Основные формулы
– Движение частицы в стационарном силовом поле (т.е. в случае, когда потенциальная энергия не зависит от времени) в состоянии с определенным значением энергии $E$ описывается волновой функцией вида
\[
\Psi(t, \mathrm{r})=e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \psi(\mathrm{r}),
\]
где $\psi(\mathrm{r})$ – координатная часть волновой функции.
– Координатная часть волновой функции удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера
\[
\Delta \psi(\mathrm{r})+\frac{2 m}{\hbar^{2}}(E-U(\mathrm{r})) \psi(\mathrm{r})=0,
\]
где $\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ – оператор Лапласа. В дальнейшем мы будем иметь дело только с координатной частью волновой функции и именовать ее просто волновой функцией. При решении уравнения Шредингера следует учитывать условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность во всем пространстве, однозначность, а также непрерывность, как самой $\psi$-функции, так и ее первых производных по пространственным координатам.
– Квадрат модуля волновой функции $|\psi(r)|^{2}$ определяет плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Например, в одномерном случае вероятность $d P$ обнаружить частицу с $x$ – координатой в интервале от $x$ до $x+d x$ выражается формулой
\[
d P=|\psi(x)|^{2} d x \text {. }
\]
– Оператор импульса частицы имеет вид
\[
\hat{\mathrm{p}}=-i \hbar
abla \text {. }
\]
– Среднее значение физической величины $Q$, которой соответствует оператор $\hat{Q}$, вычисляется по формуле
\[
\langle Q\rangle=\int \Psi^{*}(\mathrm{r}) \hat{Q} \Psi(\mathrm{r}) d^{3} \mathrm{r} .
\]
Примеры решения задач
7.6.1. Частица массы $m$ находится в одномерной потенциальной яме (рис. 7.3) в основном состоянии. Найти энергию основного состояния, если на краях ямы $\psi$ – функция вдвое меньше, чем в середине ямы.
Решение
Запишем уравнение Шредингера (7.6.2) в одномерном случае в области $-a \leq x \leq a$, в которой потенциал равен нулю
\[
\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+k^{2} \psi(x)=0,
\]
Рис. 73
где $k^{2}=\frac{2 m E}{\hbar^{2}}$. Решение этого уравнения можно записать в вид
\[
\psi(x)=A \sin k x+B \cos k x,
\]
где $A$ и $B$ – некоторые константы. Поскольку по условию задачи $\psi(-a)=\psi(a)$, причем $\psi(a)
eq 0$, приходим к выводу, что $A=0$. Учитывая требование $\psi(a)=(1 / 2) \psi(0)$, получаем уравнение
\[
\cos (k a)=\frac{1}{2} .
\]
Решение этого уравнения, соответствующее минимальному значению энергии (т.к. нас интересует основное состояние), имеет вид
\[
k_{1}=\frac{\pi}{3 a} \text {. }
\]
В результате для энергии частицы в основном состоянии получаем выражение
\[
E_{1}=\frac{\hbar^{2} k_{1}^{2}}{2 m}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{18 m a^{2}} .
\]
Ответ: $E_{1}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{18 m a^{2}}$.
7.6.2. Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками $(0<x<a, 0<y<b)$. Определить вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области $0<x<a / 3$.
Решение
Решение уравнения Шредингера (7.6.2) для двумерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками имеет вид
\[
\psi(x, y)=\psi_{1}(x) \psi_{2}(y),
\]
где функции $\psi_{1}(x), \psi_{2}(y)$ являются решениями уравнения Шредингера для одномерных потенциальных ям с бесконечно высокими стенками по осям $x$ и $y$ соответственно. Для частицы с наименьшей энергией эти функции определяются выражениями
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right), \\
\psi_{2}(y)=\sqrt{\frac{2}{b}} \sin \left(\frac{\pi y}{b}\right) .
\end{array}
\]
Вероятность $d P$ обнаружить частицу с координатой $x$ на интервале от $x$ до $x+d x$ дается выражением
\[
d P=d x \int_{0}^{b} \psi^{2}(x, y) d y .
\]
В силу условия нормировки для функции $\psi_{2}(y)$ :
\[
\int_{0}^{b} \psi_{2}^{2}(y) d y=1,
\]
выражение (4) принимает вид $d P=\psi_{1}^{2}(x) d x$.
Таким образом, для вероятности нахождения частицы в области $0<x<a / 3$, получаем формулу
\[
P=\int_{0}^{a / 3} \psi_{1}^{2}(x) d x .
\]
Подставляя функцию (2) в эту формулу и выполняя интегрирование, находим $P=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4 \pi}$.
Ответ: $P=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4 \pi}$.
7.6.3. Частица в момент $t=0$ находится в состоянии $\psi=A \exp \left(-x^{2} / a^{2}+i k x\right)$, где $A, a$ – некоторые постоянные. Найти: а) $\langle x\rangle$; б) $\left\langle p_{\mathrm{x}}\right\rangle$ – среднее значение проекции импульса.
Решение
Учитывая, что оператором координаты частицы в используемом нами координатном представлении является операция умножения волновой функции на эту координату, с помощью формулы (7.6.5) получаем
\[
\langle x\rangle=A^{2} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-2 x^{2} / a^{2}} d x=0 .
\]
Интеграл (1) равен 0 в силу нечетности подынтегральной функции. Для расчета среднего значения проекции импульса на ось $x$ воспользуемся формулами (7.6.4) и (7.6.5). В результате, с учетом условия нормировки
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) \psi(x) d x=1
\]
находим
\[
\left\langle p_{\mathrm{x}}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) \hat{p}_{\mathrm{x}} \psi(x) d x=-i \hbar \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) \frac{d \psi(x)}{d x} d x=\hbar k \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) \psi(x) d x=\hbar k .
\]
Ответ: $\langle x\rangle=0 ;\left\langle p_{\mathrm{x}}\right\rangle=\hbar k$.
