Обобщение периодических решений

198. К теории уравнений, изучением которых мы занимались в настоящей главе, имеет отношение одно утверждение, которым Гильден, не формулируя его в явном виде, неоднократно пользовался. Я не могу не упомянуть это утверждение.

Рассмотрим следующее уравнение:

где а — некоторая постоянная, малый параметр, функция от допускающая разложение по степеням и синусам и косинусам линейных комбинаций величин

с целыми коэффициентами.

Если имеется лишь один аргумент то функция будет периодической по с периодом В этом случае уравнение (1) имеет периодическое решение, обладающее таким же периодом. В самом деле, очевидно, что каково бы ни было а, это уравнение имеет периодическое решение

Отсюда в силу принципов, изложенных в главе III, следует, что это уравнение имеет периодическое решение и при малых значениях

Можно ли обобщить этот результат на случай, когда содержит различных аргументов

Имеет ли в этом случае уравнение (1) решение вида

где разлагаются в ряд по синусам и косинусам линейных комбинаций

Чтобы разобраться в этом, воспользуемся методом, напоминающим метод .

Этот метод хотя носит более общий характер, оказывается более простым, ибо в я намеренно ввел одну трудность (при которая не возникает в общем случае.

Предположим, что задача решена, и подставим в вместо х разложение (2). После такой подстановки функция будет допускать разложение по степеням во-первых, потому, что эта функция еще до подстановки разлагалась по степеням этой переменной, и во-вторых, потому, что выражение для х, задаваемое формулой (2), само разлагается по степеням Итак,

где зависит лишь от зависит от от и т. д. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем

Эти уравнения позволяют последовательно найти Уравнения (3) имеют вид

Если разложить по синусам и косинусам линейных комбинаций и записать

где целые числа, а — некоторые постоянные, то

будет иметь желаемый вид.

Остается лишь убедиться в том, что разложение (2) сходится. Это действительно так, если параметр а положителен.

В самом деле, пусть а — положительный параметр. Тогда

Воспользуемся вновь обозначениями главы II и введем новую функцию от того же вида, что и Эту функцию обозначим Предположим, что новая функция такова, что

Далее определим с помощью уравнения

и с помощью уравнения (4). Очевидно, что

Пусть функция того же вида, что и и такая, что

Рассмотрим уравнение, задающее новую функцию

Из этого уравнения можно найти х в виде сходящегося ряда, расположенного по степеням

коэффициенты которого разлагаются в ряд по синусам и косинусам ли яейных комбинаций

Если в вместо х подставить это разложение, то

где зависит только от зависит от от

Кроме того,

Здесь для краткости вместо записано

Из уравнения (5) находим

Отсюда последовательно получим

и, наконец,

что и доказывает сходимость разложения (2).

Итак, разложение (2) сходится в двух случаях:

1) при любом а, если имеется только один аргумент

2) при любом числе аргументов, если