Основные формулы
– Полная энергия релятивистской частицы
\[
E=m c^{2}+T=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}},
\]
где $m$ – масса частицы, $v$ – её скорость, $T$ – кинетическая энергия, $c$ скорость света в вакууме.
– Импульс частицы в релятивистской механике определяется выражением
\[
p=\frac{m v}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}} .
\]
– Полная энергия частицы и её импульс связаны между собой равенством
\[
E=c \sqrt{m^{2} c^{2}+p^{2}} .
\]
– Уравнение динамики в релятивистской форме имеет вид
\[
\frac{d \boldsymbol{p}}{d t}=\boldsymbol{F},
\]
где $\boldsymbol{p}$ – импульс частицы, $\boldsymbol{F}$ – действующая на неё сила.
Примеры решения задач
6.3.1. Протон движется с импульсом $p=10,0$ ГэВ/c, где $c$ – скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света?
Решение
С помощью формулы (6.3.2) находим связь модуля скорости протона с модулем его импульса
\[
v=\frac{c p}{\sqrt{m^{2} c^{2}+p^{2}}},
\]
где $m$ – масса протона, $c$ – скорость света.
Таким образом, относительное отличие скорости протона от скорости света составляет величину
\[
\eta=\frac{c-v}{c}=1-\left[1+\left(\frac{m c}{p}\right)^{2}\right]^{-1 / 2} .
\]
Учитывая, что $m \cong 0,983$ ГэВ $/ c^{2}$, получаем $\eta \cong 0,44 \%$.
Ответ: $\eta=\frac{c-v}{c}=1-\left[1+\left(\frac{m c}{p}\right)^{2}\right]^{-1 / 2} \cong 0,44 \%$.
6.3.2. При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к её энергии покоя относительная погрешность при расчете её скорости по нерелятивистской формуле не превышает $\eta=0,01$.
Решение
Связь скорости частицы с её кинетической энергией $T$ в нерелятивистской механике определяется выражением
\[
v_{\mathrm{H}}=\sqrt{\frac{2 T}{m}},
\]
где $m$ – масса частицы. В релятивистской механике эта связь согласно формуле (6.3.1) имеет вид
\[
v_{\mathrm{p}}=\frac{c \sqrt{x(2+x)}}{1+x},
\]
где $x=T / m c^{2}$.
В области $x \ll 1$ из соотношения (2) следует приближенная формула
\[
v_{\mathrm{p}} \cong \sqrt{\frac{2 T}{m}}\left(1-\frac{3}{4} x\right) .
\]
Таким образом, при $x<<1$ использование формулы (1) вместо (3) приводит к относительной погрешности
\[
\eta=\left|\frac{v_{\mathrm{p}}-v_{\mathrm{H}}}{v_{\mathrm{p}}}\right| \cong \frac{3}{4} x .
\]
Следовательно, в области
\[
\frac{T}{m c^{2}} \leq \frac{4}{3} \eta \cong 0,013
\]
относительная погрешность в определении скорости частицы не будет превышать величину $\eta$.
Ответ: $\frac{T}{m c^{2}} \leq \frac{4}{3} \eta \cong 0,013$.
6.3.3. Частица массы $m$ в момент времени $t=0$ начинает двигаться под действием постоянной силы $\boldsymbol{F}$. Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени $t$.
Решение
Направим ось $x$ лабораторной системы отсчета вдоль направления действия силы $\boldsymbol{F}$. Тогда компоненты скорости $v_{\mathrm{y}}$ и $v_{\mathrm{z}}$ останутся равными нулю в произвольный момент времени $t$. Проекция уравнения движения (6.3.4) частицы на ось $x$ в рассматриваемой системе координат с учетом релятивистского выражения для импульса (6.3.2) имеет вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{m v_{\mathrm{x}}}{\sqrt{1-\left(v_{\mathrm{x}} / c\right)^{2}}}=F .
\]
Интегрируя уравнение (1) с учетом начального условия $v_{\mathrm{x}}(0)=0$, получаем
\[
v_{\mathrm{x}}=v=\frac{c F t}{\sqrt{m^{2} c^{2}+(F t)^{2}}} .
\]
Путь, пройденный частицей за время $t$, вычисляем по формуле
\[
s=\int_{0}^{t} v_{\mathrm{x}}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]
Подставляя выражение (2) в формулу (3) и выполняя интегрирование, получаем
\[
s=\sqrt{\left(\frac{m c^{2}}{F}\right)^{2}+c^{2} t^{2}}-\frac{m c^{2}}{F} .
\]
Ответ: $v=\frac{c F t}{\sqrt{m^{2} c^{2}+(F t)^{2}}} ; s=\sqrt{\left(\frac{m c^{2}}{F}\right)^{2}+c^{2} t^{2}}-\frac{m c^{2}}{F}$.
