Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Метод Болина204. Недостаток метода Делоне состоит в том, что он требует большого числа замен переменных. Однако это неудобство можно обойти с помощью метода, открытого Болином. Я со своей стороны также предложил этот метод, но несколькими днями позже. Возвратимся к нашим общим уравнениям
и предположим, что выражение
очень мало. Задача состоит в том, чтобы проинтегрировать уравнение
Положим
Подставим эти выражения в уравнение (2), расположим получившееся разложение по степеням
Эти уравнения имеют следующий смысл. Символом Ф я по-прежнему обозначаю всякую известную функцию. Я предполагаю, что в третьем уравнении (3) известна Кроме того, необходимо еще уточнить смысл знака 2 во втором члене левой части уравнений (3). Этот знак означает суммирование по двум индексам: Как и прежде, я предполагаю, что
где
Кроме того, я предполагаю, что
и что между Поставим перед собой задачу найти S так, чтобы производная
была периодической функций от Первое уравнение (3) попросту определяет
Оно может выполняться, лишь если производные
то левая часть уравнения (5) содержала бы член
который мог исчезнуть лишь при условии
Следовательно,
причем производная от Перейдем к третьему уравнению (3) и приравняем в левой и правой частях этого уравнения члены, зависящие от синуса и косинуса дуг, кратных
Первый член в левой части, который можно записать в виде
не содержит членов нужного вида, ибо если бы функция S содержала член
где
то соответствующий член выражения
можно было записать в виде
В силу соотношения (5) этот член обратился бы в нуль. Наоборот, второй член левой части зависит лишь от
Введем новое обозначение. Пусть
В этом ряду вычеркнем все тригонометрические члены, за исключением тех, для которых
Совокупность оставшихся членов можно обозначить Тогда
и если V — некоторая периодическая функция, то
Следовательно, мы получаем
Я предполагаю, что в функции Постоянную в правой части первого уравнения (6) можно обозначить Тогда, приравнивая средние значения правой и левой части третьего уравнения (3), получим
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнения, изучением которых мы занимались в пунктах 199—202 и, в частности, такой же вид, как второе уравнение (4) из Напомним, что функция имеет вид
откуда
Подставим это значение
где Чтобы
выполнялось при всех значениях
Поскольку постоянные
Как мы сейчас убедимся, при этом мы ничуть не уменьшаем общности. Того же результата можно достичь, предположив, что
ибо если это условие выполнено, то выражение
становится функцией только от Как бы там ни было, если предположить, что условия (9) выполнены, уравнение (8) упрощается и его можно записать в виде
Предположим теперь, что при различных значениях постоянной
Мы получим при этом фигуру, полностью аналогичную изображенной на рис. 8. Предположим для ясности, что коэффициент А положителен. Тогда для того чтобы функция В этом случае После того как найдена, речь пойдет об отыскании
где
где
Как мы толйко что видели, это не ограничивает общности. Имеем
Это уравнение аналогично первому из уравнений (6). Если условия (10) выполнены, то Установив это, вернемся вновь к третьему уравнению (3), которое теперь, когда постоянная
Известная функция Ф периодична по
Из уравнения (11) получим
где Это решение теряет смысл, если для какого-нибудь члена разложения
т. е. если
Однако это не может произойти, ибо
В самом деле, мы только что полностью определили Но
поскольку
Следовательно,
что и требовалось доказать. Чтобы функция
Для этого приравняем средние значения обеих частей четвертого уравнения (3). В силу соотношений (10) получим
и, кроме того,
поскольку
Если обозначить через
то
и мы можем записать
Поскольку функция
где а — некоторый постоянный коэффициент, а Таким образом,
Оно имеет вид, полностью аналогичный виду уравнения Я утверждал несколько выше, что предположения (9) и (10) не уменьшают общности. В самом деле, рассмотрим какое-нибудь решение нашего фундаментального уравнения, согласующееся с предположениями (9) и (10). Пусть
С другой стороны, пусть
и
Коэффициенты а в силу предположений (9) и (10) удовлетворяют условию
и, кроме того, зависят от постоянных интегрирования Поскольку постоянные произвольны, я могу заменить их какими-нибудь разложениями
где Если в функции S мы заменим постоянные
где
Постоянные же Следовательно, наши предположения не приводят ни к каким существенным ограничениям общности, что и требовалось доказать.
|
1 |
Оглавление
|