Основные формуль
– Если потенциал $U(\mathrm{r})$ зависит только от расстояния $r$ частицы до силового центра и частица находится в состоянии с нулевым моментом импульса относительно этого центра, ее волновая функция $\psi(r)$ не зависит от угловых переменных $\vartheta$ и $\varphi$ в сферической системе координат. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \psi(r)}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \psi(r)}{\partial r}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-U(r)] \psi(r)=0 .
\]
– Функция $\psi(r)$ нормирована условием
\[
4 \pi \int_{0}^{\infty}|\psi(r)|^{2} r^{2} d r=1 .
\]
– Среднее значение любой функции $f(r)$ вычисляется по формуле
\[
\langle f\rangle=4 \pi \int_{0}^{\infty} f(r)|\psi(r)|^{2} r^{2} d r .
\]
Примеры решения задач
7.7.1. Найти возможные значения энергии частицы массы $m$, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме $U(r)=0$ при $r<r_{0}$ и $U\left(r_{0}\right)=\infty$, для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией $\psi(r)$, зависящей только от $r$.
Решение
Волновую функцию $\psi(r)$ в области $r<r_{0}$ представим в виде
\[
\psi(r)=\chi(r) / r \text {. }
\]
Подстановка выражения (1) в уравнение Шредингера (7.7.1) при $U(r)=0$ приводит к следующему уравнению для функции $\chi(r)$
\[
\frac{d^{2} \chi(r)}{d r^{2}}+k^{2} \chi(r)=0,
\]
где $k^{2}=2 m E / \hbar^{2}$. Общее решение уравнения (2) имеет вид
\[
\chi(r)=a \sin (k r)+b \cos (k r),
\]
где $a$ и $b$ – некоторые константы.
С учетом формул (1), (3) волновая функция в области малых значений $r$ определяется выражением
\[
\psi(r) \cong a k+\frac{b}{r}, \quad \text { при } r \rightarrow 0 .
\]
Поскольку волновая функция должна оставаться конечной при $r \rightarrow 0$, значение коэффициента $b$ следует выбрать равным нулю. Таким образом, решение уравнения Шредингера в области $r<r_{0}$ имеет вид
\[
\psi(r)=a \frac{\sin (k r)}{r} .
\]
Учитывая, что $\psi(r)=0$ в области $r \geq r_{0}$, из условия непрерывности волновой функции в точке $r=r_{0}$ приходим к уравнению
\[
\sin \left(k r_{0}\right)=0 \text {, }
\]
решение которого определяется формулой
\[
k_{\mathrm{n}}=\frac{\pi n}{r_{0}}, \quad \text { где } n=1,2,3, \ldots
\]
Решение, соответствующее значению $n=0$ мы отбросили, поскольку оно ведет к тождественно равной нулю волновой функции. В результате находим
\[
E_{\mathrm{n}}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m r_{0}^{2}} n^{2} \text {, где } n=1,2,3 \ldots
\]
Ответ: $E_{\mathrm{n}}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m r_{0}^{2}} n^{2}$, где $n=1,2,3 \ldots$
7.7.2. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид $\psi(r)=A \exp \left(-r / r_{1}\right)$, где $A$ и $r_{1}$ – некоторые постоянные. Найти:
a) константы $A, r_{1}$ и энергию электрона $E_{1}$;
б) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;
в) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон;
г) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.
Решение
Найдем, прежде всего, значение нормировочной константы $A$ из условия (7.7.2):
\[
4 \pi A^{2} I(\alpha)=1 \text {, }
\]
где
\[
I(\alpha)=\int_{0}^{\infty} r^{2} e^{-\alpha r} d r, \alpha=\frac{2}{r_{1}} .
\]
Интеграл (2) легко вычисляется путем интегрирования по частям: $I(\alpha)=2 / \alpha^{3}$. В результате из равенства (1) находим
\[
A=\frac{1}{\sqrt{\pi r_{1}^{3}}} .
\]
Подстановкой волновой функции $\psi(r)=A \exp \left(-r / r_{1}\right)$ в уравнение Шредингера (7.7.1) с потенциалом $U(r)=-k e^{2} / r$, где $k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}, e$ – заряд электрона, $\varepsilon_{0}$ – электрическая постоянная, легко убедится в том, что она является решением этого уравнения только в том случае, если выполняются равенства
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=\frac{\hbar^{2}}{k m e^{2}}, \\
E_{1}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m r_{1}^{2}}=-\hbar R,
\end{array}
\]
где $R$ – постоянная Ридберга (см. формулу (7.5.3)). Действительно, после вычисления первой и второй производных функции $\psi(r)$ и подстановки их в уравнение Шредингера (7.7.1) это уравнение приводится к виду
\[
A\left[\left(\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{2 m E_{1}}{\hbar^{2}}\right)+\frac{2}{r}\left(\frac{k m e^{2}}{\hbar^{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right)\right] \exp \left(-\frac{r}{r_{1}}\right)=0 .
\]
Равенство (6) может быть справедливо при произвольных значениях $r$ в области $r \geq 0$ только при условии, что выражения в круглых скобках равны нулю.
Вероятность того, что частица находится в области между двумя бесконечно близкими сферическими поверхностями с радиусами $r$ и $r+d r$, определяется выражением
\[
d P=4 \pi|\psi(r)|^{2} r^{2} d r .
\]
Из выражения (7) следует, что наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром соответствует максимуму функции $d P / d r$. Дифференцируя эту функцию по $r$ и приравнивая производную нулю, получаем $r_{\text {вер }}=r_{1}$.
Среднее значение модуля кулоновской силы $F(r)=k e^{2} / r^{2}$, действующей на электрон, в соответствии с выражением (7.7.3) определяется формулой
\[
\left\langle F_{\text {кул }}\right\rangle=4 \pi k e^{2} \int_{0}^{\infty} \psi^{2}(r) d r=\frac{4 k e^{2}}{r_{1}^{3}} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha r} d r=\frac{2 k e^{2}}{r_{1}^{2}} .
\]
Аналогично вычисляется среднее значение потенциальной энергии $U(r)=-k e^{2} / r$ электрона в поле ядра
\[
\langle U\rangle=-4 \pi k e^{2} \int_{0}^{\infty} \psi^{2}(r) r d r=-\frac{4 k e^{2}}{r_{1}^{3}} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha r} r d r=-\frac{k e^{2}}{r_{1}} .
\]
Таким образом, как видно из сравнения выражений (4) и (7.5.4), константа $r_{1}$ является первым боровским радиусом. Кроме того, сравнение формул (5) и (7.5.2) показывает, что решение уравнения Шредингера для основного состояния атома водорода приводит к тому же значению энергии электрона, что и теория Бора.
Ответ: а) $A=\frac{1}{\sqrt{\pi r_{1}^{3}}}, \quad r_{1}=\frac{\hbar^{2}}{k m e^{2}}$ – первый боровский радиус, $E_{1}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m r_{1}^{2}}=-\hbar R$, где $R$ – постоянная Ридберга; б) $r_{\text {вер }}=r_{1}$;
в) $\left\langle F_{\text {кул }}\right\rangle=\frac{e^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0} r_{1}^{2}} ;$ г) $\langle U\rangle=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{1}}$.
7.7.3. Электрон атома водорода находится в возбужденном состоянии, для которого волновая функция имеет вид $\psi(r)=A(1+a r) \exp (-\lambda r)$, где $A$, а и $\lambda$ – некоторые постоянные. Найти энергию электрона в этом состоянии, а также константы $a$ и $\lambda$.
Решение
Заметим, прежде всего, что при $a=0$ заданная волновая функция совпадает с волновой функцией основного состояния атома водорода (см. предыдущую задачу). Поскольку по условию данной задачи атом водорода находится в возбужденном состоянии, константа $a$ должна быть отлична от нуля. Можно показать, что волновая функция $\psi(r)=A(1+a r) \exp (-\lambda r)$ при $a
eq 0$ является решением уравнения Шредингера (7.7.1) с потенциалом $U(r)=-k e^{2} / r$, где $k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$, $e$ – заряд электрона, $\varepsilon_{0}$ электрическая постоянная, только в том случае, если выполняются соотношения:
\[
\lambda=\frac{k m e^{2}}{2 \hbar^{2}},
\]
\[
\begin{array}{l}
a=\lambda+\frac{k m e^{2}}{\hbar^{2}}, \\
E=-\frac{\hbar^{2} \lambda^{2}}{2 m} .
\end{array}
\]
Доказательство этих соотношений выполняется аналогично доказательству формул (4), (5) в предыдущей задаче. Таким образом, как следует из формул (1), (3) и (7.5.2), электрон в данном состоянии атома водорода обладает энергией $E=E_{2}=\hbar R / 4$ (где $R$ – постоянная Ридберга (7.5.3)), соответствующей уровню с главным квантовым числом $n=2$. Константы $a$ и $\lambda$ могут быть выражены через первый боровский радиус $r_{1}$ (7.5.4) равенствами: $a=3 / 2 r_{1}, \lambda=1 / 2 r_{1}$.
Ответ: $E=E_{2}=\hbar R / 4$, где $R$ – постоянная Ридберга; $a=3 / 2 r_{1}$, $\lambda=1 / 2 r_{1}$, где $r_{1}$ – первый боровский радиус.
7.7.4. Частица находится в сферически- симметричном потенциальном поле в стационарном состоянии $\psi=(1 / \sqrt{2 \pi a}) e^{-r / a} / r$, где $r$-расстояние от центра поля. Найти $\langle r\rangle$.
Решение
В соответствии с формулой (7.7.3) среднее значение $\langle r\rangle$ определяется выражением
\[
\langle r\rangle=4 \pi \int_{0}^{\infty}|\psi(r)|^{2} r^{3} d r=\frac{2}{a} \int_{0}^{\infty} e^{-2 r / a} r d r .
\]
Интегрируя по частям, находим $\langle r\rangle=a / 2$.
Ответ: $\langle r\rangle=a / 2$.
