Основные формулы
— Движение частицы в стационарном силовом поле (т.е. в случае, когда потенциальная энергия не зависит от времени) в состоянии с определенным значением энергии $E$ описывается волновой функцией вида
$$\mathrm{\Psi }(t,\mathrm{r})=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}\psi (\mathrm{r}),$$

где $\psi (\mathrm{r})$ — координатная часть волновой функции.
— Координатная часть волновой функции удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера
$$\mathrm{\Delta }\psi (\mathrm{r})+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-U(\mathrm{r}))\psi (\mathrm{r})=0,$$

где $\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$ — оператор Лапласа. В дальнейшем мы будем иметь дело только с координатной частью волновой функции и именовать ее просто волновой функцией. При решении уравнения Шредингера следует учитывать условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность во всем пространстве, однозначность, а также непрерывность, как самой $\psi$-функции, так и ее первых производных по пространственным координатам.
— Квадрат модуля волновой функции $|\psi (r){|}^2$ определяет плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Например, в одномерном случае вероятность $dP$ обнаружить частицу с $x$ — координатой в интервале от $x$ до $x+dx$ выражается формулой
$$dP=|\psi (x){|}^{2}dx\text{. }$$
— Оператор импульса частицы имеет вид
$$\hat{\mathrm{p}}=-i\hslash abla\text{. }$$
— Среднее значение физической величины $Q$, которой соответствует оператор $\hat{Q}$, вычисляется по формуле
$$⟨Q⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }(\mathrm{r})\hat{Q}\mathrm{\Psi }(\mathrm{r})d^3\mathrm{r}.$$

Примеры решения задач
7.6.1. Частица массы $m$ находится в одномерной потенциальной яме (рис. 7.3) в основном состоянии. Найти энергию основного состояния, если на краях ямы $\psi$ — функция вдвое меньше, чем в середине ямы.
Решение
Запишем уравнение Шредингера (7.6.2) в одномерном случае в области $-a\le x\le a$, в которой потенциал равен нулю
$$\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}+k^2\psi (x)=0,$$

Рис. 73
где $k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$. Решение этого уравнения можно записать в вид
$$\psi (x)=A\sin kx+B\cos kx,$$

где $A$ и $B$ — некоторые константы. Поскольку по условию задачи $\psi (-a)=\psi (a)$, причем $\psi (a)eq0$, приходим к выводу, что $A=0$. Учитывая требование $\psi (a)=(1/2)\psi (0)$, получаем уравнение
$$\cos (ka)=\frac{1}{2}.$$

Решение этого уравнения, соответствующее минимальному значению энергии (т.к. нас интересует основное состояние), имеет вид
$$k_1=\frac{\pi }{3a}\text{. }$$

В результате для энергии частицы в основном состоянии получаем выражение
$$E_1=\frac{{\hslash }^2{k}_1^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{18m{a}^2}.$$

Ответ: $E_1=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{18m{a}^2}$.
7.6.2. Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками $(0<x<a,0<y<b)$. Определить вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области $0<x<a/3$.
Решение
Решение уравнения Шредингера (7.6.2) для двумерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками имеет вид
$$\psi (x,y)={\psi }_1(x){\psi }_2(y),$$

где функции ${\psi }_1(x),{\psi }_2(y)$ являются решениями уравнения Шредингера для одномерных потенциальных ям с бесконечно высокими стенками по осям $x$ и $y$ соответственно. Для частицы с наименьшей энергией эти функции определяются выражениями
$$\begin{array}{l}{\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right),\\ {\psi }_2(y)=\sqrt{\frac{2}{b}}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right).\end{array}$$

Вероятность $dP$ обнаружить частицу с координатой $x$ на интервале от $x$ до $x+dx$ дается выражением
$$dP=dx{\int }_0^b{\psi }^2(x,y)dy.$$

В силу условия нормировки для функции ${\psi }_2(y)$ :
$${\int }_0^b{\psi }_2^2(y)dy=1,$$

выражение (4) принимает вид $dP={\psi }_1^2(x)dx$.
Таким образом, для вероятности нахождения частицы в области $0<x<a/3$, получаем формулу
$$P={\int }_0^{a/3}{\psi }_1^2(x)dx.$$

Подставляя функцию (2) в эту формулу и выполняя интегрирование, находим $P=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4\pi }$.
Ответ: $P=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4\pi }$.

7.6.3. Частица в момент $t=0$ находится в состоянии $\psi =A\exp (-x^2/a^2+ikx)$, где $A,a$ — некоторые постоянные. Найти: а) $⟨x⟩$; б) $⟨p_{\mathrm{x}}⟩$ — среднее значение проекции импульса.
Решение
Учитывая, что оператором координаты частицы в используемом нами координатном представлении является операция умножения волновой функции на эту координату, с помощью формулы (7.6.5) получаем
$$⟨x⟩=A^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-2x^2/a^2}dx=0.$$

Интеграл (1) равен 0 в силу нечетности подынтегральной функции. Для расчета среднего значения проекции импульса на ось $x$ воспользуемся формулами (7.6.4) и (7.6.5). В результате, с учетом условия нормировки
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\psi }^{\ast }(x)\psi (x)dx=1$$

находим
$$⟨p_{\mathrm{x}}⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\psi }^{\ast }(x){\hat{p}}_{\mathrm{x}}\psi (x)dx=-i\hslash {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\psi }^{\ast }(x)\frac{d\psi (x)}{dx}dx=\hslash k{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\psi }^{\ast }(x)\psi (x)dx=\hslash k.$$

Ответ: $⟨x⟩=0;⟨p_{\mathrm{x}}⟩=\hslash k$.