Обобщение теоремы Коши

27. Из п. 26 следует, что решения дифференциального уравнения можно разложить в ряд по степеням произвольного параметра но только для достаточно малых по модулю значений независимой переменной Мы попытаемся теперь освободиться от этого ограничения.

Рассмотрим следующие уравнения:

Здесь я снова предполагаю, что переменная явно входит в уравнения. Пусть

то из решений уравнения (1), для которого начальные значения у при равны нулю.

Я предполагаю, что для всех значений заключенных между обе функции можно разложить в ряд по степеням (причем коэффициенты разложений являются функциями

Это условие можно выразить иначе: если для некоторой системы значений одна из функций или перестает быть голоморфной, то говорят, что эта система значений соответствует особой точке уравнений (1). Следовательно, мы можем сформулировать предыдущее условие несколько некорректным, но удобным способом, сказав, что частное решение

не будет проходить ни через одну особую точку.

Я утверждаю, что если это условие выполнено, то для всех значений заключенных между можно разложить в ряд по степеням (именно а не если только достаточно мал.

Замечу прежде всего, что, не уменьшая общности, можно предположить, что функции тождественно обращаются в нуль при

или, что то же самое, предположить, что тождественно выполняется равенство

Действительно, если бы это было не так, можно быдо бы сделать замену переменных

И прийти к случаю, который мы только что указали, ибо преобразованные уравнения допускали бы в качестве решений при

Итак, примем это предположение. Функции будут разлагаться в ряд по степеням х, у и но я не предполагаю, что они разлагаются в ряд по степеням

Мы сможем найти ряды (3), разложенные по степеням и такие, что если их подставить вместо у, они формально будут удовлетворять уравнениям (1). Кроме того, эти ряды обращаются в нуль при

Чтобы доказать сходимость этих рядов, образуем уравнения, аналогичные уравнениям из п. 26.

Функции разлагаются в ряд по степеням если только

Когда будет изменяться от 0 до радиусы сходимости этих разложений тоже будут изменяться, но можно указать для них нижнюю границу. Можно, следовательно, согласно п. 20 найти два положительных числа таких, что для всех значений заключенных между будут выполняться неравенства

где

Составим тогда уравнения

Эти уравнения можно удовлетворить рядами того же вида, что и ряды (3), удовлетворяющими формально этим уравнениям.

Согласно ряды (3) будут сходиться, когда ряды сходятся.

Итак, если мы положим

то наши уравнения дадут

и

или

откуда, поскольку при t = 0,

Легко проверить,что , следовательно, у разлагаются в рядпостепеням и что разложения сходятся для всех значений если только достаточно мал; из этого можно заключить, что ряды и ряды (3) сходятся, что и требовалось доказать.