Основные формуль
— Соотношение неопределенностей для координаты и импульса частицы
$$\mathrm{\Delta }{p}_{\mathbf{x}}\cdot \mathrm{\Delta }x\ge \hslash ,$$

где $\mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{x}}$ — неопределенность проекции на ось $x$ импульса частицы; $\mathrm{\Delta }x$ неопределенность ее $x$ координаты.
— Соотношение неопределенностей для энергии и времени

$$\mathrm{\Delta }E\cdot \mathrm{\Delta }t\ge \hslash ,$$

где $\mathrm{\Delta }E$-неопределенность энергии данного квантового состояния; $\mathrm{\Delta }t$ время пребывания системы в этом состоянии.
Примеры решения задач
7.4.1. Электрон с кинетической энергией $T=4$ эВ локализован в области размером $l=1$ мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.
Решение
Полагая в формуле (7.4.1), $\mathrm{\Delta }x\cong l,\mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{x}}\cong m\mathrm{\Delta }v$, получаем для неопределенности модуля скорости электрона формулу
$$\mathrm{\Delta }v\ge \frac{\hslash }{ml},$$

где $m$ — масса электрона. Учитывая, что по условию задачи $T\ll m{c}^2$, находим $v=\sqrt{2T/m}$. Таким образом, для относительной неопределенности модуля скорости электрона получаем оценку
$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}\cong \frac{\hslash }{l\sqrt{2mT}}$$

Подставляя численные значения величин, находим $\mathrm{\Delta }v/v\cong {10}^{-4}$.
Ответ: $\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}\cong \frac{\hslash }{l\sqrt{2mT}}\cong {10}^{-4}$.
7.4.2. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр $d=0,5$ мм. Расстояние от электронной пушки до экрана $l=20\mathrm{c}\mathrm{м}$, ускоряющее напряжение $U=10$ кВ. Оценить с помощью соотношения (7.4.1) неопределенность координаты электрона на экране.
Решение
Отметим, прежде всего, что при энергиях электронов $10$ кэВ можно использовать нерелятивистское приближение. В этом случае импульс падающих на экран электронов определяется выражением
$$p=\sqrt{2meU}\text{, }$$

где $m,e$ — масса и модуль заряда электрона, соответственно. Учитывая, что отношение $d/l$ определяет угловые размеры $\mathrm{\Delta }\phi$ пучка падающих на экран электронов, для неопределенности проекции импульса электрона на ось, лежащую в плоскости экрана (обозначим эту ось как ось $x$ ), получаем оценку
$$\mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{x}}\cong p\mathrm{\Delta }\phi =p\frac{d}{l}.$$

Для неопределенности $x$ — координаты электрона $\mathrm{\Delta }X$ на экране с помощью формул (1), (2) и (7.4.1) получаем выражение
$$\mathrm{\Delta }x\cong \frac{\hslash }{\mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{x}}}\cong \frac{\hslash l}{d\sqrt{2meU}}.$$

Подставляя в (3) численные значения величин, находим $\mathrm{\Delta }x\cong {10}^{-8}$ м .
Ответ: $\mathrm{\Delta }x\cong \frac{\hslash l}{d\sqrt{2meU}}\cong {10}^{-8}\mathrm{M}$.
7.4.3. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.
Решение
Запишем энергию электрона в атоме водорода как сумму его кинетической энергии и потенциальной энергии в поле ядра
$$E=\frac{p^2}{2m}-k\frac{e^2}{r},$$

где $m,e$-масса и заряд электрона, соответственно, $r$ — его расстояние от ядра, $k=1/\left(4\pi {\epsilon }_0\right),{\epsilon }_0$ — электрическая постоянная. Предполагая, что неопределенность проекции импульса электрона на некоторую ось (например, на ось $x$ ) равняется по порядку величины модулю самого импульса электрона $p$, т.е $\mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{x}}\cong p$, а неопределенность соответствующей координаты $\mathrm{\Delta }x$ по порядку величины равняется $r$, с помощью формулы (7.4.1) получаем оценку
$$p\cong \mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{x}}\cong \frac{\hslash }{\mathrm{\Delta }x}\cong \frac{\hslash }{r}.$$

Подставляя (2) в (1), находим

$$E\cong \frac{{\hslash }^2}{2m{r}^2}-k\frac{e^2}{r}\text{. }$$

Значение радиуса $r_{\text{эфф }}$, соответствующее минимуму энергии электрона, получаем путем дифференцирования выражения (3) и приравнивания производной нулю. В результате находим
$$r_{\text{эфф }}\cong \frac{{\hslash }^2}{mk{e}^2}=0,53\cdot {10}^{-10}\mathrm{M}.$$

Для энергии $E$ при $r=r_{\text{эфф }}$ получаем с помощью формул (3), (4) оценку
$$E_{\text{min }}\cong -\frac{m{k}^2{e}^4}{2{\hslash }^2}\cong -13,6\text{ эВ }.$$

Ответ: $r_{\text{эфф }}\cong \frac{{\hslash }^2}{mk{e}^2}=0,53\cdot {10}^{-10}\mathrm{M};E_{\text{min }}\cong -\frac{m{k}^2{e}^4}{2{\hslash }^2}=-13,6$ эВ.