Основные формуль
— Соотношение неопределенностей для координаты и импульса частицы
\[
\Delta p_{\mathbf{x}} \cdot \Delta x \geq \hbar,
\]

где $\Delta p_{\mathrm{x}}$ — неопределенность проекции на ось $x$ импульса частицы; $\Delta x$ неопределенность ее $x$ координаты.
— Соотношение неопределенностей для энергии и времени

\[
\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar,
\]

где $\Delta E$-неопределенность энергии данного квантового состояния; $\Delta t$ время пребывания системы в этом состоянии.
Примеры решения задач
7.4.1. Электрон с кинетической энергией $T=4$ эВ локализован в области размером $l=1$ мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.
Решение
Полагая в формуле (7.4.1), $\Delta x \cong l, \Delta p_{\mathrm{x}} \cong m \Delta v$, получаем для неопределенности модуля скорости электрона формулу
\[
\Delta v \geq \frac{\hbar}{m l},
\]

где $m$ — масса электрона. Учитывая, что по условию задачи $T \ll m c^{2}$, находим $v=\sqrt{2 T / m}$. Таким образом, для относительной неопределенности модуля скорости электрона получаем оценку
\[
\frac{\Delta v}{v} \cong \frac{\hbar}{l \sqrt{2 m T}}
\]

Подставляя численные значения величин, находим $\Delta v / v \cong 10^{-4}$.
Ответ: $\frac{\Delta v}{v} \cong \frac{\hbar}{l \sqrt{2 m T}} \cong 10^{-4}$.
7.4.2. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр $d=0,5$ мм. Расстояние от электронной пушки до экрана $l=20 \mathrm{cм}$, ускоряющее напряжение $U=10$ кВ. Оценить с помощью соотношения (7.4.1) неопределенность координаты электрона на экране.
Решение
Отметим, прежде всего, что при энергиях электронов $~ 10$ кэВ можно использовать нерелятивистское приближение. В этом случае импульс падающих на экран электронов определяется выражением
\[
p=\sqrt{2 m e U} \text {, }
\]

где $m, e$ — масса и модуль заряда электрона, соответственно. Учитывая, что отношение $d / l$ определяет угловые размеры $\Delta \varphi$ пучка падающих на экран электронов, для неопределенности проекции импульса электрона на ось, лежащую в плоскости экрана (обозначим эту ось как ось $x$ ), получаем оценку
\[
\Delta p_{\mathrm{x}} \cong p \Delta \varphi=p \frac{d}{l} .
\]

Для неопределенности $x$ — координаты электрона $\Delta X$ на экране с помощью формул (1), (2) и (7.4.1) получаем выражение
\[
\Delta x \cong \frac{\hbar}{\Delta p_{\mathrm{x}}} \cong \frac{\hbar l}{d \sqrt{2 m e U}} .
\]

Подставляя в (3) численные значения величин, находим $\Delta x \cong 10^{-8}$ м .
Ответ: $\Delta x \cong \frac{\hbar l}{d \sqrt{2 m e U}} \cong 10^{-8} \mathrm{M}$.
7.4.3. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.
Решение
Запишем энергию электрона в атоме водорода как сумму его кинетической энергии и потенциальной энергии в поле ядра
\[
E=\frac{p^{2}}{2 m}-k \frac{e^{2}}{r},
\]

где $m, e$-масса и заряд электрона, соответственно, $r$ — его расстояние от ядра, $k=1 /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right), \quad \varepsilon_{0}$ — электрическая постоянная. Предполагая, что неопределенность проекции импульса электрона на некоторую ось (например, на ось $x$ ) равняется по порядку величины модулю самого импульса электрона $p$, т.е $\Delta p_{\mathrm{x}} \cong p$, а неопределенность соответствующей координаты $\Delta x$ по порядку величины равняется $r$, с помощью формулы (7.4.1) получаем оценку
\[
p \cong \Delta p_{\mathrm{x}} \cong \frac{\hbar}{\Delta x} \cong \frac{\hbar}{r} .
\]

Подставляя (2) в (1), находим

\[
E \cong \frac{\hbar^{2}}{2 m r^{2}}-k \frac{e^{2}}{r} \text {. }
\]

Значение радиуса $r_{\text {эфф }}$, соответствующее минимуму энергии электрона, получаем путем дифференцирования выражения (3) и приравнивания производной нулю. В результате находим
\[
r_{\text {эфф }} \cong \frac{\hbar^{2}}{m k e^{2}}=0,53 \cdot 10^{-10} \mathrm{M} .
\]

Для энергии $E$ при $r=r_{\text {эфф }}$ получаем с помощью формул (3), (4) оценку
\[
E_{\text {min }} \cong-\frac{m k^{2} e^{4}}{2 \hbar^{2}} \cong-13,6 \text { эВ } .
\]

Ответ: $r_{\text {эфф }} \cong \frac{\hbar^{2}}{m k e^{2}}=0,53 \cdot 10^{-10} \mathrm{M} ; E_{\text {min }} \cong-\frac{m k^{2} e^{4}}{2 \hbar^{2}}=-13,6$ эВ.