Основные формулы
– Уравнения Максвелла
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{B}=0, \\
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}, \operatorname{div} \boldsymbol{D}=\rho \\
\boldsymbol{B}=\mu \mu_{0} \boldsymbol{H}, \quad \boldsymbol{D}=\varepsilon \varepsilon_{0} \boldsymbol{E},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{D}$ – векторы электрического поля и смещения, $\boldsymbol{B}$ и $\boldsymbol{H}$ – индукция и напряженность магнитного поля, $j$ и $\rho$ – плотности электрического тока и заряда, $\varepsilon_{\mathrm{o}}$ и $\mu_{\mathrm{o}}$ – электрическая и магнитная постоянные, $\varepsilon$ и $\mu$ диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества.
– Волновое уравнение электромагнитного поля для векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$
\[
\Delta \boldsymbol{E}=\frac{1}{V^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}, \quad, \Delta \boldsymbol{H}=\frac{1}{V^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{H}}{\partial t^{2}},
\]

где $\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial \mathrm{y}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial \mathrm{z}^{2}}$ – оператор Лапласа, $V=\frac{c}{\varepsilon \mu}$ – фазовая скорость электромагнитной волны в среде; $c$ – скорость света в вакууме; $\varepsilon, \mu$ диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.
– Волновое уравнение для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси $X$ (частный случай уравнения (4.5.2)):
\[
\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial^{2} x}=\frac{1}{V} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}, \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial^{2} x}=\frac{1}{V} \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial t^{2}} .
\]
– Связь между $E$ и $H$ в плоской волн
\[
E \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}}=H \sqrt{\mu \mu_{0}} .
\]
– Объемная плотность энергии электромагнитного поля
\[
\omega=\frac{E D}{2}+\frac{B H}{2},
\]
– Плотность потока электромагнитной энергии – вектор Пойнтинга
\[
\boldsymbol{S}=[\boldsymbol{E H}]
\]
– Связь между плотностью импульса $\alpha$ (т.е. импульсом единицы объема) и плотностью энергии $\omega$ электромагнитного поля
\[
\alpha=\frac{\omega}{c}
\]

Примеры решения задач
4.5.1. Плоская электромагнитная волна $E=E_{\mathrm{m}} \cos (\omega t-k r)$ распространяется в вакууме. Считая векторы $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{k}$ известными, найти вектор $\boldsymbol{H}$ как функцию времени $t$ в точке с радиус-вектором $\boldsymbol{r}=0$.
Решение

Представим вектора $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ в форме:
\[
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{\mathrm{m}} e^{i(\omega \boldsymbol{\alpha}-k r)}, \quad \boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}_{\mathrm{m}} e^{i(\alpha \boldsymbol{\alpha}-k r)},
\]

и подставим их в уравнение Максвелла (4.5.1):
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=-\mu_{0} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}
\]
( $\mu=1$ по условию задачи). Для определения $\operatorname{rot} \boldsymbol{E}$ вычислим сначала производные $\boldsymbol{E}$ по координатам $x, y, z$ :
\[
\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial \mathrm{x}}=\boldsymbol{E}_{\mathrm{m}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t-\mathrm{kr})}\left(-\mathrm{i} k_{x}\right)=-\mathrm{i} k_{x} \boldsymbol{E}, \quad \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial y}=-i k_{y} \boldsymbol{E}, \quad \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial z}=-i k_{z} \boldsymbol{E} .
\]

Таким образом, дифференцирование $\boldsymbol{E}$ по $x$ эквивалентно в данном случае умножению $\boldsymbol{E}$ на множитель ( $-i k_{\lambda}$ ) и т.д. Подставим соотношения (2) в формулу для $\operatorname{rot} \boldsymbol{E}$, записанную с использованием определителя
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}=[
abla \cdot \boldsymbol{E}]=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_{x} & E_{1} & E_{z}
\end{array}\right|=-i\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
k_{x} & k_{v} & k_{z} \\
E_{x} & E_{y} & E_{z}
\end{array}\right|=-i[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}] \text {. }
\]

Определим теперь частную производную
\[
\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}=i \omega \boldsymbol{H}
\]

и подставим полученные выражения для $\operatorname{rot} \boldsymbol{E}$ и $\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}$ в первое уравнение
Максвелла:
\[
-i[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}]=-\mu_{0} i \omega \boldsymbol{H} .
\]

Отсюда получаем выражение для поля $\boldsymbol{H}$

\[
\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu_{0} \omega}[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}] .
\]

Последнее соотношение показывает, в частности, что у электромагнитной волны в вакууме фазы электрического и магнитного поля совпадают (при сдвиге фаз, например, $\frac{\pi}{2}$ в этом соотношении появился бы множитель $i$ ).

Используем в (3) выражение (1) для $\boldsymbol{E}$ и возьмем реальную часть от обеих частей равенства (3):
\[
\boldsymbol{H}(r, t)=\frac{1}{\mu_{0} \omega}\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}_{\mathrm{m}}\right] \cos (\omega t-\boldsymbol{k} \boldsymbol{)} .
\]

Между волновым числом $k$ и круговой частотой $\omega$ справедливы соотношения
\[
k=\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{2 \pi v}{\lambda v}=\frac{\omega}{c},
\]

следовательно
\[
\frac{1}{\mu_{0} \omega}=\frac{1}{\mu_{0} k c}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}}{\mu_{0} k}=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} .
\]

При $\boldsymbol{r}=0$ получаем окончательно
\[
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r}=0, t)=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}_{\mathrm{m}}\right] \cos (k c t) .
\]

Ответ: $\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r}=0, t)=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}_{\mathrm{m}}\right] \cos (k c t)$.
4.5.2. Найти средний вектор Пойнтинга $\langle S\rangle$ у плоской электромагнитной волны $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{\mathrm{m}} \cos (\omega t-\boldsymbol{k} \boldsymbol{r})$, если волна распространяется в вакууме.
Решение
В соответствии с формулой (4.5.6) для определения вектора Пойнтинга мы должны вычислить вектор $\boldsymbol{H}$, что для плоской волны в вакууме выполнено в задаче 4.5.1:
\[
\boldsymbol{H}=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}] .
\]

Подставив (1) в формулу (4.5.6) получим
\[
\boldsymbol{S}=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}[\boldsymbol{E} \cdot[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}]]=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}[\boldsymbol{k}(\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{E})-\boldsymbol{E}(\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{k})] .
\]

Мы здесь воспользовались известной формулой векторного анализа для двойного векторного произведения
\[
[a \cdot[b \cdot c]]=b(a \cdot c)-c(a \cdot b),
\]

для запоминания которой часто используется выражение \”бац минус цаб\”. Второе слагаемое в (2) в квадратных скобках равно нулю, т.к. векторы $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{k}$ взаимно перпендикулярны. Следовательно
\[
\boldsymbol{S}=\frac{\boldsymbol{k}}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} \boldsymbol{E}^{2}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} \boldsymbol{E}^{2} \boldsymbol{e}_{k},
\]

где $\boldsymbol{e}_{k}$ – единичный вектор параллельный вектору $\boldsymbol{k}$, т.е. направлению распространения волны.

Усреднение вектора $S$ за период приводит к определению среднего значения за период функции $\cos ^{2}(\omega t-k r)$. Нетрудно показать, что
\[
<\cos ^{2}(\omega t-k r)>=\frac{1}{2} .
\]

Окончательно получаем
\[
<S>=\frac{E^{2}{ }_{m}}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} \boldsymbol{e}_{k} .
\]

Ответ: $\langle\boldsymbol{S}\rangle=\frac{E^{2}{ }_{m}}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} \boldsymbol{e}_{h}$.
4.5.3. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, медленно увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.
Решение
Поле внутри соленоида однородно в силу условия $2 R<<h$ (длинный соленоид). Для определения электрического поля на поверхности соленоида и его направления воспользуемся законом электромагнитной индукции и правилом Ленца
\[
\oint \boldsymbol{E} d \boldsymbol{l}=-\frac{d \Phi}{d t}=-\frac{d(\boldsymbol{B S})}{d t}=-\boldsymbol{S} \frac{d \boldsymbol{B}}{d t}=-\pi R^{2} \frac{d B}{d t},
\]

где $\Phi$ – магнитный поток через соленоид, $S$ – поперечное сечение соленоида.

В силу цилиндрической симметрии величина поля $\boldsymbol{E}$ на поверхности соленоида постоянна. Поэтому из (1) для величины $\boldsymbol{E}$ (без учета знака) получаем
\[
E 2 \pi R=\pi R^{2} \frac{d B}{d t},
\]

откуда
\[
E=\frac{R}{2} \frac{d B}{d t} .
\]

Вектор Пойнтинга через поверхность
\[
\boldsymbol{S}=[\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{H}]
\]

в соответствии с направлениями полей $\boldsymbol{E} \boldsymbol{u} \boldsymbol{H}$, показанными на рисунке, направлен внутрь соленоида. Полный поток энергии через боковую поверхность соленоида за единицу времени равен
\[
\begin{array}{c}
P=S 2 \pi R h=2 \pi R h E H= \\
=\pi R^{2} h \mu \mu_{0} H \frac{d}{d t}\left(\frac{\mathrm{H}^{2}}{2}\right)=V \frac{d}{d t}\left(\frac{\mu \mu_{0} H^{2}}{2}\right)=V \frac{d}{d t}\left(\frac{B H}{2}\right) .
\end{array}
\]

При вычислении мы воспользовались соотношением, связывающим В и $\boldsymbol{H}$ (см. формулы (4.5.1)), и формулой для объема $V$ цилиндра. Умножая $P$ на $d t$, получим приращение энергии $d W$ за счет электромагнитной энергии, втекающей в соленоид через его поверхность
\[
d \mathrm{~W}=P \mathrm{~d} t=\mathrm{Vd}\left(\frac{B H}{2}\right)=V \mathrm{~d} \omega_{\mathrm{M}},
\]

где $\omega_{\mathrm{M}}=\frac{B H}{2}$ – плотность энергии магнитного поля внутри соленоида. Следовательно
\[
P=V \frac{d \omega_{\mathrm{M}}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(V \omega_{\mathrm{M}}\right)=\frac{d W_{\mathrm{M}}}{d t},
\]

Рис. 4.10
т.е. поток вектора Пойнтинга равен скорости возрастания энергии магнитного поля в соленоиде.
4.5.4. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях при расчете пренебречь.
Решение
Вычислим поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность цилиндрического конденсатора (см. рис.4.11). Для этого нужно определить электрическое и магнитное поле на краю конденсатора.

Пусть на нижнюю пластину конденсатора поступает положительный заряд, а на верхнюю – отрицательный. Тогда электрическое поле внутри конденсатора направлено вверх. Поле однородно, поскольку его рассеяние на краях не учитывается. Поле $E$ растет по мере поступления заряда на пластины. Для определения поля $\boldsymbol{H}$ на цилиндрической поверхности конденсатора воспользуемся 3-м уравнением Максвелла (4.5.1). В данном случае его удобно использовать в интегральной форме. В качестве замкнутого контура интегрирования возьмем окружность, показанную на рис.4.8 пунктирной линией. В результате получаем следующее уравнение:
\[
\oint \boldsymbol{H} d \boldsymbol{l}=\int_{S} \frac{d \boldsymbol{D}}{d t} \cdot d \boldsymbol{S}
\]

Из соображений симметрии ясно, что магнитное поле может быть направлено только по касательной к цилиндрической поверхности конденсатора перпендикулярно к его оси. Поскольку ток проводимости через конденсатор отсутствует, то магнитное поле в нем определяется током смещения. Интегрирование в правой части (1) производится по площади круга радиуса $R$ (см. рис.4.8). С учетом сказанного уравнение (1)
Рис.4.11
преобразуется следующему виду:
\[
2 \pi R H=\pi R^{2} \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} t} .
\]

Отсюда получаем
\[
H=\frac{R}{2} \cdot \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} t} .
\]

Из рис.4.11 видно, что векторы $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ на поверхности конденсатора взаимно перпендикулярны и что вектор Пойнтинга $\boldsymbol{S}=[\boldsymbol{E H}]$ направлен внутрь конденсатора.
Следовательно, поток электромагнитной энергии (Р) через боковую поверхность конденсатора в единицу времени определяется следующим выражением:
$P=2 \pi R h S=2 \pi R h E H=\pi R^{2} h E \frac{d D}{d t}=V E \frac{d}{d t}\left(\varepsilon \varepsilon_{0} E\right)=V \frac{d}{d t}\left(\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} E^{2}}{2}\right)=V \frac{d}{d t}\left(\frac{E D}{2}\right)$, где $V=\pi R^{2} h$ – объем конденсатора. Так как $\omega_{э .}=\frac{E D}{2}$ представляет собой объемную плотность электрической энергии внутри конденсатора, тo
\[
P=V \frac{d \omega_{\imath n}}{d t}=\frac{d W_{э .}}{d t},
\]

где $W_{\text {эл }}$ – электрическая энергия конденсатора. Таким образом, утверждение доказано.
4.5.5. По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I. Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление $R$.

Решение
Рассмотрим участок
цилиндрического проводника сопротивлением $R$, представленный на рис.4.12. Электрическое поле $E$ однородно по сечению проводника. Для определения поля $\boldsymbol{H}$ на поверхности проводника используем 3 -е уравнение Максвелла (4.5.1), представив его в интегральной форме:
\[
\oint \boldsymbol{H} d \boldsymbol{l}=I .
\]

Рис. 4.12
Интегрирование в (1) производится по замкнутому контуру, показанному на рис. 4.9 пунктирной линией. Ток смещения в данном случае равен нулю, так как вектор $D$ не зависит от времени. Из условий симметрии задачи следует, что вектор $\boldsymbol{H}$ на поверхности цилиндра может быть направлен только по касательной перпендикулярно оси цилиндра. С помощью уравнения (1), используя обозначения на рис. 4.12 , получаем:
\[
H=\frac{I}{2 \pi r},
\]

где U напряжение на концах проводника, представленного на рисунке. C помощью закона Ома имеем далее:
\[
U=E h=I R, \quad E=\frac{I R}{h} .
\]

Векторы $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ на поверхности взаимно перпендикулярны и ориентированы так, как показано на рис.4.12. Вектор Пойнтинга направлен внутрь проводника и определяется следующим выражением
\[
S=E H=\frac{I}{2 \pi r} \cdot \frac{I R}{h}=\frac{I^{2} R}{2 \pi r h} .
\]

Поток ( $P$ ) вектора $S$ через боковую поверхность проводника равен

\[
P=S \cdot 2 \pi r h=I^{2} R .
\]

Таким образом, энергия в проводнике с током, выделяющаяся в виде джоулева тепла (см. (3.4.2)), поступает в проводник через его боковую поверхность.