Обобщение периодических решений
198. К теории уравнений, изучением которых мы занимались в настоящей главе, имеет отношение одно утверждение, которым Гильден, не формулируя его в явном виде, неоднократно пользовался. Я не могу не упомянуть это утверждение.
Рассмотрим следующее уравнение:
где а — некоторая постоянная,
малый параметр,
функция от
допускающая разложение по степеням
и синусам и косинусам линейных комбинаций
величин
с целыми коэффициентами.
Если имеется лишь один аргумент
то функция
будет периодической по
с периодом
В этом случае уравнение (1) имеет периодическое решение, обладающее таким же периодом. В самом деле, очевидно, что каково бы ни было а, это уравнение имеет периодическое решение
Отсюда в силу принципов, изложенных в главе III, следует, что это уравнение имеет периодическое решение и при малых значениях
Можно ли обобщить этот результат на случай, когда
содержит
различных аргументов
Имеет ли в этом случае уравнение (1) решение вида
где
разлагаются в ряд по синусам и косинусам линейных комбинаций
Чтобы разобраться в этом, воспользуемся методом, напоминающим метод
.
Этот метод хотя
носит более общий характер, оказывается более простым, ибо в
я намеренно ввел одну трудность (при
которая не возникает в общем случае.
Предположим, что задача решена, и подставим в
вместо х разложение (2). После такой подстановки функция
будет допускать разложение по степеням
во-первых, потому, что эта функция еще до подстановки разлагалась по степеням этой переменной, и во-вторых, потому, что выражение для х, задаваемое формулой (2), само разлагается по степеням
Итак,
где
зависит лишь от
зависит от
от
и т. д. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
получаем
Эти уравнения позволяют последовательно найти
Уравнения (3) имеют вид
Если
разложить по синусам и косинусам линейных комбинаций
и записать
где
целые числа, а
— некоторые постоянные, то
будет иметь желаемый вид.
Остается лишь убедиться в том, что разложение (2) сходится. Это действительно так, если параметр а положителен.
В самом деле, пусть а — положительный параметр. Тогда
Воспользуемся вновь обозначениями главы II и введем новую функцию от
того же вида, что и
Эту функцию обозначим Предположим, что новая функция такова, что
Далее определим
с помощью уравнения
и
с помощью уравнения (4). Очевидно, что
Пусть
функция того же вида, что и
и такая, что
Рассмотрим уравнение, задающее новую функцию
Из этого уравнения можно найти х в виде сходящегося ряда, расположенного по степеням
коэффициенты которого разлагаются в ряд по синусам и косинусам ли яейных комбинаций
Если в
вместо х подставить это разложение, то
где
зависит только от
зависит от
от
Кроме того,
Здесь для краткости вместо
записано
Из уравнения (5) находим
Отсюда последовательно получим
и, наконец,
что и доказывает сходимость разложения (2).
Итак, разложение (2) сходится в двух случаях:
1) при любом а, если имеется только один аргумент
2) при любом числе аргументов, если