Основные формуль
— Среднее значение энергии квантового гармонического осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, выражается формулой
$$⟨E⟩=\frac{\hslash \omega }{2}+\frac{\hslash \omega }{e^{\hslash \omega /\hslash T}-1},$$

где $\omega$ — круговая частота колебаний осциллятора, $\hslash$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — термодинамическая температура.

— Число нормальных колебаний одной поляризации в расчете на единицу объема кристалла в интервале частот от $\omega$ до $\omega +d\omega$ определяется выражением
$$d{N}_{\omega }=\frac{{\omega }^{2}d\omega }{2{\pi }^2{v}^3},$$

где $v$ — скорость звуковой волны в кристалле.
— Молярная колебательная энергия кристалла:
$$U=9\mathrm{R}\theta [\frac{1}{8}+{\left(\frac{T}{\theta }\right)}^{4\theta /T}{\int }_0^3\frac{x^{3}dx}{e^x-1}],$$

где $\theta =\hslash {\omega }_{max}/k$ — дебаевская температура, ${\omega }_{max}$ — максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний, $R$ — газовая постоянная.
Примеры решения задач
7.10.1. Определить число собственных поперечных колебаний струны длины $l$ в интервале частот $\omega ,\omega +d\omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.
Решение
Собственные поперечные колебания струны представляют собой стоячие волны, длины волн которых удовлетворяют требованию
$$\frac{2l}{{\lambda }_n}=n,$$

где $l$-длина струны, ${\lambda }_{\mathrm{n}}$-длина волны, $n=1,2,3,\dots$ Формула (1) представляет собой условие того, что на длине струны $l$ должно уместиться полуцелое число длин волн. Учитывая, что
$${\lambda }_{\mathrm{n}}=\frac{2\pi v}{{\omega }_{\mathrm{n}}},$$

где $v$ — скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны, находим
$$n=\frac{l}{\pi v}{\omega }_{\mathrm{n}}.$$

Из формулы (3) видно, что число собственных колебаний струны в интервале частот от $\omega$ до $\omega +d\omega$ определяется выражением $d{n}_{\omega }=\frac{l}{\pi u}d\omega$.
Ответ: $d{n}_{\omega }=\frac{l}{\pi v}d\omega$.
7.10.2. Имеется прямоугольная мембрана площадью $S$. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных к ее плоскости, в интервале частот $\omega ,\omega +d\omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$.
Решение
Направим одну из сторон прямоугольной мембраны вдоль оси $x$, а другую — вдоль оси $y$. Вдоль осей $x$ и $y$ могут возбуждаться колебания, волновые векторы которых удовлетворяют условиям (см. предыдущую задачу)
$$k_{\mathrm{x}}=\frac{\pi }{a}{n}_{\mathrm{x}},k_{\mathrm{y}}=\frac{\pi }{b}{n}_{\mathrm{y}},$$

где $n_{\mathrm{x}},n_{\mathrm{y}}=1,2,3,\dots ,a$ и $b$ — размеры мембраны вдоль осей $x$ и $y$ соответственно. Заметим, что каждому колебанию можно сопоставить волновой вектор $\mathrm{k}$ с компонентами $k_{\mathrm{x}},k_{\mathrm{y}}$. Как следует из формул (1), число колебаний, для которых компонента $k_{\mathrm{x}}$ находится в пределах от $k_{\mathrm{x}}$ до $k_{\mathrm{x}}+d{k}_{\mathrm{x}}$, а компонента $k_{\mathrm{y}}$ находится в пределах от $k_{\mathrm{y}}$ до $k_{\mathrm{y}}+d{k}_{\mathrm{y}}$, определяется выражением
$$dN=d{n}_{\mathrm{x}}d{n}_{\mathrm{y}}=\frac{S}{{\pi }^2}d{k}_{\mathrm{x}}d{k}_{\mathrm{y}},$$

где $S=ab$.
Произведение $d{k}_{\mathrm{x}}d{k}_{\mathrm{y}}$ представляет собой элемент площади $d\sigma$ в пространстве волнового вектора $\mathrm{k}$. Этот элемент площади можно записать в полярной системе координат
$$d\sigma =kdkd\phi ,$$

где $\phi$-полярный угол, меняющийся в пределах от 0 до $\pi /2$ (поскольку $k_{\mathrm{x}},k_{\mathrm{y}}>0$ ). Таким образом, формулу (2) можно представить в виде
$$dN=\frac{S}{{\pi }^2}d\sigma =\frac{S}{{\pi }^2}kdkd\phi$$

Интегрируя выражение (4) по $d\phi$ в пределах от 0 до $\pi /2$, найдем число колебаний, для которых модуль волнового вектора находится в пределах от $k$ до $k+dk$
$$d{N}_{\mathrm{k}}=\frac{S}{2\pi }kdk.$$

Наконец, учитывая, что $k=\omega /v$, где $\omega$ — круговая частота, а $v$ скорость распространения колебаний, находим число колебаний, частоты которых находятся в пределах от $\omega$ до $\omega +d\omega$
$$d{N}_{\omega }=\frac{S}{2\pi v^2}\omega d\omega .$$

Ответ: $d{N}_{\omega }=\frac{S}{2\pi v^2}\omega d\omega$.
7.10.3. Получить выражение, определяющее зависимость молярной теплоемкости одномерного кристалла — цепочки одинаковых атомов — от температуры $T$, если дебаевская температура цепочки равна $\theta$. Упростить полученное выражение для случая $T>>\theta$.
Решение
Для одномерной цепочки атомов число колебаний в интервале частот от $\omega$ до $\omega +d\omega$ можно вычислить точно так же, как для струны (см. задачу 7.10.1)
$$d{N}_{\omega }=\frac{l}{\pi v}d\omega ,$$

где $l$ — длина цепочки, $v$ — скорость распространения колебаний вдоль цепочки. Предположим, что число атомов в цепочке равно числу Авогадро $N_{\text{А }}$. Тогда общее число нормальных колебаний в системе должно равняться $N_{\mathrm{A}}$. С другой стороны, общее число колебаний можно получить, интегрируя выражение (1) по $d\omega$ от 0 до ${\omega }_{max}$. Приравнивая эти величины, находим
$$\frac{l}{\pi v}=\frac{N_{\mathrm{A}}}{{\omega }_{max}}.$$

С учетом формул (1), (2) энергия колебаний в интервале частот от $\omega$ до $\omega +d\omega$ определяется выражением

$$dU=⟨E⟩\frac{N_{\mathrm{A}}}{{\omega }_{max}}d\omega ,$$

где $⟨E⟩$ — среднее значение энергии квантового гармонического осциллятора, приходящееся на одну степень свободы (7.10.1). Выражение (3) можно представить в форме
$$dU=\frac{\hslash N_{\mathrm{A}}}{{\omega }_{max}}[\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\hslash \omega /kT}-1}]\omega d\omega ,$$

где $\hslash$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ термодинамическая температура. Полную энергию колебаний цепочки получим путем интегрирования выражения (4) по $d\omega$ в пределах от 0 до ${\omega }_{max}$.
В результате приходим к формуле
$$U=R\theta [\frac{1}{4}+{\left(\frac{T}{\theta }\right)}^2{\int }_0^{\theta /T}\frac{xdx}{e^x-1}],$$

где $\theta =\hslash {\omega }_{max}/k$ — дебаевская температура, $R=k{N}_A$ — газовая постоянная. Дифференцируя выражение (5) по температуре $T$, находим молярную теплоемкость одномерной цепочки атомов
$$C_{\mathrm{M}}=R[\frac{2T}{\theta }{\int }_0^{\theta /T}\frac{xdx}{e^x-1}-\frac{\theta }{T}\frac{1}{e^{\theta /T}-1}].$$

При $T\gg \theta$, выражение (5) принимает вид $U=U_0+RT$, где $U_0=R\theta /4$. Поэтому в этом пределе $C_{\mathrm{M}}\cong R$.
Ответ: $U=R\theta [\frac{1}{4}+{\left(\frac{T}{\theta }\right)}^2{\int }_0^{\theta /T}\frac{xdx}{e^x-1}]$;
$$C_{\mathrm{M}}=R[\frac{2T}{\theta }{\int }_0^{\theta /T}\frac{xdx}{e^x-1}-\frac{\theta }{T}\frac{1}{e^{\theta /T}-1}];C_{\mathrm{M}}\cong R\text{ при }T\gg \theta \text{. }$$