Другой пример

159. Пусть

пар сопряженных переменных.

Предположим, что функцию можно разложить по возрастающим степеням и и что в ее разложении нет членов ни пулевой, ни первой степени, а члены второй степени можно записать в виде

Я записал квадрат величины в скобках чтобы не путать его с обозначением которым мы воспользуемся несколько позднее. В этом случае 2 будет являться уже не показателем степени, а индексом.

Пусть

— наши дифференциальные уравнения.

Предположим, что и можно разложить по степеням некоторых постоянных интегрирования и запишем

(страница пропущена)

Прежде всего нетрудно найти, что

Заметим затем, что из уравнений (2) следует, что

Теперь мы вычислим ряды с помощью уравнения (4), уравнения

и

Решить уравнение (3), а следовательно, и вытекающие из него уравнения (2) и (1), весьма несложно.

Предположим, что мы уже нашли величины

и что требуется найти

Приравняем в уравнении (4) члены порядка в правой и левой частях, а в правых и левых частях уравнений (5) и (6) — члены порядка. Так же, как и в предыдущей главе, я обозначу для краткости

Тогда

Заметив, что

мы сможем записать

Комбинируя уравнения (8) и (9), получим

С другой стороны, уравнение (9) можно записать в виде

а уравнение (7) — в виде

Тогда из уравнения (10) найдем Уравнение даст Записывая условие того, что среднее значение правой части уравнения (12) равно нулю, получим а затем из уравнения (12) найдем Зная таким образом получим

Для того чтобы найти эти величины, можно было бы воспользоваться следующими уравнениями, которые получаются, если приравнять в уравнении (2) члены порядка в правой и левой частях и проделать то же самое с уравнением (9) из п. 152

С помощью рассуждений, вполне аналогичных рассуждениям п. 153, можно было бы показать, что и допускают разложение по степени с величин

и что то же относится и к (т. е. эти величины, не зависящие от можно разлагать по четным степеням а.

В силу уравнения (10) то же справедливо и для периодических членов функций

Известно, что

где константы, а периодическая функция. Уравнение (10) и рассуждения, аналогичные тем, которые проводились в дают нам возможность убедиться в том, что относительно условие выполнено. Что же касается величин то их можно выбирать произвольно. Следовательно, можно предположить, что разлагаются по четным степеням и делятся на

Повторять здесь рассуждения, которыми мы воспользовались в п. 153, было бы излишним.

Мы лишь коротко остановимся на том, что происходит при рассмотрении уравнения . Это уравнение доставляет нам величину Разумеется, эта величина должна делиться на (действительно, я уже говорил, что и Ф делятся на

Замечу, что если является функцией, допускающей разложение по степеням и мы разложим ее в тригонометрический ряд, то коэффициент при косинусе или синусе аргумента

в этом разложении будет делиться на

В силу этого коэффициенты при членах, зависящих от будут делиться на следовательно, производная делится на

Но

причем выбрано так, чтобы оно делилось на а производная как мы только что видели, также должна делиться на Следовательно, производная делится на

С другой стороны, Ф представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением сомножителей вида

и, следовательно, делится на

Поэтому и функция Ф делится на что и требовалось доказать.

160. Предположим, что зависит от малого параметра

Я по-прежнему исхожу из предположения о том, что разлагается по степеням и что разложение начинается с членов второго порядка,

которые можно записать в виде

Однако относительно разложений функций я предполагаю, что они начинаются с членов первого порядка.

Я намереваюсь разложить

не только по степеням констант ной по степеням

Символами

я обозначу члены порядка относительно и порядка относительно

Тогда

Поэтому

откуда

Предположим, что мы уже вычислили

могут принимать все значения, кроме Пусть требуется вычислить

Обратимся еще раз к уравнениям (1) — (6) предыдущего пункта. Приравняем в правой и левой частях уравнения (4) члены порядка относительно и порядка относительно . В уравнениях (5) и (6) мы точно таким же образом приравняем члены, имеющие порядок относительно

и порядок относительно Пусть

Тогда мы снова получим уравнения (7) — (14) предыдущего пункта с тем лишь различием, что вместо простых индексов (верхних или нижних) или будут фигурировать двойные индексы или а вместо простых индексов 1 или 0 появятся двойные индексы 1,0 или 0,0.

Так же, как и в предыдущем пункте, воспользуемся этими уравнениями для того, чтобы последовательно найти а следовательно, и

Ясно, что так же, как в п. 153, величины можно будет разлагать по степеням

Отсюда следует, что константы.

С другой стороны, необходимо обратить внимание на то, что замечание, сделанное в п. 126, в силу которого средние значения и можно выбирать произвольным образом, в рассматриваемом случае применимо лишь при некоторых ограничениях.

В самом деле, обратимся еще раз к рассуждениям, изложенным в п. 126. Рассмотрим разложения по степеням

Заменим на

и этих выражениях две функции, допускающие разложение по степеням которые равны нулю всякий раз, когда эти величины обращаются в нуль. Величины при произведенной замене не изменятся. Отсюда следует, что средние значения величин

можно выбирать произвольно, чего нельзя сказать о средних значениях величин

Нетрудно видеть, что средние значения последних должны быть равными нулю.

Предположим теперь, что мы снова возвратились к уравнениям (1) — (6) п. 159 и рассматриваем в уравнениях (1) — (4) члены нулевого порядка относительно а в уравнениях (5) и (6) члены нулевого или

первого порядка относительно а. Получим уравнения, форма которых будет несколько отличаться от уравнений (7) — (14). Следовательно, необходимо рассмотреть их особо.

Различие в форме уравнений проявляется прежде всего в том, что равно пулю, если а с другой стороны, в том, что становятся константами,

Достаточно рассмотреть уравнения (1), (2), (5) и (6), из которых уравнения (3) и (4) следуют тотчас же. Введем для краткости обозначения

Точно таким же образом определим Пусть означает функцию, которая получается в результате подстановки и вместо

Тогда в уравнениях (1) и (2) члены нулевого порядка дадут нам

Эти два уравнения дают нам возможность последовательно найти

Члены нулевого и первого порядка в уравнении (5) дают

Первое из этих уравнений позволяет определить константу, стоящую в его правой части [в этом случае ее уже нельзя выбирать произвольно, как это можно было сделать с константой, входящей в уравнение (8), когда предполагалось, что ].

Разумеется, второе уравнение удовлетворяется и константа, стоящая в его правой части, равна нулю, поскольку обе производные от равны нулю.

Остается уравнение (6). Рассматривая члены нулевого порядка, получим

так как константы и Чтобы это уравнение выполнялось, достаточно предположить, что константы.

Члены первого порядка приводят к соотношению

Чтобы удовлетворить этому уравнению, достаточно предположить, что

Итак, члены нулевого и первого порядка не приводят ни к каким затруднениям, как можно было опасаться.