Основные формулы

– Если система $K^{\prime}$ движется вдоль положительного направления оси $x$ системы $K$ (оси систем отсчета $K$ и $K^{\prime}$ направлены так же как в разделе 6.1) со скоростью $V$, то компоненты скорости $v_{\mathrm{x}}, v_{\mathrm{y}}, v_{\mathrm{z}}$ частицы в системе $K$ связаны с компонентами ее скорости $v_{\mathrm{x}}^{\prime}, v_{\mathrm{y}}^{\prime}, v_{\mathrm{z}}^{\prime} \quad$ в системе $K^{\prime}$ соотношениями
\[
\begin{array}{l}
v_{\mathrm{x}}=\frac{v_{\mathrm{x}}^{\prime}+V}{1+V v_{\mathrm{x}}^{\prime} / c^{2}}, \\
v_{\mathrm{y}}=\frac{v_{\mathrm{y}}^{\prime} \sqrt{1-(V / c)^{2}}}{1+V v_{\mathrm{x}}^{\prime} / c^{2}}, \\
v_{\mathrm{z}}=\frac{v_{\mathrm{z}}^{\prime} \sqrt{1-(V / c)^{2}}}{1+V v_{\mathrm{x}}^{\prime} / c^{2}} .
\end{array}
\]

Примеры решения задач.
6.2.1. Две релятивистских частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью $v_{1}$, а другая со скоростью $v_{2}$. Найти их относительную скорость.
Решение
Будем считать, что первая частица движется в неподвижной системе отсчета $K$ вдоль оси $x$, т. е. $v_{1 \mathrm{x}}=v_{1}, v_{1 \mathrm{y}}=0$, а вторая частица движется в этой системе отсчета вдоль оси $y$, т.е. $v_{2 \mathrm{x}}=0, v_{2 \mathrm{y}}=v_{2}$.

Рассмотрим систему отсчета $K^{\prime}$, относительно которой первая частица покоится. Будем предполагать, что ось $x^{\prime}$ системы $K^{\prime}$ совпадает с осью $x$ системы $K$, а ось $y^{\prime}$ параллельна оси $y$. Найдем скорость второй частицы $v_{2}^{\prime}$ в системе $K^{\prime}$ (эта скорость является искомой относительной скоростью движения второй частицы $v_{\text {отн }}=v_{2}^{\prime}$ по отношению к первой частице).

Компоненты скорости второй частицы в системе $K^{\prime}$ находим по формулам (6.2.1)
\[
\begin{array}{l}
v_{2 \mathrm{x}}^{\prime}=-v_{1}, \\
v_{2 \mathrm{y}}^{\prime}=v_{2} \sqrt{1-\left(v_{1} / c\right)^{2}} .
\end{array}
\]

В результате для модуля относительной скорости получаем выражение
\[
v_{\text {отн }}=v_{2}^{\prime}=\sqrt{v_{2 \mathrm{x}}^{\prime 2}+v_{2 \mathrm{y}}^{\prime 2}}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left(v_{1} v_{2} / c\right)^{2}} .
\]

Ответ: $v_{\text {отн }}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left(v_{1} v_{2} / c\right)^{2}}$.
6.2.2. Некоторая нестабильная частица движется со скоростью $v^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе отсчета вдоль ее оси $y^{\prime}$. $K^{\prime}$-система в свою очередь перемещается относительно $K$-системы со скоростью $V$ в положительном направлении ее оси $x$. Оси $x^{\prime}$ и $x$ обеих систем отсчета совпадают, оси $y^{\prime}$ и $y$ параллельны друг другу. Найти путь, который частица пролетит в $K$ системе, если ее собственное время жизни равно $\Delta t_{0}$.

Решение
Найдем, прежде всего, время жизни частицы в системе отсчета $K$. Согласно формуле (6.1.3) время ее жизни в системе $K^{\prime}$ определяется выражением
\[
\Delta t^{\prime}=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-\left(v^{\prime} / c\right)^{2}}} .
\]

Используя еще раз формулу (6.1.3), находим время жизни частицы в системе $K$
\[
\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-\left(v^{\prime} / c\right)^{2}\right)}},
\]

где $\beta=V / c$. Компоненты скорости частицы $v_{\mathrm{x}}, v_{\mathrm{y}}$ в системе $K$ находим с помощью формул (6.2.1)
\[
\begin{array}{l}
v_{\mathrm{x}}=V, \\
v_{\mathrm{y}}=v^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\end{array}
\]

Путь, пройденный частицей в системе $K$, вычисляем по формуле
\[
s=\Delta t \sqrt{v_{\mathrm{x}}^{2}+v_{\mathrm{y}}^{2}} .
\]

Подставляя выражения (3), (4) в (5), окончательно получаем
\[
s=\Delta t_{0} \sqrt{\frac{V^{2}+v^{\prime 2}\left(1-\beta^{2}\right)}{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-\left(v^{\prime} / c\right)^{2}\right)}} .
\]

Ответ: $s=\Delta t_{0} \sqrt{\frac{V^{2}+v^{\prime 2}\left(1-\beta^{2}\right)}{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-\left(v^{\prime} / c\right)^{2}\right)}}$, где $\beta=V / c$.
6.2.3. Частица движется в $K$-системе отсчета со скоростью $v$ под углом $\theta$ к оси $x$. Найти соответствующий угол в $K^{\prime}$-системе, перемещающейся со скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении её оси $x$, если оси $x$ и $x^{\prime}$ обеих систем совпадают.
Решение
В системе отсчета $K$ компоненты скорости частицы $v_{\mathrm{x}}$ и $v_{\mathrm{y}}$ равны
\[
\begin{array}{l}
v_{\mathrm{x}}=v \cos \theta, \\
v_{\mathrm{y}}=v \sin \theta .
\end{array}
\]

С помощью формул (6.2.1) находим компоненты скорости этой частицы $v_{\mathrm{x}}^{\prime}, v_{\mathrm{y}}^{\prime}$ в системе отсчета $K^{\prime}$ :
\[
\begin{aligned}
v_{\mathrm{x}}^{\prime} & =\frac{v \cos \theta-V}{1-v V \cos \theta / c^{2}}, \\
v_{\mathrm{y}}^{\prime} & =\frac{v \sin \theta \sqrt{1-\beta^{2}}}{1-v V \cos \theta / c^{2}},
\end{aligned}
\]

где $\beta=V / c$.
Вычисляя отношение $v_{\mathrm{y}}^{\prime} / v_{\mathrm{x}}^{\prime}$, получаем
\[
\operatorname{tg} \theta^{\prime}=v_{\mathrm{y}}^{\prime} / v_{\mathrm{x}}^{\prime}=\frac{\sin \theta \sqrt{1-\beta^{2}}}{\cos \theta-V / v} .
\]

Ответ: $\operatorname{tg} \theta^{\prime}=\frac{\sin \theta \sqrt{1-\beta^{2}}}{\cos \theta-V / v}$, где $\beta=V / c$.