Основные понятия и формулы
– Плоскость поляризации – плоскость, в которой колеблется электрический вектор световой волны.
– Естественный свет – свет, у которого плоскость поляризации быстро и беспорядочно меняет свое направление.
– Плоскость пропускания поляризатора – плоскость, в которой колебания электрического вектора световой волны происходят свободно.
– Степень поляризации – плоско – поляризованного света
\[
P=\frac{I_{\max }-I_{\text {min }}}{I_{\text {max }}-I_{\min }},
\]
где $I_{\min }$ и $I_{\max }$ – минимальная и максимальная интенсивности света, прошедшего через поляризатор при его повороте вокруг направления светового луча.
– Закон Малюса
\[
I=I_{0} \cos ^{2} \varphi,
\]
где $I, I_{0}$ – интенсивности света, падающего на поляризатор и прошедшего через него; $\varphi$ – угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора.
– Формулы Френеля для интенсивности света, отраженного от границы раздела двух диэлектриков
где $\theta_{1} u \theta_{2}$ – углы падения и преломления света; $I_{0 \perp}$ и $I_{011}$ интенсивности падающего света с плоскостью поляризации перпендикулярной и параллельной плоскости падения света; $I_{\perp}$ и $I_{11}$ аналогичные интенсивности для отраженного света.
– Из формул (5.4.3) следует, что при нормальном падении света ( $\theta_{1}=0$ ) для обеих компонент падающего света коэффициент отражения $R=I / I_{0}$
\[
R=I / I_{0}=\left(\begin{array}{l}
n-1 \\
n+1
\end{array}\right)^{2},
\]
где $n=n_{2} / n_{1}$ – относительный показатель преломления.
– Угол Брюстера
\[
\operatorname{tg} \theta_{\text {Бp }}=n_{2} / n_{1}=n
\]
где $\theta_{1}=\theta_{Б p}$. При $\theta_{Б p}$ угол между отраженным и преломленным лучами составляет $90^{\circ}$, кроме того $I_{11}=0$, где $I_{11}$ – интенсивность отраженного света, с плоскостью поляризации параллельной плоскости падения света.
– Естественное вращение плоскости поляризации
\[
\varphi=\alpha \ell
\]
где $\alpha$ – постоянная вращения, $\ell$ – длина образца в направлении распространения света.
– Магнитное (фарадеевское) вращение плоскости поляризации
\[
\varphi=V \ell H
\]
где $V$-постоянная Верде, $\ell$ – длина образца, $H$ – напряженность магнитного параллельного лучу света.
Примеры решения задач.
5.4.1. При падении естественного света на некоторый поляризатор происходит $\eta_{1}=30 \%$ светового потока, а через два таких поляризатора $\eta_{2}=13,5 \%$. Найти угол $\varphi$ между плоскостями пропускания этих поляризаторов.
Решение
Схема прохождения света показана на рис.5.17. Согласно условию задачи $\frac{I_{1}}{I_{0}}=\eta_{1}$, где $I_{0}$ и $I_{I}$ – интенсивности падающего и прошедшего
Рис. 5.17
через 1 -й поляризатор света. Так как $\eta_{1}<0,5$, то это значит, что поляризатор частично поглощает проходящую через него плоско поляризованную компоненту света. Обозначим через $k$ долю прошедшей компоненты. Таким образом, можно написать
\[
\frac{I_{1}}{I_{0}}=\eta_{1}=\frac{k}{2} .
\]
Коэффициент $1 / 2$ возникает из-за того, что поляризатор пропускает только компоненту естественного света, поляризованный в одной плоскости, а перпендикулярную к ней компоненту полностью поглощает. Второе условие задачи запишется следующим образом
\[
\eta_{2}=\frac{I_{2}}{I_{0}}=\frac{I_{2}}{I_{1}} \cdot I_{1}=k \cos ^{2} \varphi \cdot \eta_{1}=2 \eta_{1}{ }^{2} \cos ^{2} \varphi .
\]
В последнем выражении мы использовали уравнение (1), а также соотношение
\[
\frac{I_{2}}{I_{1}}=k \cos ^{2} \varphi,
\]
следующее из закона Малюса (5.4.2), где $\varphi$ – угол между плоскостями пропускания 1-го и 2-го поляризаторов. Из уравнения (2) получаем
\[
\cos \varphi=\sqrt{\eta_{2} / 2 \eta_{1}^{2}}=0,865
\]
и далее искомый результат
\[
\varphi=\arccos \left(\sqrt{\eta_{2} / 2 \eta_{1}^{2}}\right)=30^{\circ} .
\]
Ответ: $\varphi=\arccos \left(\sqrt{\eta_{2} / 2 \eta_{1}^{2}}\right)=30^{0}$.
5.4.2. На пути частично поляризованного света поместили поляризатор. При повороте поляризатора на угол $\varphi=60^{\circ}$, из положения, соответствующего максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в $\eta=3,0$ раза. Найти степень поляризации падающего света.
Решение
На рис. 5.18 стрелками показаны ориентации поляризатора, для которых интенсивность прошедшего света равна $I_{\max }$ и $I_{\min }$. Поскольку фазы световых волн, поляризованных в двух указанных направлениях, никак не связаны друг с другом, то при повороте поляризатора на угол $\varphi$ (см. рис. 5.18) интенсивность прошедшего через поляризатор света $I_{1}$ будет складываться из интенсивностей компонент света, соответствующих $I_{\max }$ и $I_{\min }$ в соответствии с законом Малюса:
\[
I_{1}=I_{\max } \cos ^{2} \varphi+I_{\text {min }} \sin ^{2} \varphi .
\]
Поделив обе части уравнения на $I_{\max }$, получим в соответствии с условием задачи
\[
\frac{I_{1}}{I_{\max }}=\frac{1}{\eta}=\cos ^{2} \varphi+\frac{I_{\min }}{I_{\max }} \sin ^{2} \varphi .
\]
Степень поляризации света в соответствии с (5.4.1)
\[
\mathrm{P}=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\begin{array}{l}
1-I_{\min } / I_{\max } \\
1+I_{\min } / I_{\max }
\end{array} .
\]
Выражая отношение $I_{\min } / I_{\max }$ из уравнения (1) и подставляя его в (2), получим после преобразования искомое значение $\mathrm{P}$ :
\[
P=\begin{array}{c}
\eta-1 \\
1-\eta \cos 2 \varphi
\end{array}=0,8 \text {. }
\]
Ответ: $P=\begin{array}{c}\eta-1 \\ 1-\eta \cos 2 \varphi\end{array}=0,8$.
5.4.3. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла. Определить с помощью формул Френеля:
a) коэффициент отражения;
б) степень поляризации преломленного света.
Решение
a) Из формул (5.4.3) следует, что коэффициент отражения для перпендикулярной и параллельной плоскости падения компонент равны
\[
\begin{array}{l}
R_{\perp}=I_{\perp}=\begin{array}{l}
\sin ^{2}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \\
I_{01} \sin ^{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)
\end{array} \\
R_{11}=\begin{array}{l}
I_{11}=\begin{array}{l}
\operatorname{tg}^{2}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \\
I_{011}
\end{array} \operatorname{tg}^{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)
\end{array},
\end{array}
\]
причём в естественном свете $I_{011}=I_{0 \perp}$. При угле Брюстера $\theta_{1}+\theta_{2}=\frac{\pi}{2}$ (см. рис. 5.19), $\operatorname{tg} \theta_{1}=n$, поэтому $R_{11}=0$, a
\[
R_{\perp}=\sin ^{2}\left(\theta_{1}-\frac{\pi}{2}+\theta_{1}\right)=\cos ^{2}\left(2 \theta_{1}\right)=\cos ^{2} \theta_{1}-\sin ^{2}\left(\theta_{1}\right) .
\]
Поскольку
\[
\sin ^{2} \theta_{1}=\begin{array}{c}
\operatorname{tg}^{2} \theta_{1} \\
1+\operatorname{tg}^{2} \theta_{1}
\end{array}=\begin{array}{c}
n^{2} \\
1+n^{2}
\end{array} ; \quad \cos ^{2} \theta_{1}=\begin{array}{c}
1 \\
1+\operatorname{tg}^{2} \theta_{1}
\end{array}=\begin{array}{c}
1 \\
1+n^{2}
\end{array},
\]
то подставляя эти соотношения в формулу для $R_{\perp}$, после преобразований получаем
\[
R_{\perp}=\begin{array}{l}
\left(n^{2}-1\right)^{2} \\
\left(n^{2}+1\right)^{2}
\end{array} .
\]
Искомый коэффициент отражения для естественного света получим, учитывая (3) и (4):
\[
R_{11}=\begin{array}{c}
\left(n^{2}-1\right)^{2} \\
2\left(n^{2}+1\right)^{2}
\end{array} .
\]
б) Доля преломлённого света с параллельной поляризацией равна 1. Доля преломлённого света с перпендикулярной поляризацией составляет
\[
1-R_{\perp}=1-\frac{\left(n^{2}-1\right)^{2}}{\left(n^{2}+1\right)^{2}}=\frac{4 n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)^{2}} .
\]
Следовательно степень поляризации преломлённого света равна
\[
P=\begin{array}{l}
1-4 n^{2} /\left(n^{2}+1\right)^{2} \\
1+4 n^{2} /\left(n^{2}+1\right)^{2}
\end{array}=\begin{array}{l}
\left(n^{2}+1\right)^{2}-4 n^{2} \\
\left(n^{2}+1\right)^{2}+4 n^{2}
\end{array}=0,08 .
\]
5.4.4. Некоторое вещество поместили в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя поляризаторами. Длина трубки с веществом $\ell=30 \mathrm{~cm}$. Найти постоянную Верде, если при напряжённости поля $H=56,5 \mathrm{\kappa A} /$ м угол поворота плоскости поляризации $\varphi_{1}=+5^{0} 10^{\prime}$ для одного направления поля и $\varphi=-3^{0} 20^{\prime}$ для противоположного направления поля.
Решение
Поворот плоскости поляризации света веществом в магнитном поле определяется формулой (5.4.7). Так как при изменении поля угол поворота также изменяет знак, то справедливо следующее соотношение
\[
\varphi_{1}-\varphi_{2}=2 V \ell H
\]
Отсюда получаем выражение для постоянной Верде:
\[
V=\begin{array}{c}
\varphi_{1}-\varphi_{2} \\
2 \ell H
\end{array}=0,015 \frac{\text { угл.мин }}{\mathrm{A}} .
\]
Ответ: $V=\begin{array}{c}\varphi_{1}-\varphi_{2} \\ 2 \ell H\end{array}=0,015 \frac{\text { угл.мин }}{\mathrm{A}}$.
5.4.5. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно к оптической оси. Найти минимальную толщину пластинки, при которой эта система будет пропускать $\eta=0,30$ светового потока, если постоянная вращения кварца $\alpha=17 \frac{\text { угл.град }}{\text { мм }}$.
Решение
Интенсивности падающего $I_{0}$ и прошедшего $I_{1}$ через 1 -й поляризатор света (см. рис. 5.20(a)) связаны между собой соотношением
\[
I_{1}=\frac{I_{0}}{2} .
\]
При прохождении света вдоль оптической оси в кварц наблюдается вращение плоскости поляризации света, определяемое формулой (5.4.6.)
\[
\varphi=\alpha \cdot \ell,
\]
где $\ell$ – толщина пластинки.
Минимальной толщине, удовлетворяющей условию задачи, отвечает угол $\varphi$, величина которого лежит в пределах $0<\varphi<90^{\circ}$. После прохождения кварцевой пластинки плоскость поляризации света повернётся на угол $\varphi$ (см. рис. 5.20(б)), поэтому интенсивности $I_{1}$ и $I_{2}$, в соответствии с законом Малюса, связаны между собой соотношением:
\[
I_{2}=I_{1} \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)=I_{1} \sin ^{2} \varphi .
\]
Учитывая (1), (2) и (3), получаем в соответствии с условием задачи
\[
I_{2} / I_{0}=0,5 \sin ^{2} \varphi=\eta=0,3
\]
или $\varphi=\arcsin 2 \eta \cong 51^{\circ}$. И окончательный ответ:
\[
\ell_{\text {min }}=\frac{\varphi}{\alpha}=\left(\frac{51}{17}\right)=3 \mathrm{~mm} .
\]
Ответ: $\ell_{\min }=\frac{\varphi}{\alpha}=3$ мм.
