Основные формулы
— Далее предполагается, что система отсчета $K^{\prime }$ движется со скоростью $V$ в положительном направлении оси х системы $K$, причем оси $x^{\prime }$ и $x$ совпадают, а оси $y^{\prime }\left(z^{\prime }\right)$ и $y(z)$ параллельны. В этом случае координаты и время какого-либо события в системах $K^{\prime }$ и $K$ связаны между собой преобразованием Лоренца
$$\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-(V/c{)}^2}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,\\ t^{\prime }=\frac{t-xV/c^2}{\sqrt{1-(V/c{)}^2}},\end{array}$$

где $c$ — скорость света в вакууме.
— Релятивистское сокращение длины стержня
$$l=l_0\sqrt{1-(V/c{)}^2}$$

где $l_0$ — длина стержня в системе координат $K^{\prime }$, относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси $x^{\prime }$; $l$ — длина стержня, измеряемая в системе $K$, относительно которой он движется со скоростью $V$.
— Релятивистское замедление хода часов
$$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}{\sqrt{1-(V/c{)}^2}},$$

где $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы $K^{\prime }$, измеренный по часам этой системы; $\mathrm{\Delta }t$ интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы $K$.

Примеры решения задач
6.1.1. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет $a=5,00$ м и угол между этим катетом и гипотенузой $\alpha ={30}^{\circ }$. Найти в системе отсчета $K^{\prime }$, движущейся относительно этого треугольника со скоростью $v=0,866c$ вдоль катета $a$ :
а) соответствующее значение угла ${\alpha }^{\prime }$;
б) длину $l^{\prime }$ гипотенузы и ее отношение к собственной длине.
Решение.
Выберем ось $x$ неподвижной системы отсчета $K$, относительно которой треугольник покоится, вдоль катета $a$. Согласно формуле (6.1.2) длина этого катета в системе $K^{\prime }$ равна
$$a^{\prime }=a\sqrt{1-(v/c{)}^2}$$

где $c$ — скорость света, а длина другого катета остается неизменной, т.е. $b^{\prime }=b$, причем
$$b=a\mathrm{tg}\alpha .$$

Из этих формул следует, что угол ${\alpha }^{\prime }$ между катетом $a^{\prime }$ и гипотенузой $l^{\prime }$ в системе $K^{\prime }$ определяется равенством
$$\mathrm{tg}{\alpha }^{\prime }=\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}=\frac{\mathrm{tg}\alpha }{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$$

Длину гипотенузы треугольника $l^{\prime }$ в системе $K^{\prime }$ вычислим по теореме Пифагора
$$l^{\prime }=a\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\alpha -(v/c{)}^2}.$$

Учитывая, что длина гипотенузы в системе $K$ (собственная длина) равна
$$l=a\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\alpha },$$

определяем отношение
$$\frac{l^{\prime }}{l}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2(1+{\mathrm{tg}}^2\alpha )}}.$$

Подставляя численные значения величин, находим
$${\alpha }^{\prime }\cong {49}^{\circ },l^{\prime }=3,8\mathrm{м},l^{\prime }/l=0,66.$$

Ответ: $\mathrm{tg}{\alpha }^{\prime }=\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}=\frac{\mathrm{tg}\alpha }{\sqrt{1-(v/c{)}^2}},{\alpha }^{\prime }\cong {49}^{\circ }$;

$$l^{\prime }=a\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\alpha -(v/c{)}^2}=3,8\mathrm{m};\frac{l^{\prime }}{l}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2(1+{\mathrm{tg}}^2\alpha )}}=0,66.$$
6.1.2. Стержень пролетает мимо метки неподвижной в $K$ системе отсчета. Время полета $\mathrm{\Delta }t=20\mathrm{н}\mathrm{с}$ в $K$-системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=25$ нс. Найти собственную длину стержня.
Решение
С помощью формул (6.1.2.), (6.1.3.) получаем соотношения
$$\begin{array}{l}{}_{\mathrm{\Delta }t}=\frac{l_0}{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}=V,\\ l=l_0\sqrt{1-(V/c{)}^2},\end{array}$$

где $l$ — длина стержня в лабораторной системе координат $K$, относительно которой стержень движется со скоростью $V,l_0$-собственная длина стержня (т.е. его длина в системе координат $K^{\prime }$, относительно которой он покоится).
Используя равенства (1), (2), находим
$$\begin{array}{l}V=c\sqrt{1-{\left(l/l_0\right)}^2}=c\sqrt{1-{\left(\mathrm{\Delta }t/\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }\right)}^2},\\ l_0=V\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=c\sqrt{{\left(\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }\right)}^2-(\mathrm{\Delta }t{)}^2}=4,5\mathrm{m}.\end{array}$$

Ответ: $l_0=c\sqrt{{\left(\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }\right)}^2-(\mathrm{\Delta }t{)}^2}=4,5\mathrm{m}$.
6.1.3. В $K$-системе отсчета мюон, движущийся со скоростью $v=0,99c$, пролетел от места своего рождения до точки распада $l=3,0$ км . Определить:
a) собственное время жизни этого мюона;
б) расстояние, которое пролетел мюон в $K$-системе отсчета с \»его точки зрения\».
Решение
Время жизни мюона в лабораторной системе отсчета K определяется равенством

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{l}{v}.$$

С помощью формулы (6.1.3) находим собственное время жизни мюона $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ (т. е. время жизни в системе координат $K^{\prime }$, относительно которой мюон покоится)
$$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{l}{v}\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}.$$

В системе $K^{\prime }$ точка лабораторной системы отсчета $K$, в которой родился мюон, движется со скоростью $v$ и удаляется от него за время $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ на расстояние
$$l^{\prime }=v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=l\sqrt{1-(v/c{)}^2}.$$

Ответ: $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{l}{v}\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}=1,4$ мкс; $l^{\prime }=v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=l\sqrt{1-(v/c{)}^2}=420\mathrm{m}$.