Основные формуль
– Среднее значение энергии квантового гармонического осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, выражается формулой
\[
\langle E\rangle=\frac{\hbar \omega}{2}+\frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega / \hbar T}-1},
\]

где $\omega$ – круговая частота колебаний осциллятора, $\hbar$ – постоянная Планка, $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – термодинамическая температура.

– Число нормальных колебаний одной поляризации в расчете на единицу объема кристалла в интервале частот от $\omega$ до $\omega+d \omega$ определяется выражением
\[
d N_{\omega}=\frac{\omega^{2} d \omega}{2 \pi^{2} v^{3}},
\]

где $v$ – скорость звуковой волны в кристалле.
– Молярная колебательная энергия кристалла:
\[
U=9 \operatorname{R} \theta\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{T}{\theta}\right)^{4 \theta / T} \int_{0}^{3} \frac{x^{3} d x}{e^{x}-1}\right],
\]

где $\theta=\hbar \omega_{\max } / k$ – дебаевская температура, $\omega_{\max }$ – максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний, $R$ – газовая постоянная.
Примеры решения задач
7.10.1. Определить число собственных поперечных колебаний струны длины $l$ в интервале частот $\omega, \omega+d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.
Решение
Собственные поперечные колебания струны представляют собой стоячие волны, длины волн которых удовлетворяют требованию
\[
\frac{2 l}{\lambda_{n}}=n,
\]

где $l$-длина струны, $\lambda_{\mathrm{n}}$-длина волны, $n=1,2,3, \ldots$ Формула (1) представляет собой условие того, что на длине струны $l$ должно уместиться полуцелое число длин волн. Учитывая, что
\[
\lambda_{\mathrm{n}}=\frac{2 \pi v}{\omega_{\mathrm{n}}},
\]

где $v$ – скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны, находим
\[
n=\frac{l}{\pi v} \omega_{\mathrm{n}} .
\]

Из формулы (3) видно, что число собственных колебаний струны в интервале частот от $\omega$ до $\omega+d \omega$ определяется выражением $d n_{\omega}=\frac{l}{\pi
u} d \omega$.
Ответ: $d n_{\omega}=\frac{l}{\pi v} d \omega$.
7.10.2. Имеется прямоугольная мембрана площадью $S$. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных к ее плоскости, в интервале частот $\omega, \omega+d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$.
Решение
Направим одну из сторон прямоугольной мембраны вдоль оси $x$, а другую – вдоль оси $y$. Вдоль осей $x$ и $y$ могут возбуждаться колебания, волновые векторы которых удовлетворяют условиям (см. предыдущую задачу)
\[
k_{\mathrm{x}}=\frac{\pi}{a} n_{\mathrm{x}}, k_{\mathrm{y}}=\frac{\pi}{b} n_{\mathrm{y}},
\]

где $n_{\mathrm{x}}, n_{\mathrm{y}}=1,2,3, \ldots, a$ и $b$ – размеры мембраны вдоль осей $x$ и $y$ соответственно. Заметим, что каждому колебанию можно сопоставить волновой вектор $\mathrm{k}$ с компонентами $k_{\mathrm{x}}, k_{\mathrm{y}}$. Как следует из формул (1), число колебаний, для которых компонента $k_{\mathrm{x}}$ находится в пределах от $k_{\mathrm{x}}$ до $k_{\mathrm{x}}+d k_{\mathrm{x}}$, а компонента $k_{\mathrm{y}}$ находится в пределах от $k_{\mathrm{y}}$ до $k_{\mathrm{y}}+d k_{\mathrm{y}}$, определяется выражением
\[
d N=d n_{\mathrm{x}} d n_{\mathrm{y}}=\frac{S}{\pi^{2}} d k_{\mathrm{x}} d k_{\mathrm{y}},
\]

где $S=a b$.
Произведение $d k_{\mathrm{x}} d k_{\mathrm{y}}$ представляет собой элемент площади $d \sigma$ в пространстве волнового вектора $\mathrm{k}$. Этот элемент площади можно записать в полярной системе координат
\[
d \sigma=k d k d \varphi,
\]

где $\varphi$-полярный угол, меняющийся в пределах от 0 до $\pi / 2$ (поскольку $k_{\mathrm{x}}, k_{\mathrm{y}}>0$ ). Таким образом, формулу (2) можно представить в виде
\[
d N=\frac{S}{\pi^{2}} d \sigma=\frac{S}{\pi^{2}} k d k d \varphi
\]

Интегрируя выражение (4) по $d \varphi$ в пределах от 0 до $\pi / 2$, найдем число колебаний, для которых модуль волнового вектора находится в пределах от $k$ до $k+d k$
\[
d N_{\mathrm{k}}=\frac{S}{2 \pi} k d k .
\]

Наконец, учитывая, что $k=\omega / v$, где $\omega$ – круговая частота, а $v$ скорость распространения колебаний, находим число колебаний, частоты которых находятся в пределах от $\omega$ до $\omega+d \omega$
\[
d N_{\omega}=\frac{S}{2 \pi v^{2}} \omega d \omega .
\]

Ответ: $d N_{\omega}=\frac{S}{2 \pi v^{2}} \omega d \omega$.
7.10.3. Получить выражение, определяющее зависимость молярной теплоемкости одномерного кристалла – цепочки одинаковых атомов – от температуры $T$, если дебаевская температура цепочки равна $\theta$. Упростить полученное выражение для случая $T>>\theta$.
Решение
Для одномерной цепочки атомов число колебаний в интервале частот от $\omega$ до $\omega+d \omega$ можно вычислить точно так же, как для струны (см. задачу 7.10.1)
\[
d N_{\omega}=\frac{l}{\pi v} d \omega,
\]

где $l$ – длина цепочки, $v$ – скорость распространения колебаний вдоль цепочки. Предположим, что число атомов в цепочке равно числу Авогадро $N_{\text {А }}$. Тогда общее число нормальных колебаний в системе должно равняться $N_{\mathrm{A}}$. С другой стороны, общее число колебаний можно получить, интегрируя выражение (1) по $d \omega$ от 0 до $\omega_{\max }$. Приравнивая эти величины, находим
\[
\frac{l}{\pi v}=\frac{N_{\mathrm{A}}}{\omega_{\max }} .
\]

С учетом формул (1), (2) энергия колебаний в интервале частот от $\omega$ до $\omega+d \omega$ определяется выражением

\[
d U=\langle E\rangle \frac{N_{\mathrm{A}}}{\omega_{\max }} d \omega,
\]

где $\langle E\rangle$ – среднее значение энергии квантового гармонического осциллятора, приходящееся на одну степень свободы (7.10.1). Выражение (3) можно представить в форме
\[
d U=\frac{\hbar N_{\mathrm{A}}}{\omega_{\max }}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\hbar \omega / k T}-1}\right] \omega d \omega,
\]

где $\hbar$ – постоянная Планка, $k$ – постоянная Больцмана, $T$ термодинамическая температура. Полную энергию колебаний цепочки получим путем интегрирования выражения (4) по $d \omega$ в пределах от 0 до $\omega_{\max }$.
В результате приходим к формуле
\[
U=R \theta\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{T}{\theta}\right)^{2} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x d x}{e^{x}-1}\right],
\]

где $\theta=\hbar \omega_{\max } / k$ – дебаевская температура, $R=k N_{A}$ – газовая постоянная. Дифференцируя выражение (5) по температуре $T$, находим молярную теплоемкость одномерной цепочки атомов
\[
C_{\mathrm{M}}=R\left[\frac{2 T}{\theta} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x d x}{e^{x}-1}-\frac{\theta}{T} \frac{1}{e^{\theta / T}-1}\right] .
\]

При $T \gg \theta$, выражение (5) принимает вид $U=U_{0}+R T$, где $U_{0}=R \theta / 4$. Поэтому в этом пределе $C_{\mathrm{M}} \cong R$.
Ответ: $U=R \theta\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{T}{\theta}\right)^{2} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x d x}{e^{x}-1}\right]$;
\[
C_{\mathrm{M}}=R\left[\frac{2 T}{\theta} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x d x}{e^{x}-1}-\frac{\theta}{T} \frac{1}{e^{\theta / T}-1}\right] ; C_{\mathrm{M}} \cong R \text { при } T \gg \theta \text {. }
\]