Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава V. НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ81. Рассмотрим вновь наши канонические уравнения
Я предполагаю сначала, что функция Я собираюсь доказать, что за исключением некоторых особых случаев, которые будем изучать в дальнейшем, уравнения (1) не допускают никаких других аналитических однозначных интегралов, кроме интеграла Вот что я понимаю под этим. Пусть Ф — аналитическая и однозначная функция Не обязательно предполагать, что эта функция аналитична и однозначна при всех значениях переменных Я предполагаю лишь, что эта функция аналитична и однозначна для всех действительных значений переменных у, для достаточно малых (я и для систем значений х, принадлежащих некоторой области
где Я утверждаю, что функция Ф такого вида не может быть интегралом уравнений (1). Необходимое и достаточное условие того, чтобы функция была интегралом, записывается в обозначениях п. 3 в виде
или, если заменить
Таким образом, мы имеем в отдельности следующие уравнения, которые я использую в дальнейшем:
и
Я утверждаю, что всегда можно предполагать, что
Я утверждаю, что
Можно разрешить это уравнение относительно
Заменяя
получаем
Все это так в предположении, что Теперь, если Ф — однозначный интеграл, то такова же и разность
Ф будет однозначным и аналитическим интегралом вида
Вообще говоря, Я утверждаю, что, повторяя таким образом эту операцию, мы в конце концов придем к интегралу, не сводящемуся к функции от Действительно, пусть Очевидно, Пусть теперь
так что Таким образом, через самое большее Следовательно, если существует аналитический и однозначный интеграл Ф, отличный от Таким образом, мы всегда имеем право предполагать, что 82. Я утверждаю теперь, что Ф. не может зависеть от переменных у. Действительно, если
где Теперь мы имеем
поскольку С другой стороны,
так что уравнение (2) имеет вид
и, поскольку это равенство должно выполняться тождественно, мы будем иметь для всех систем целых значений
так что тождественно выполняется одно из равенств
или же
Из тождества (5) выводим с помощью дифференцирования
Но это может иметь место лишь в двух случаях: если
или если гессиан функции Изучим теперь уравнение (3). Поскольку
С другой стороны,
где Для краткости я буду обозначать, как и выше, эту экспоненту через
где Тогда
так что уравнение (3), разделенное на
Поскольку это уравнение оказывается тождеством, мы должны иметь при всех системах целых значений
Соотношение (6) должно выполняться при всех значениях х. Дадим теперь х такие значения, что
тогда правая часть соотношения (6) обращается в нуль. Следовательно, каждый раз, когда х удовлетворяют уравнению (7), должно выполняться равенство
или же равенство
Функция Пусть
Можно найти бесконечное число систем целых чисел
Для каждой из этих систем целых чисел должно выполняться равенство
и, следовательно,
Сравнение этих двух уравнений показывает, что
т. e. что якобиан и Так должно быть для всех значений х, которые удовлетворяют соотношениям вида (10), т. е. для всех таких значений, что Равенство всех якобианов функций
|
1 |
Оглавление
|