Теорема о максимумах

34. Пусть произвольная голоморфная функция Известно, что можно найти все максимумы этой функции, если решить систему

но известно также, что не все решения этой системы соответствуют максимумам.

Я утверждаю, что, для того чтобы некоторое решение могло соответствовать максимуму необходимо, но разумеется не достаточно, чтобы порядок решения был нечетным.

Это очевидно, когда имеются единственная переменная и единственное уравнение

В самом деле, известно, что максимума не может быть, если первая производная не обращающаяся в нуль, не является производной четного порядка.

Распространим подобный результат на общий случай и для определенности рассмотрим случай лишь двух переменных Будем считать и координатами точки на плоскости; мы всегда можем предположить, что за начало координат взята точка, соответствующая максимуму, так что максимум имеет место при

Можно тогда описать вокруг начала координат замкнутую кривую С, очень маленькую и такую, что во всех ее точках выполняется неравенство

Более того: можно предположить, что эта кривая имеет уравнение вида

где К — очень малая постоянная, и что внутри этой замкнутой кривой С имеет место неравенство

следовательно, при пересечении кривой С снаружи внутрь растет. Мы хотим установить, что

— решение нечетного порядка системы

Это сводится к следующему: пусть функция от обращающаяся в при Тогда система

при имеет кратное решение

Можно всегда выбрать функцию (которая нам задана лишь при и остается произвольной при других значениях таким образом, что при отличных от нуля значениях эта же самая система имеет лишь простые решения. Итак, необходимо установить следующий факт: если достаточно мало, то внутри кривой С имеется нечетное число этих простых решений.

В моем MeMyape«Sur les courbes definies par les equations differentielles» [pt. IV, chap. XVIII. (Journal de Liouville, serie 4, t. II, p. 177)] [10] я имел случай изучать распределение особых точек системы дифференциальных уравнений и опрзделить для этой цели индекс Кронекера замкнутой кривой или замкнутой поверхности по отношению к этой системе дифференциальных уравнений. Здесь нам надо рассмотреть следующую систему:

и в более общем случае

Особые точки системы (2) будут решениями системы (1).

Нам надо вычислить индекс Кронекера замкнутой кривой С по отношению к системе (2). Можно проверить, что он равен единице при и отсюда заключить, что он остается равным единице для малых значений так как может изменяться лишь в том случае, если одно из решений системы (1) пересекло кривую С.

Следовательно, число положительных особых точек системы (2), расположенных внутри С, равно числу отрицательных особых точек плюс единица.

Итак, общее число особых точек, т. е. общее число решений системы (1), простых по предположению и расположенных внутри С, нечетно, что и требовалось доказать.

Эти рассуждения без изменений применимы в случае более чем двух переменных.