Метод Болина

204. Недостаток метода Делоне состоит в том, что он требует большого числа замен переменных. Однако это неудобство можно обойти с помощью метода, открытого Болином. Я со своей стороны также предложил этот метод, но несколькими днями позже.

Возвратимся к нашим общим уравнениям

и предположим, что выражение

очень мало.

Задача состоит в том, чтобы проинтегрировать уравнение

Положим

Подставим эти выражения в уравнение (2), расположим получившееся разложение по степеням и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Тогда

Эти уравнения имеют следующий смысл.

Символом Ф я по-прежнему обозначаю всякую известную функцию. Я предполагаю, что в третьем уравнении (3) известна в четвертом — в пятом — Правые части этих уравнений содержат то Ф, то поскольку я предположил, что константы С нечетного индекса, т. е. коэффициенты при нечетных степенях в разложении С, равны нулю.

Кроме того, необходимо еще уточнить смысл знака 2 во втором члене левой части уравнений (3). Этот знак означает суммирование по двум индексам: и к. Следует условиться о том, что в третьем уравнении (3) каждая пара входит дважды, если к, и только один раз, если и что в остальных уравнениях (3) такая пара встречается дважды при любых значениях и к.

Как и прежде, я предполагаю, что

где постоянные. Я предполагаю, что в тех производных от которые фигурируют в уравнениях (3), величины заменены величинами так что

Кроме того, я предполагаю, что выбраны так, что

и что между не существует никаких других линейных комбинаций с целыми коэффициентами.

Поставим перед собой задачу найти S так, чтобы производная

была периодической функций от

Первое уравнение (3) попросту определяет Второе уравнение записывается в виде

Оно может выполняться, лишь если производные зависят только от , ибо если бы содержала, например, член

то левая часть уравнения (5) содержала бы член

который мог исчезнуть лишь при условии

Следовательно,

причем производная от периодическая.

Перейдем к третьему уравнению (3) и приравняем в левой и правой частях этого уравнения члены, зависящие от синуса и косинуса дуг, кратных

Первый член в левой части, который можно записать в виде

не содержит членов нужного вида, ибо если бы функция S содержала член

где

то соответствующий член выражения

можно было записать в виде

В силу соотношения (5) этот член обратился бы в нуль.

Наоборот, второй член левой части зависит лишь от и является функцией лишь от . Следовательно, все эти члены содержат лишь синусы и косинусы дуг, кратных

Введем новое обозначение.

Пусть - произвольная функция, производные которой периодичны по Тогда ее можно представить в виде ряда, все члены которого имеют следующий вид:

В этом ряду вычеркнем все тригонометрические члены, за исключением тех, для которых

Совокупность оставшихся членов можно обозначить и назвать средним значением функции

Тогда

и если V — некоторая периодическая функция, то

Следовательно, мы получаем

Я предполагаю, что в функции переменные заменены на и что функция Ф, входящая в третье уравнение (6), та же, что и в третьем уравнении (3).

Постоянную в правой части первого уравнения (6) можно обозначить

Тогда, приравнивая средние значения правой и левой части третьего уравнения (3), получим

Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнения, изучением которых мы занимались в пунктах 199—202 и, в частности, такой же вид, как второе уравнение (4) из . Поэтому так же, как и при рассмотрении второго уравнения (4), мы приходим к трем различным случаям.

Напомним, что функция имеет вид

откуда

Подставим это значение в (7). Уравнение (7) превратится в квадратное уравнение относительно и мы сможем записать его в виде

где постоянные, зависящие от констант Последние можно выбирать произвольно.

Чтобы и, следовательно, была периодической функцией относительно тпуп, необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения (8) всегда были вещественными, т. е. чтобы неравенство

выполнялось при всех значениях

Поскольку постоянные произвольны, выберем их так:

Как мы сейчас убедимся, при этом мы ничуть не уменьшаем общности.

Того же результата можно достичь, предположив, что

ибо если это условие выполнено, то выражение

становится функцией только от , которая может входить под знак функции

Как бы там ни было, если предположить, что условия (9) выполнены, уравнение (8) упрощается и его можно записать в виде

Предположим теперь, что при различных значениях постоянной мы построим кривые, выбрав в качестве радиуса-вектора некоторая постоянная, а в качестве полярного угла

Мы получим при этом фигуру, полностью аналогичную изображенной на рис. 8.

Предположим для ясности, что коэффициент А положителен. Тогда для того чтобы функция была периодической, необходимо, чтобы коэффициент А всегда был вещественным, т. е. чтобы постоянная была больше, чем максимум

В этом случае и, следовательно, будет периодической функцией от тпуп, которая никогда не обращается в нуль.

После того как найдена, речь пойдет об отыскании Эта функция должна иметь вид

где периодическая функция. В общем случае также должна иметь вид

где периодическая. Для простоты я буду предполагать, что

Как мы толйко что видели, это не ограничивает общности.

Имеем

Это уравнение аналогично первому из уравнений (6). Если условия (10) выполнены, то и, в частности,

Установив это, вернемся вновь к третьему уравнению (3), которое теперь, когда постоянная нам задана, а функция полностью определена, можно записать в виде

Известная функция Ф периодична по Пусть

Из уравнения (11) получим

где произвольная функция от тхух тпуп.

Это решение теряет смысл, если для какого-нибудь члена разложения

т. е. если

Однако это не может произойти, ибо

В самом деле, мы только что полностью определили причем сделали это так, что средние значения обеих частей третьего уравнения (3) равны. Следовательно, это должно быть справедливо и для обеих частей уравнения , отличающегося от уравнения (3) лишь тем, что некоторые его члены перенесены из одной части в другую.

Но

поскольку

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Чтобы функция была полностью известна, нам осталось еще найти произвольную функцию

Для этого приравняем средние значения обеих частей четвертого уравнения (3). В силу соотношений (10) получим

и, кроме того,

поскольку зависит лишь от Следовательно,

Если обозначить через производную от [52] по

то

и мы можем записать

Поскольку функция не обращается в нуль, периодическая функция от , не обращающаяся в бесконечность, и имеет вид

где а — некоторый постоянный коэффициент, а ряд, расположенный по синусам и косинусам дуг, кратных .

Таким образом, полностью определена. Четвертое уравнение (3) записывается в виде

Оно имеет вид, полностью аналогичный виду уравнения , и решается таким же способом. Так же рассматриваются и остальные уравнения.

Я утверждал несколько выше, что предположения (9) и (10) не уменьшают общности.

В самом деле, рассмотрим какое-нибудь решение нашего фундаментального уравнения, согласующееся с предположениями (9) и (10). Пусть такое решение и пусть

С другой стороны, пусть

и

Коэффициенты а в силу предположений (9) и (10) удовлетворяют условию

и, кроме того, зависят от постоянных интегрирования

Поскольку постоянные произвольны, я могу заменить их какими-нибудь разложениями

где новые произвольные постоянные.

Если в функции S мы заменим постоянные такими разложениями, а затем расположим результат по степеням то

где

Постоянные же мы можем выбрать так, чтобы постоянные имели какое угодно значение.

Следовательно, наши предположения не приводят ни к каким существенным ограничениям общности, что и требовалось доказать.