Спутники Юпитера

50. Но наиболее поразительный пример доставляет нам сам Лаплас своей замечательной теорией спутников Юпитера.

Действительно, существуют истинные периодические решения первого сорта, когда вместо трех тел рассматриваются четыре или более. Рассмотрим, в самом деле, центральное тело большой массы и три других малых тела нулевой массы, вращающихся вокруг первого в соответствии с законами Кеплера. Представим себе, что эксцентриситеты и наклонения равны нулю, так что движение будет круговым. Предположим, что между тремя средними движениями существует линейное соотношение с целыми коэффициентами

где — три целых взаимно простых числа, таких, что

тогда можно найти три целых числа , таких, что

и будем иметь

где некоторые величины.

По прошествии времени Т долготы трех тел увеличатся на величины

а разности между долготами второго и третьего спутников и долготой первого увеличатся на

Значит, если выбрать Т так, чтобы было кратным то углы, образованные радиусами-векторами, идущими от центрального тела трем спутникам, примут свое первоначальное значение. Итак, рассмотренное решение при является периодическим с периодом Т.

Сохранит ли задача периодическое решение с периодом Т, если принять во внимание взаимодействие трех малых тел, так что их движение не будет кеплеровским или, другими словами, если параметр принимает значение, не равное нулю, но очень малое?

Исследование, аналогичное тому, которое было проведено в п. 40, показывает, что это действительно так: имеется периодическое решение с периодом Т, аналогичное решениям первого сорта, при котором орбиты почти круговые. Три малых тела находятся как в начале, так и в середине каждого периода в симметричном соединении или симметричном противостоянии.

Лаплас показал, что орбиты трех спутников Юпитера очень мало отличаются от тех, по которым они бы следовали в подобном периодическом решении и что оложения этих трех малых тел постоянно колеблются около положени которые они имели бы в этом периодическом решении.