Основные формулы
– Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:
\[
p=\frac{1}{3} n m_{0}\left\langle v^{2}\right\rangle=\frac{2}{3} n\left\langle\varepsilon_{\text {пост }}\right\rangle .
\]

где $m_{0}$ – масса одной молекулы, $n$ – концентрация молекул, $\left\langle v^{2}\right\rangle$ среднее значение квадрата скорости молекул, $\left\langle\varepsilon_{\text {пост }}\right\rangle$ – средняя энергия поступательного движения молекул газа.
– Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени:
\[
\mu=\frac{n\langle v\rangle}{4},
\]

где $n$ – концентрация молекул газа, $\langle v\rangle$ – их средняя скорость.
– Средняя энергия молекул:

\[
\langle\varepsilon\rangle=(i / 2) k T
\]

где $i=n_{\text {пост }}+n_{\text {вр }}+2 n_{\text {кол }}$ – – сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы молекул газа.
– Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:
\[
\begin{array}{l}
v_{\text {вер }}=\sqrt{2 k T / m_{0}}=\sqrt{2 R T / M}, \\
\langle v\rangle=\sqrt{(8 / \pi) k T / m_{0}}=\sqrt{(8 / \pi) R T / M}, \\
v_{\text {кв }}=\sqrt{\left\langle v^{2}\right\rangle}=\sqrt{3 k T / m_{0}}=\sqrt{3 R T / M} .
\end{array}
\]

где $m_{0}$ – масса одной молекулы, $M$ – молярная масса газа.
Примеры решения задач
2.3.1. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в $\eta=1,5$ раза?
Решение.
Пусть начальная температура газа равна $T_{1}$, а конечная $T_{2}$. Тогда, по условию задачи
\[
v_{1 \text { кв }} / v_{2 \text { кв }}=\sqrt{T_{1} / T_{2}}=\eta .
\]

Так как при адиабатическом процессе $T V^{\gamma-1}=$ const , то
\[
T_{1} V_{1}^{\gamma-1}=T_{2} V_{2}^{\gamma-1}=\left(T_{1} / \eta^{2}\right) V_{2}^{\gamma-1},
\]

откуда
\[
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\eta^{\frac{2}{\gamma-1}},
\]

или, с учетом того, что $\gamma=(i+2) / i$,
\[
V_{2} / V_{1}=\eta^{i} \text {. }
\]

Для жестких двухатомных молекул число поступательных степеней свободы $\mathrm{n}_{\text {пост }}=3$, число вращательных степеней свободы $\mathrm{n}_{\text {вр }}=2$, а число колебательных степеней свободы $\mathrm{n}_{\text {кол }}=0$, поэтому, $i=n_{\text {пост }}+n_{\text {вр }}+2 n_{\text {кол }}=5$. Таким образом, $V_{2} / V_{1}=1,5^{5}=7,6$.
Ответ: $V_{2} / V_{1}=\eta^{i}=7,6$.

2.3.2. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в $\eta=5$ раз по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии.
Решение.
Начальная температура газа в нормальном состоянии равна $T_{0}=300 \mathrm{~K}$. Конечная температура $T_{1}$ определится из уравнения адиабатического процесса
\[
T_{0} V_{0}^{\gamma-1}=T_{1} V_{1}^{\gamma-1},
\]

откуда
\[
T_{1}=T_{0}\left(V_{0} / V_{1}\right)^{\gamma-1}=T_{0} \eta^{\gamma-1} .
\]

Согласно закону равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы молекулы на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем ( $1 / 2) k T$ кинетической энергии. Поэтому на две вращательные степени свободы жесткой двухатомной молекулы газа при температуре $T_{1}$ приходится средняя кинетическая энергия
\[
\left\langle\varepsilon_{\text {вр }}\right\rangle=2 k T_{1} / 2=k T_{0} \eta^{\gamma-1}=k T_{0} \eta^{2 / i}
\]

Для газа из жестких двухатомных молекул $i=5$, поэтому, $\left\langle\varepsilon_{\text {вр }}\right\rangle=0,7 \times$ $10^{-20}$ Дж.
Ответ: $\left\langle\varepsilon_{\text {вр }}\right\rangle=k T_{0} \eta^{2 / i}=0,7 \times 10^{-20}$ Дж.
2.3.3. Газ из жестких двухатомных молекул расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.
Решение
Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени равно
\[
v=\frac{n_{0}\langle v\rangle}{4}=\frac{n_{0}}{4} \sqrt{(8 / \pi) k T / m_{0}}
\]

и остается постоянным, следовательно, уравнение рассматриваемого процесса $n_{0} T^{1 / 2}=$ const, где $n_{0}$ – концентрация молекул газа. С помощью уравнения состояния идеального газа $p=n_{0} k T$ перепишем уравнение этого процесса в виде $T p^{-2}=$ const .

По условию задачи этот процесс политропический. Уравнение политропического процесса $T p^{(1-n) / n}=$ const . Сравнение дает
\[
\frac{1-n}{n}=-2 \text {, }
\]

откуда, $n=-1$. Поэтому, молярная теплоемкость газа $c$ в рассматриваемом процессе определится из уравнения
\[
\frac{c-c_{\mathrm{p}}}{c-c_{\mathrm{v}}}=-1,
\]

решая которое относительно $c$, получаем
\[
c=\frac{c_{\mathrm{p}}+c_{\mathrm{v}}}{2} .
\]

Для газа из жестких двухатомных молекул $c_{\mathrm{v}}=(5 / 2) R$ и $c_{\mathrm{p}}=(7 / 2) R$, поэтому, $c=3 R$.
Ответ: $c=3 R$.
2.3.4. Найти число атомов в молекуле газа, у которого при \”замораживании\” колебательных степеней свободы показатель адиабаты $\gamma$ увеличивается в $\eta=1,20$ раза.
Решение
Обозначим число атомов в молекуле через $N$. Постоянная $\gamma$ определяется выражением
\[
\gamma=\frac{i+2}{i},
\]

где $i=n_{\text {пост }}+n_{\text {вр }}+2 n_{\text {кол. }}$. Число поступательных степеней свободы молекулы $n_{\text {пост }}$ всегда равно трем, а число вращательных степеней свободы $n_{\text {вр }}$ и число колебательных степеней свободы $n_{\text {кол }}$ зависит от пространственного строения рассматриваемой молекулы. Если молекула имеет линейную структуру (все атомы в молекуле соединены в виде прямолинейной цепочки), то $n_{\text {вр }}=2$, а $n_{\text {кол }}=3 N-\left(n_{\text {пост }}+n_{\text {вр }}\right)=3 N-5$. Если же молекула имеет объемную структуру, то $n_{\text {вр }}=3$, а $n_{\text {кол }}=3 N-6$. Рассмотрим эти два случая отдельно.

Линейная структура молекулы. До “замораживания” колебательных степеней свободы число $i$ равно сумме $3+2+2 \times(3 N-5)=6 N-5$, а после “замораживания\” (при достаточно низких температурах газа) $3+2=5$. По условию задачи \”замораживание\” колебательных степеней свободы приводит к возрастанию $\gamma$ в 1,2 раза, поэтому
\[
\frac{7}{5} \times \frac{6 N-5}{6 N-3}=\frac{6}{5}
\]

откуда $N=17 / 6$. Это число не является целым и, следовательно, рассматриваемая молекула не может иметь линейную структуру.

Объемная структура молекулы. В этом случае уравнение для определения числа атомов $N$ в молекуле имеет вид
\[
\frac{8}{6} \times \frac{6 N-6}{6 N-4}=\frac{6}{5}
\]

откуда $N=4$.
Ответ: Число атомов в молекуле равно 4. Молекула имеет объемную структуру.