Основные формулы
– Закон Ома в дифференциальной форме:
\[
j=\sigma\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^{*}\right)
\]
– Мощность тока $P$ и тепловая мощность $Q$ :
\[
P=I U, \mathrm{Q}=I^{2} R
\]
– Удельная мощность тока $P_{\text {уд }}$ и удельная тепловая мощность тока $Q_{\text {уд }}$ :
\[
P_{\text {уд }}=j\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^{*}\right), Q_{\text {уд }}=\rho j^{2}
\]
Примеры решения задач
3.4.1. Воздушный цилиндрический конденсатор, подключенный к источнику напряжения $U$, погружают в вертикальном положении в сосуд с дистиллированной водой со скоростью v. Зазор между обкладками конденсатора $d$, средний радиус обкладок $r$. Имея в виду, что $d \ll r$, найти ток, текущий по подводящим проводам.
Решение
Погружение конденсатора в воду приводит к увеличению его емкости. Поскольку $d<<r$, конденсатор можно считать плоским с длиной основания обкладок равной $2 \pi r$. Пусть глубина погружения конденсатора в воду равна $h$. В этом случае его емкость равна:
\[
C=C_{0}+\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) 2 \pi r h / d
\]
где $C_{0}$-емкость не погруженного в воду конденсатора. Заряд конденсатора при этом равен $q=C U$. Дифференцируя это соотношение по времени и принимая во внимание, что ( $d h / d t=v)$, найдем ток, текущий по проводам $I=\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) 2 \pi r v U / d$.
Ответ: $I=\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) 2 \pi r v U / d$.
3.4.2. Однородная слабопроводящая среда с удельным сопротивлением $\rho$ заполняет пространство между двумя коаксиальными идеально проводящими тонкими цилиндрами. Радиусы цилиндров $a$ и $b$, причем $a<b$, длина каждого цилиндра $l$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти сопротивление среды между цилиндрами.
Решение
Систему можно рассматривать как конденсатор со слабой утечкой. Пусть ток утечки будет равен I. Вследствие закона сохранения заряда плотность тока на расстоянии $r$ от оси цилиндров $(a<r<b)$ равна $j=I / 2 \pi r l$. Отсюда напряженность поля равна $E=j \rho$. Интегрируя это соотношение по $r$, найдем напряжение между цилиндрами:
\[
U=\int_{a}^{b} E d r=I \rho \ln (b / a) / 2 \pi d
\]
Поделив $U$ на $I$, найдем сопротивление $R=\rho \ln (b / a) / 2 \pi d$.
Ответ: $R=\rho \ln (b / a) / 2 \pi d$.
3.4.3. Зазор между пластинами плоского конденсатора заполнен неоднородной слабопроводящей средой, удельная проводимость которой изменяется в направлении, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону от $\sigma_{1}$ до $\sigma_{2}$. Площадь каждой пластины $S$, ширина зазора $d$. Найти ток через конденсатор при напряжении на нем $U$.
Решение
При протекании через конденсатор тока $I$ плотность тока всюду одинакова и равна $j=I / S$. По условию задачи зависимость удельной проводимости от координаты $x$ (ось $x$ направлена перпендикулярно пластинам от положительной к отрицательной, и начало координат находится на положительной пластине) имеет вид:
\[
\sigma(x)=\sigma_{1}+\left(\sigma_{2}-\sigma_{1}\right) x / d .
\]
Согласно закону Ома в дифференциальной форме напряженность поля равна $E(x)=I / S \sigma(x)$. Интегрируя это соотношение по $x$, найдем разность потенциалов $U$ :
\[
U=\int_{0}^{\lambda} E(x) d x=\begin{array}{c}
I d \ln \left(\sigma_{2} / \sigma_{1}\right) \\
S\left(\sigma_{2}-\sigma_{1}\right)
\end{array} .
\]
Отсюда найдем ток через конденсатор
\[
I=\begin{array}{l}
U S\left(\sigma_{2}-\sigma_{1}\right) \\
d \ln \left(\sigma_{2} / \sigma_{1}\right)
\end{array} .
\]
3.4.4. Два металлических шарика одинакового радиуса $a$ находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением $\rho$. Найти сопротивление среды между шариками при условии, что расстояние между ними значительно больше $a$.
Решение
При подключении шариков к источнику тока, на них появятся разноименные заряды, по модулю равные $q$. При этом, поскольку шарики находятся далеко друг от друга, их потенциалы равны: $\varphi_{1}=q / 4 \pi \varepsilon_{0} a$, $\varphi_{2}=-\varphi_{1}$, а разность потенциалов $U=q / 2 \pi \varepsilon_{0} a$.
Ток, стекающий с положительно заряженного шарика, равен: $I=j \cdot 4 \pi a^{2}=E \cdot 4 \pi a^{2} / \rho=q / \varepsilon_{0} \rho$. Поделив $U$ на $I$, найдем сопротивление $R$ среды между шариками $R=\rho / 2 \pi a$.
Ответ: $R=\rho / 2 \pi a$.
3.4.5. Два проводника произвольной формы находятся в безграничной однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Найти значение произведения $R C$ для данной системы, где $R$ – сопротивление среды между проводниками, $C$ – взаимная емкость проводников при наличии среды.
Решение
При подключении проводников к источнику тока, на них появятся разноименные заряды, по модулю равные $q$. При этом разность потенциалов $U=q / C$. С другой стороны $U=I R$. Отсюда $R C=q / I$. Заряд проводника равен $q=\oint \sigma d s$, где $\sigma$ – поверхностная плотность заряда, а интегрирование проводится по поверхности проводника. Ток $I$, стекающий с проводника, равен
\[
I=\oint \frac{\boldsymbol{E}}{\rho} d s=\oint \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_{0} \rho} d s .
\]
Поделив $q$ на $I$, получим искомое произведение $R C=\varepsilon \varepsilon_{0} \rho$.
Ответ: $R C=\varepsilon \varepsilon_{0} \rho$.
3.4.6. Электромотор постоянного тока подключили к напряжению $U$. Сопротивление обмотки якоря равно $R$. При каком значении тока через обмотку полезная мощность мотора будет максимальной? Чему она равна? Каков при этом к.п.д. мотора?
Решение
Энергия источника тока тратится на совершение полезной работы и выделение тепла в проводах. Отсюда полезная мощность равна: $P_{\text {пол }}=I U-I^{2} R$. Дифференцируя это соотношение по $I$ и приравнивая производную к нулю, найдем искомый ток: $I=U / 2 R$. Полезная мощность при этом равна $P_{\text {пол }}^{\max }=U^{2} / 4 R$, а к.п.д. $\eta=P_{\text {пол }}^{\max } / I U=0,5$.
Ответ: $P_{\text {пол }}^{\max }=U^{2} / 4 R, \eta=P_{\text {пол }}^{\max } / I U=0,5$.
3.4.7. Радиусы обкладок сферического конденсатора равны $a$ и $b$, причем $a<b$. Пространство между обкладками заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельным сопротивлением $\rho$. Первоначально конденсатор не заряжен. В момент $t=0$ внутренней обкладке сообщили заряд $q_{0}$. Найти:
a) закон изменения во времени заряда на внутренней обкладке;
б) количество тепла, выделившегося при растекании заряда.
Решение
Пусть в момент времени $t$ заряд конденсатора равен $q$. При этом напряженность поля между сферами на расстоянии $r$ от их центра равна $E=q / 4 \pi \varepsilon \varepsilon_{0} r^{2}$. Отсюда по закону Ома в дифференциальной форме найдем плотность тока и сам ток:
\[
j=E / \rho, \quad I=4 \pi r^{2} j=q / \rho \varepsilon \varepsilon_{0}
\]
Очевидно, что ток течет за счет убыли заряда на внутренней сфере. Отсюда получим дифференциальное уравнение, определяющее зависимость $q(t)$ :
\[
d q=-q / \rho \varepsilon \varepsilon_{0} .
\]
Решение этого уравнения с учетом начального условия имеет вид:
\[
q=q_{0} \exp \left(\begin{array}{c}
t \\
\rho \varepsilon \varepsilon_{0}
\end{array}\right) .
\]
Интересно, что зависимость заряда от времени не зависит от радиусов сфер. Найдем теперь выделившееся тепло. Для этого воспользуемся формулой (3.4.3) для удельной тепловой мощности и проинтегрируем ее по объему сферического слоя, получив в итоге полную тепловую мощность:
\[
P_{\text {тепл }}=\int_{a}^{b} \rho j^{2} 4 \pi r^{2} d r=\frac{q^{2}}{4 \pi \rho \varepsilon^{2} \varepsilon_{0}^{2}}(1 / a-1 / b) .
\]
Подставив сюда выражение (1) для $q(t$ ) и проинтегрировав по времени от нуля до бесконечности, получим выделившееся тепло $Q=\left(q_{0}^{2} / 8 \pi \varepsilon \varepsilon_{0}\right)(1 / a-1 / b)$.
Ответ: $Q=\left(q_{0}^{2} / 8 \pi \varepsilon \varepsilon_{0}\right)(1 / a-1 / b)$
3.4.8. Обкладкам конденсатора емкости $C$ сообщили разноименные заряды $q_{0}$. Затем обкладки замкнули через сопротивление $R$. Найти:
a) заряд, прошедший через сопротивление за время $\tau$;
б) количество тепла, выделившееся в сопротивлении за то же время.
Решение
Напряжение на конденсаторе равно напряжению на сопротивлении:
\[
q / C=I R
\]
Поскольку ток течет за счет разрядки конденсатора, то $I=-d q / d t$. Подставляя это выражение в (1), получим дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения заряда на конденсаторе во времени:
\[
d q=-q / R C .
\]
Решение этого уравнения с учетом начального условия имеет вид:
\[
q=q_{0} \exp (-t / R C)
\]
Отсюда найдем протекший заряд
\[
q_{1}=q_{0}-q(\tau)=q_{0}(1-\exp (-\tau / R C) .
\]
Чтобы найти количество тепла, проинтегрируем тепловую мощность по времени:
\[
Q=\int_{0}^{\tau} I^{2} R d t=\frac{q_{0}^{2}}{R C^{2}} \int_{0}^{\tau} \exp (-2 t / R C) d t={ }_{2 C}^{q_{0}^{2}}(1-\exp (-2 \tau / R C)) .
\]
Как и следовало ожидать, выделившееся тепло равно разности энергий конденсатора в при $t=0$ и $t=\tau$.
Ответ: а) $q_{1}=q_{0}\left(1-\exp (-\tau / R C)\right.$, б) $Q=\frac{q_{0}^{2}}{2 C}(1-\exp (-2 \tau / R C))$.
