Основные формулы
– Спектральная плотность равновесного теплового излучения абсолютно черного тела определяется формулой Планка
\[
u_{\omega}=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{1}{e^{\hbar \omega / k T}-1},
\]

где $\omega$ – циклическая частота излучения, $k$ – постоянная Больцмана, $\hbar$ постоянная Планка, $T$ – термодинамическая температура, $c$ – скорость света.
– Объемная плотность энергии равновесного теплового излучения в интервале частот от $\omega$ до $\omega+d \omega$ связана с величиной $u_{\omega}$ равенством
\[
d u=u_{\omega} d \omega .
\]
– Связь полной объемной плотности излучения $и$ по всем частотам
\[
u=\int_{0}^{\infty} u_{\omega} d \omega
\]

с энергетической светимостью $M$ абсолютно черного тела определяется выражением
\[
M=\frac{1}{4} c u \text {. }
\]
– Закон Стефана-Больцмана
\[
M=\sigma T^{4},
\]

где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана $\left[\sigma=5,67 \cdot 10^{-8} \mathrm{BT} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{K}^{4}\right)\right]$.
– Длина волны $\lambda_{\mathrm{m}}$, на которую приходится максимум распределения плотности $u_{\lambda}$ равновесного теплового излучения абсолютно черного тела, согласно закону смещения Вина равна
\[
\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{b}{T} \text {, }
\]

где $b$ – постоянная Вина $\left[b=2,9 \cdot 10^{-3} \mathrm{M} \cdot \mathrm{K}\right]$. Величина $u_{\lambda}$ связана с объёмной плотностью излучения по всем длинам волн равенством
\[
u=\int_{0}^{\infty} u_{\lambda} d \lambda
\]

Примеры решения задач
7.9.1. Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них $T_{1}=2500 \mathrm{~K}$. Найти температуру другого источника, если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной способности, на $\Delta \lambda=0,50$ мкм больше длины волны, соответствующей максимуму испускательной способности первого источника.

Решение
Длина волны, на которую приходится максимум излучения первого источника, согласно закону смещения Вина (7.9.6) вычисляется по формуле
\[
\lambda_{1 \mathrm{~m}}=\frac{b}{T_{1}} .
\]

По условию задачи максимум испускательной способности второго источника приходится на длину волны
\[
\lambda_{2 \mathrm{~m}}=\frac{b}{T_{1}}+\Delta \lambda .
\]

Вновь применяя закон смещения Вина (7.9.6), и используя выражение (2), находим
\[
T_{2}=\frac{b}{\lambda_{2 \mathrm{~m}}}=\frac{b T_{1}}{b+T_{1} \Delta \lambda} \cong 1750 \mathrm{~K} .
\]

Ответ: $T_{2}=\frac{b T_{1}}{b+T_{1} \Delta \lambda} \cong 1750 \mathrm{~K}$.
7.9.2. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на $1 \%$.
Решение
С помощью закона смещения Вина (7.9.6), найдем, прежде всего, температуру поверхности Солнца
\[
T=\frac{b}{\lambda_{\mathrm{m}}},
\]

где $b$-постоянная Вина. Энергия, теряемая Солнцем в виде излучения в единицу времени $P$, определяется произведением его энергетической светимости $M$ на площадь излучающей поверхности, т. е.
\[
P=4 \pi R^{2} M,
\]

где $R$ – радиус Солнца. Используя закон Стефана-Больцмана для вычисления светимости $M$ и формулу (1), находим

\[
P=\frac{4 \pi \sigma R^{2} b^{4}}{\lambda_{\mathrm{m}}^{4}},
\]

где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана.
Согласно теории относительности Эйнштейна энергия покоя тела $E_{0}$ (в данном случае – Солнца ) связана с его массой $m$ соотношением
\[
E_{0}=m c^{2}
\]

где $c$ – скорость света. Поэтому скорость уменьшения массы Солнца за счет его излучения определяется равенством
\[
\frac{d m}{d t}=-\frac{P}{c^{2}}=-\frac{4 \pi \sigma R^{2} b^{4}}{c^{2} \lambda_{\mathrm{m}}^{4}} .
\]

Таким образом, время $\Delta t$, в течение которого происходит относительное уменьшение массы Солнца $\eta=\Delta m / m$, приближенно равно
\[
\Delta t \cong \frac{\eta m c^{2} \lambda_{m}^{4}}{4 \pi \sigma R^{2} b^{4}} .
\]

Подставляя $R=6,95 \cdot 10^{8} \mathrm{M}, m=1,99 \cdot 10^{30} \mathrm{\kappa г}, \sigma=5,67 \cdot 10^{-8} \mathrm{BT} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}^{4}\right)$, $b=2,9 \cdot 10^{-3} \mathrm{M} \cdot \mathrm{K}, \quad c=3 \cdot 10^{8} \mathrm{M} / \mathrm{c}, \quad \lambda_{\mathrm{m}}=0,48 \cdot 10^{-6} \mathrm{M}, \quad \eta=0,01, \quad$ находим $|d m / d t|=5 \cdot 10^{9}$ кг/с,$\quad \Delta t \cong 10^{11}$ лет.
Ответ: $\left|\frac{d m}{d t}\right|=\frac{4 \pi \sigma R^{2} b^{4}}{c^{2} \lambda_{\mathrm{m}}^{4}} \cong 5 \cdot 10^{9}$ кг/c, $\quad \Delta t \cong \frac{\eta m c^{2} \lambda_{\mathrm{m}}^{4}}{4 \pi \sigma R^{2} b^{4}} \cong 10^{11}$ лет.
7.9.3. Медный шарик диаметра $d=1,2$ см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика $T_{0}=300 \mathrm{~K}$. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в $\eta=2,0$ раза.
Решение
Внутренняя энергия медного шарика определяется выражением
\[
U=\frac{1}{6} \pi \rho c T d^{3},
\]

где $\rho$ и $c$-плотность и удельная теплоемкость меди соответственно, $d$ диаметр шарика, $T$ – его термодинамическая температура. Энергия, излучаемая шариком в единицу времени, равна
\[
\frac{d W}{d t}=P=\pi d^{2} M
\]

где $M$ – энергетическая светимость шарика. Поскольку по условию задачи шарик рассматривается как абсолютно черное тело, светимость $M$ вычисляем по формуле Стефана-Больцмана (7.9.5), т. е.
\[
P=\pi \sigma d^{2} T^{4},
\]

где $\sigma$-постоянная Стефана-Больцмана.
Учитывая, что изменение внутренней энергии шарика $d U$ за время $d t$ должно равняться энергии излучения за то же время с обратным знаком $-d W$, с помощью формул (1), (3) находим
\[
\frac{d T}{T^{4}}=-\frac{6 \sigma}{\rho c d} d t
\]

Интегрируя это уравнение с учетом начального условия ( $T=T_{0}$ при $t=0$ ), получаем
\[
\frac{1}{3}\left(\frac{1}{T^{3}}-\frac{1}{T_{0}^{3}}\right)=\frac{6 \sigma}{\rho c d} t
\]

где $T$ – термодинамическая температура шарика в момент времени $t$. Из выражения (5) следует, что время, в течение которого температура шарика $T$ уменьшится в $\eta$ раз ( $T_{0} / T=\eta$ ), определяется формулой
\[
t=\frac{\rho c d\left(\eta^{3}-1\right)}{18 \sigma T_{0}^{3}} \cong 3 \text { ч. }
\]

Ответ: $t=\frac{\rho c d\left(\eta^{3}-1\right)}{18 \sigma T_{0}^{3}} \cong 3$ ч, где $\rho$ и $c$-плотность и удельная теплоемкость меди соответственно.
7.9.4. Температура поверхности Солнца $T_{0}=5500 \mathrm{~K}$. Считая, что поглощательная способность Солнца и Земли равна единице и что Земля находится в состоянии теплового равновесия, оценить ее температуру.

Поскольку по условию задачи поглощательные способности Солнца и Земли равны единице, то их можно рассматривать как абсолютно черные тела, т. е. светимости Солнца и Земли можно вычислять по формуле Стефана-Больцмана (7.9.5). Таким образом, энергия, излучаемая Солнцем в единицу времени определяется выражением
\[
P=4 \pi R_{0}^{2} M_{0}=4 \pi \sigma R_{0}^{2} T_{0}^{4},
\]

где $M_{0}$ – светимость Солнца, $R_{0}$ – его радиус, $\sigma$ – постоянная СтефанаБольцмана.

Поток энергии излучения Солнца, приходящийся на единицу телесного угла, при этом равен
\[
I=\frac{d P}{d \Omega}=\frac{P}{4 \pi}=\sigma R_{0}^{2} T_{0}^{4} .
\]

Та часть потока энергии, которая попадает в телесный угол
\[
\Delta \Omega=\frac{\pi R^{2}}{r^{2}},
\]

где $R$ – радиус Земли, $r$ – ее расстояние от Солнца, поглощается земной поверхностью. Следовательно, энергия излучения Солнца, поглощаемая Землей в единицу времени, вычисляется по формуле
\[
P^{\prime}=I \Delta \Omega=\frac{\pi \sigma R^{2} R_{0}^{2} T_{0}^{4}}{r^{2}} .
\]

Энергия излучения Земли в единицу времени $P^{\prime \prime}$ определяется равенством
\[
P^{\prime \prime}=4 \pi R^{2} M=4 \pi \sigma R^{2} T^{4},
\]

где $M$ – светимость Земли, $T$ – температура ее поверхности. Приравнивая выражения (4) и (5), находим
\[
T=T_{0} \sqrt{\frac{R_{0}}{2 r}} \cong 266 \mathrm{~K} .
\]

Ответ: $T=T_{0} \sqrt{\frac{R_{0}}{2 r}} \cong 266$ К, где $R_{0}$ – радиус Солнца, $r$ – расстояние между Солнцем и Землей.
7.9.5. Полость объемом $V=1,0$ л заполнена тепловым излучением при температуре $T=1000 \mathrm{~K}$. Найти:

a) теплоемкость $C_{\mathrm{V}}$;
б) энтропию $S$ этого излучения.
Решение

Энергия излучения в полости равна $U=u V$, где $u$ – плотность энергии излучения, $V$ – объем полости. Выражая плотность энергии через светимость с помощью формулы (7.9.4) и используя для расчета светимости выражение (7.9.5), получаем связь энергии излучения с термодинамической температурой
\[
U=\frac{4 \sigma}{c} V T^{4},
\]

где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана, $c$ – скорость света.
Теплоемкость излучения при постоянном объеме вычисляем по формуле
\[
C_{\mathrm{V}}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{\mathrm{V}},
\]

С помощью формулы (1) находим
\[
C_{\mathrm{V}}=\frac{16 \sigma V T^{3}}{c} \cong 3 \text { нДж/К. }
\]

При увеличении энергии излучения на величину $d U$, приращение его энтропии ( при фиксированном объеме $V$ ) равно
\[
d S=\frac{d U}{T}=\frac{16}{c} \sigma V T^{2} d T .
\]

Интегрируя выражение (4) с учетом условия $S=0$ при $T=0$, находим
\[
S=\frac{16 \sigma V T^{3}}{3 c}=1,0 \text { нДж/К. }
\]

Ответ: а) $C_{\mathrm{V}}=\frac{16 \sigma V T^{3}}{c}=3$ нДж/К; б) $S=\frac{16 \sigma V T^{3}}{3 c}=1,0$ нДж/К.
7.9.6. Найти уравнение адиабатического процесса (в переменных $V$, $T$ ), проводимого с тепловым излучением, имея в виду, что между давлением и плотностью энергии теплового излучения существует связь $p=u / 3$.

Решение
Используя формулы (7.9.4), (7.9.5), находим энергию излучения в полости
\[
U=u V=\frac{4 \sigma V T^{4}}{c},
\]

где $u$ – плотность энергии излучения, $V$ – объем полости, $T$ термодинамическая температура стенок этой полости, $\sigma$-постоянная Стефана-Больцмана, $c$ – скорость света.
Для адиабатического процесса
\[
d U+p d V=0,
\]

где $p$ – давление излучения, $d V$-приращение объема полости. По условию задачи
\[
p=\frac{1}{3} u=\frac{4 \sigma T^{4}}{3 c} .
\]

Подставляя (1) и (3) в (2), находим
\[
d\left(V T^{4}\right)+\frac{1}{3} T^{4} d V=0,
\]

откуда получаем уравнение
\[
3 \frac{d T}{T}+\frac{d V}{V}=0
\]

Из (5) следует, что $d \ln \left(V T^{3}\right)=0$, т. е. $V T^{3}=$ const.
Ответ: $V T^{3}=$ const.