но проводить исследование подчиненности особых точек.

Можно изменять не только элементы орбит, но и отношение отвлекаясь при этом от того, что оно должно быть рациональным; последнее мы предполагали лишь в очень частных целях, не имеющих никакого отношения к изучению допустимости особых точек. Для того чтобы только что сказанное нами было применимо, это отношение должно все же оставаться вещественным и не проходить ни через 0, ни через бесконечность.

Итак, для того чтобы можно было применить предыдущие рассуждения, достаточно знать, какие особые точки допустимы для некоторых значений элементов. Таким образом, того, что я говорил в предыдущем пункте по поводу частного случая, нам, по-видимому, достаточно; однако в этом частном случае некоторые особые точки оказывались либо 0, либо бесконечностью, и я на них не останавливался в нашем исследовании. Поэтому мне необходимо добавить еще несколько слов.

Предположим вначале, что оба эксцентриситета конечны, а наклонение остается нулевым. Пусть

Особые точки функции будут тогда определены следующими уравнениями:

Кривые (3) и (4) третьего порядка; для того чтобы они были вещественными, необходимо и достаточно, чтобы большие оси двух орбит совпадали, т. е. чтобы разность была равна 0 или .

Предположим, что тогда на кривой (3) будет двойная точка

Если х очень мало, то кривая будет иметь три ветви: первая, которую я обозначу будет мало отличаться от ветви рис. 3; вторая, которую я обозначу пройдет через начало и через двойную точку. Она будет вначале асимптотически приближаться к отрицательной оси х и будет очень близка к ней; затем, пройдя через двойную точку, она будет мало отличаться от ветви рис. 2. Третья ветвь, которую я обозначу будет асимптотически приближаться к оси у, она очень мало отличается вначале от ветви рис. 2, затем проходит через особую точку и очень близка к оси х, к которой она асимптотически приближается. Отныне я буду говорить, что две точки обратны, если они переходят одна в другую при замене х на Их, у на на на — -Две кривые (3) и (4) тогда обратны друг другу. Если и, следовательно, наши кривые вещественны, то это определение не отличается от определения предыдущего пункта.

В качестве особых точек мы имеем.

1. Пересечения кривых (3) и (4), очень мало отличающиеся от точек В, рис. 2 и 3 и которые я по-прежнему могу обозначать теми же буквами. Мы видели, что они недопустимы.

2. Пересечения и кривой (4); и кривой (3), мало отличающиеся от точек рис. 2; они также недопустимы.

3. Три точки, расположенные на кривой (3) и очень мало отличающиеся от точек рис. 2 и 3; лишь одна первая допустима.

4. Три точки, обратные предыдущим, расположенные на кривой (4); лишь та, которая мало отличается от допустима.

5. Точку, определенную уравнениями (3) и (5), расположенную на ветви и сводящуюся к при Эта точка, которую мы не рассматривали в предыдущем пункте, требует особого исследования. Исследование докажет, что эта точка, которую я обозначу Т, допустима; две особые точки функции , совпадающие с ней, разделяются,

когда пробегает прямую и вначале комплексно сопряжены, потом они снова соединяются в одну точку, соответствующую точке и затем опять разделяются, становясь вещественными. Конечные значения Т те же, что и таким образом, Т допустима, как и

6. Точку обратную Т и, следовательно, допустимую, как и она.

7. Двойную точку которую я обозначу через эту точку проходят две из ветвей кривой (3) и две прямые Этой точке соответствуют четыре конечных значения, поскольку, когда пробегает прямую А, четыре особые точки , вначале сливающиеся в одну, разделяются таким образом, что четыре изображающие точки описывают соответственно две ветви кривой (3) и прямые среди этих конечных значений три меньше 1 по абсолютной величине или, более точно, принадлежат области римановой поверхности Четвертое конечное значение — то, которое соответствует ветви кривой, — принадлежит другой области. Таким образом, точка допустима.

8. Точку обратную т. е. двойную точку кривой (4); она по той же причине допустима.

9. Остаются еще точки пересечения прямой с кривой (4), которые я обозначу , и точки пересечения прямой с кривой (3), которые я обозначу V к ним я добавлю две взаимно обратные точки

которые я обозначу . Точка X недопустима, и оба конечных значения, соответствующие двум прямым принадлежат области

Перейдем к точке V (очень близкой к началу координат точке пересечения прямой с кривой когда точка пробегает А, две изображающие точки, соответствующие двум разделяющимся особым точкам, следуют: первая — кривой (4) до точки а вторая — прямой до точки Точки подчинены, следовательно, V, и эта точка V допускает в качестве конечных значений множество конечных значений точек . Все конечные значения принадлежат области конечные значения точки которая является допустимой, принадлежат обеим областям. Итак, точка V допустима, но она перестает быть таковой, как только разность , перестав быть равной нулю, становится очень малой. Действительно, в этом случае уже не подчинены V и остаются лишь два конечных значения: одно, близкое к одному из конечных значений а другое — близкое к одному из конечных значений (соответствующему прямой оба эти конечные значения принадлежат области

Наконец, недопустимая особая точка [точка пересечения кривой (3) с прямой близкая к оси у]. Действительно, этой точке подчинены , конечные значения которых принадлежат

Таким образом, если наклонение равно нулю, разность очень мала, эксцентриситет мал, а эксцентриситет очень мал по отношению к то единственными допустимыми точками будут и обратные им.

Предположим теперь, что наклонение не равно нулю, но очень мало.

Если мы запишем, что расстояние между двумя планетами равно нулю, то получим не два разных уравнения (3) и (4), как в предыдущем случа а единое уравнение

которое, если рассматривать (как на рис. 2) х и у как координаты точки в плоскости, будет определять кривую шестого порядка.

Эта кривая распадается на две кривые третьего порядка (3) и (4), когда наклонение равно нулю; для того чтобы она была вещественной, необходимо и достаточно, чтобы большие оси орбит были перпендикулярны линии узлов.

Если наклонение очень мало, то особыми точками будут.

1. Точки, очень мало отличающиеся от и им обратных; я обозначу их теми же буквами; ясно, что допустимы лишь и обратные им.

2. Две точки очень мало отличающиеся от две точки очень мало отличающиеся от и обратные им. Все эти точки недопустимы.

3. Девять точек, мало отличающихся от а именно: два пересечения прямой два пересечения четыре точки Необходимо особое исследование.

Определив таким образом, какие точки допустимы, мы должны посмотреть, какая из них соответствует значению самому близкому к единице, чтобы выяснить, какую из этих точек следует сохранить.

Если эксцентриситет, соответствующий большей из двух больших осей, и наклонение малы по отношению к другому эксцентриситету, и если разность мала, то подходящая нам точка есть

Я вынужден ограничиться этим и прекратить здесь исследование, которое только наметил в общих чертах. Однако мне кажется, что важность темы может вдохновить не одного исследователя; кроме этого исследования, он должен будет дать быстрый и практичный метод решения алгебраических уравнений, к которым мы пришли, учитывая малость некоторых величин и тот факт, что можно ограничиться чаще всего посредственным приближением. Впрочем, его задача будет в большой мере облегчена полным аналитическим исследованием функции и ее различных ветвей.