Основные формулы
– Далее предполагается, что система отсчета $K^{\prime}$ движется со скоростью $V$ в положительном направлении оси х системы $K$, причем оси $x^{\prime}$ и $x$ совпадают, а оси $y^{\prime}\left(z^{\prime}\right)$ и $y(z)$ параллельны. В этом случае координаты и время какого-либо события в системах $K^{\prime}$ и $K$ связаны между собой преобразованием Лоренца
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{x-V t}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}}, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z, \\
t^{\prime}=\frac{t-x V / c^{2}}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}},
\end{array}
\]
где $c$ – скорость света в вакууме.
– Релятивистское сокращение длины стержня
\[
l=l_{0} \sqrt{1-(V / c)^{2}}
\]
где $l_{0}$ – длина стержня в системе координат $K^{\prime}$, относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси $x^{\prime}$; $l$ – длина стержня, измеряемая в системе $K$, относительно которой он движется со скоростью $V$.
– Релятивистское замедление хода часов
\[
\Delta t=\frac{\Delta t^{\prime}}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}},
\]
где $\Delta t^{\prime}$ – интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы $K^{\prime}$, измеренный по часам этой системы; $\Delta t$ интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы $K$.
Примеры решения задач
6.1.1. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет $a=5,00$ м и угол между этим катетом и гипотенузой $\alpha=30^{\circ}$. Найти в системе отсчета $K^{\prime}$, движущейся относительно этого треугольника со скоростью $v=0,866 c$ вдоль катета $a$ :
а) соответствующее значение угла $\alpha^{\prime}$;
б) длину $l^{\prime}$ гипотенузы и ее отношение к собственной длине.
Решение.
Выберем ось $x$ неподвижной системы отсчета $K$, относительно которой треугольник покоится, вдоль катета $a$. Согласно формуле (6.1.2) длина этого катета в системе $K^{\prime}$ равна
\[
a^{\prime}=a \sqrt{1-(v / c)^{2}}
\]
где $c$ – скорость света, а длина другого катета остается неизменной, т.е. $b^{\prime}=b$, причем
\[
b=a \operatorname{tg} \alpha .
\]
Из этих формул следует, что угол $\alpha^{\prime}$ между катетом $a^{\prime}$ и гипотенузой $l^{\prime}$ в системе $K^{\prime}$ определяется равенством
\[
\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\frac{b^{\prime}}{a^{\prime}}=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}
\]
Длину гипотенузы треугольника $l^{\prime}$ в системе $K^{\prime}$ вычислим по теореме Пифагора
\[
l^{\prime}=a \sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha-(v / c)^{2}} .
\]
Учитывая, что длина гипотенузы в системе $K$ (собственная длина) равна
\[
l=a \sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha},
\]
определяем отношение
\[
\frac{l^{\prime}}{l}=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}\left(1+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)}} .
\]
Подставляя численные значения величин, находим
\[
\alpha^{\prime} \cong 49^{\circ}, l^{\prime}=3,8 \mathrm{м}, l^{\prime} / l=0,66 .
\]
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\frac{b^{\prime}}{a^{\prime}}=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}, \alpha^{\prime} \cong 49^{\circ}$;
\[
l^{\prime}=a \sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha-(v / c)^{2}}=3,8 \mathrm{~m} ; \frac{l^{\prime}}{l}=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}\left(1+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)}}=0,66 .
\]
6.1.2. Стержень пролетает мимо метки неподвижной в $K$ системе отсчета. Время полета $\Delta t=20 \mathrm{нс}$ в $K$-системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение $\Delta t^{\prime}=25$ нс. Найти собственную длину стержня.
Решение
С помощью формул (6.1.2.), (6.1.3.) получаем соотношения
\[
\begin{array}{l}
{ }_{\Delta t}=\frac{l_{0}}{\Delta t^{\prime}}=V, \\
l=l_{0} \sqrt{1-(V / c)^{2}}, \\
\end{array}
\]
где $l$ – длина стержня в лабораторной системе координат $K$, относительно которой стержень движется со скоростью $V, l_{0}$-собственная длина стержня (т.е. его длина в системе координат $K^{\prime}$, относительно которой он покоится).
Используя равенства (1), (2), находим
\[
\begin{array}{l}
V=c \sqrt{1-\left(l / l_{0}\right)^{2}}=c \sqrt{1-\left(\Delta t / \Delta t^{\prime}\right)^{2}}, \\
l_{0}=V \Delta t^{\prime}=c \sqrt{\left(\Delta t^{\prime}\right)^{2}-(\Delta t)^{2}}=4,5 \mathrm{~m} .
\end{array}
\]
Ответ: $l_{0}=c \sqrt{\left(\Delta t^{\prime}\right)^{2}-(\Delta t)^{2}}=4,5 \mathrm{~m}$.
6.1.3. В $K$-системе отсчета мюон, движущийся со скоростью $v=0,99 c$, пролетел от места своего рождения до точки распада $l=3,0$ км . Определить:
a) собственное время жизни этого мюона;
б) расстояние, которое пролетел мюон в $K$-системе отсчета с \”его точки зрения\”.
Решение
Время жизни мюона в лабораторной системе отсчета K определяется равенством
\[
\Delta t=\frac{l}{v} .
\]
С помощью формулы (6.1.3) находим собственное время жизни мюона $\Delta t^{\prime}$ (т. е. время жизни в системе координат $K^{\prime}$, относительно которой мюон покоится)
\[
\Delta t^{\prime}=\frac{l}{v} \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}} .
\]
В системе $K^{\prime}$ точка лабораторной системы отсчета $K$, в которой родился мюон, движется со скоростью $v$ и удаляется от него за время $\Delta t^{\prime}$ на расстояние
\[
l^{\prime}=v \Delta t^{\prime}=l \sqrt{1-(v / c)^{2}} .
\]
Ответ: $\Delta t^{\prime}=\frac{l}{v} \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}=1,4$ мкс; $l^{\prime}=v \Delta t^{\prime}=l \sqrt{1-(v / c)^{2}}=420 \mathrm{~m}$.
