Основные формулы
— Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:
$$p=\frac{1}{3}n{m}_0⟨v^2⟩=\frac{2}{3}n⟨{\epsilon }_{\text{пост }}⟩.$$

где $m_0$ — масса одной молекулы, $n$ — концентрация молекул, $⟨v^2⟩$ среднее значение квадрата скорости молекул, $⟨{\epsilon }_{\text{пост }}⟩$ — средняя энергия поступательного движения молекул газа.
— Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени:
$$\mu =\frac{n⟨v⟩}{4},$$

где $n$ — концентрация молекул газа, $⟨v⟩$ — их средняя скорость.
— Средняя энергия молекул:

$$⟨\epsilon ⟩=(i/2)kT$$

где $i=n_{\text{пост }}+n_{\text{вр }}+2n_{\text{кол }}$ — — сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы молекул газа.
— Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:
$$\begin{array}{l}{v}_{\text{вер }}=\sqrt{2kT/m_0}=\sqrt{2RT/M},\\ ⟨v⟩=\sqrt{(8/\pi )kT/m_0}=\sqrt{(8/\pi )RT/M},\\ v_{\text{кв }}=\sqrt{⟨v^2⟩}=\sqrt{3kT/m_0}=\sqrt{3RT/M}.\end{array}$$

где $m_0$ — масса одной молекулы, $M$ — молярная масса газа.
Примеры решения задач
2.3.1. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в $\eta =1,5$ раза?
Решение.
Пусть начальная температура газа равна $T_1$, а конечная $T_2$. Тогда, по условию задачи
$$v_{1\text{ кв }}/v_{2\text{ кв }}=\sqrt{T_1/T_2}=\eta .$$

Так как при адиабатическом процессе $T{V}^{\gamma -1}=$ const , то
$$T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}=\left(T_1/{\eta }^2\right)V_2^{\gamma -1},$$

откуда
$$\frac{V_2}{V_1}={\eta }^{\frac{2}{\gamma -1}},$$

или, с учетом того, что $\gamma =(i+2)/i$,
$$V_2/V_1={\eta }^i\text{. }$$

Для жестких двухатомных молекул число поступательных степеней свободы ${\mathrm{n}}_{\text{пост }}=3$, число вращательных степеней свободы ${\mathrm{n}}_{\text{вр }}=2$, а число колебательных степеней свободы ${\mathrm{n}}_{\text{кол }}=0$, поэтому, $i=n_{\text{пост }}+n_{\text{вр }}+2n_{\text{кол }}=5$. Таким образом, $V_2/V_1=1,5^5=7,6$.
Ответ: $V_2/V_1={\eta }^i=7,6$.

2.3.2. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в $\eta =5$ раз по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии.
Решение.
Начальная температура газа в нормальном состоянии равна $T_0=300\mathrm{K}$. Конечная температура $T_1$ определится из уравнения адиабатического процесса
$$T_0{V}_0^{\gamma -1}=T_1{V}_1^{\gamma -1},$$

откуда
$$T_1=T_0{\left(V_0/V_1\right)}^{\gamma -1}=T_0{\eta }^{\gamma -1}.$$

Согласно закону равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы молекулы на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем ( $1/2)kT$ кинетической энергии. Поэтому на две вращательные степени свободы жесткой двухатомной молекулы газа при температуре $T_1$ приходится средняя кинетическая энергия
$$⟨{\epsilon }_{\text{вр }}⟩=2k{T}_1/2=k{T}_0{\eta }^{\gamma -1}=k{T}_0{\eta }^{2/i}$$

Для газа из жестких двухатомных молекул $i=5$, поэтому, $⟨{\epsilon }_{\text{вр }}⟩=0,7\times$ ${10}^{-20}$ Дж.
Ответ: $⟨{\epsilon }_{\text{вр }}⟩=k{T}_0{\eta }^{2/i}=0,7\times {10}^{-20}$ Дж.
2.3.3. Газ из жестких двухатомных молекул расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.
Решение
Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени равно
$$v=\frac{n_0⟨v⟩}{4}=\frac{n_0}{4}\sqrt{(8/\pi )kT/m_0}$$

и остается постоянным, следовательно, уравнение рассматриваемого процесса $n_0{T}^{1/2}=$ const, где $n_0$ — концентрация молекул газа. С помощью уравнения состояния идеального газа $p=n_{0}kT$ перепишем уравнение этого процесса в виде $T{p}^{-2}=$ const .

По условию задачи этот процесс политропический. Уравнение политропического процесса $T{p}^{(1-n)/n}=$ const . Сравнение дает
$$\frac{1-n}{n}=-2\text{, }$$

откуда, $n=-1$. Поэтому, молярная теплоемкость газа $c$ в рассматриваемом процессе определится из уравнения
$$\frac{c-c_{\mathrm{p}}}{c-c_{\mathrm{v}}}=-1,$$

решая которое относительно $c$, получаем
$$c=\frac{c_{\mathrm{p}}+c_{\mathrm{v}}}{2}.$$

Для газа из жестких двухатомных молекул $c_{\mathrm{v}}=(5/2)R$ и $c_{\mathrm{p}}=(7/2)R$, поэтому, $c=3R$.
Ответ: $c=3R$.
2.3.4. Найти число атомов в молекуле газа, у которого при \»замораживании\» колебательных степеней свободы показатель адиабаты $\gamma$ увеличивается в $\eta =1,20$ раза.
Решение
Обозначим число атомов в молекуле через $N$. Постоянная $\gamma$ определяется выражением
$$\gamma =\frac{i+2}{i},$$

где $i=n_{\text{пост }}+n_{\text{вр }}+2n_{\text{кол. }}$. Число поступательных степеней свободы молекулы $n_{\text{пост }}$ всегда равно трем, а число вращательных степеней свободы $n_{\text{вр }}$ и число колебательных степеней свободы $n_{\text{кол }}$ зависит от пространственного строения рассматриваемой молекулы. Если молекула имеет линейную структуру (все атомы в молекуле соединены в виде прямолинейной цепочки), то $n_{\text{вр }}=2$, а $n_{\text{кол }}=3N-(n_{\text{пост }}+n_{\text{вр }})=3N-5$. Если же молекула имеет объемную структуру, то $n_{\text{вр }}=3$, а $n_{\text{кол }}=3N-6$. Рассмотрим эти два случая отдельно.

Линейная структура молекулы. До “замораживания” колебательных степеней свободы число $i$ равно сумме $3+2+2\times (3N-5)=6N-5$, а после “замораживания\» (при достаточно низких температурах газа) $3+2=5$. По условию задачи \»замораживание\» колебательных степеней свободы приводит к возрастанию $\gamma$ в 1,2 раза, поэтому
$$\frac{7}{5}\times \frac{6N-5}{6N-3}=\frac{6}{5}$$

откуда $N=17/6$. Это число не является целым и, следовательно, рассматриваемая молекула не может иметь линейную структуру.

Объемная структура молекулы. В этом случае уравнение для определения числа атомов $N$ в молекуле имеет вид
$$\frac{8}{6}\times \frac{6N-6}{6N-4}=\frac{6}{5}$$

откуда $N=4$.
Ответ: Число атомов в молекуле равно 4. Молекула имеет объемную структуру.