Основные формулы
– Напряженность электрического поля у поверхности проводника в вакууме:
\[
E_{\mathrm{n}}=\sigma / \varepsilon_{0}
\]
– Поток поляризованности $P$ через замкнутую поверхность:
\[
\int \boldsymbol{P} d \boldsymbol{S}=-q^{\prime},
\]
где $q^{\prime}$ – алгебраическая сумма связанных зарядов внутри этой поверхности.
– Вектор электрической индукции $D$ и теорема Гаусса для него:
\[
\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}=\varepsilon \varepsilon_{0} \boldsymbol{E}, \int \boldsymbol{D} d \boldsymbol{S}=q,
\]
где $q$ – алгебраическая сумма сторонних зарядов внутри замкнутой поверхности.
– Условия на границе раздела двух диэлектриков:
\[
P_{2 \mathrm{n}}-P_{1 \mathrm{n}}=-\sigma^{\prime}, D_{2 \mathrm{n}}-D_{1 \mathrm{n}}=\sigma, E_{2 \mathrm{n}}=E_{1 \mathrm{n}},
\]
где $\sigma^{\prime}, \sigma$ – поверхностные плотности связанных и сторонних зарядов, а орт нормали $\boldsymbol{n}$ направлен из среды 1 в среду 2.
Примеры решения задач
3.2.1. Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости $k$. После того как шарик зарядили, он опустился на $x$ см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным $l$. Найти заряд шарика.
Решение
Условие равновесия шарика до того, как его зарядили, имеет вид:
\[
m g=k X \text {, }
\]
где $m$ – масса шарика, $X$ – первоначальное растяжение пружины. После того, как шарик зарядили, на него начнет действовать также электрическая сила со стороны плоскости, которую можно представить, как силу, действующую со стороны отрицательного заряда-изображения, расположенного под плоскостью симметрично нашему заряду. В этом случае условие равновесия шарика имеет вид:
\[
m g+\frac{q^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0} l^{2}}=k(X+x)
\]
Решая уравнения (1), (2), найдем заряд шарика.
Ответ: $q=4 l \quad \pi \varepsilon_{0} k x$.
3.2.2. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд $\lambda$ на единицу длины и расположена параллельно проводящей плоскости. Расстояние между нитью и плоскостью равно $l$. Найти:
a) модуль силы, действующей на единицу длины нити;
б) распределение поверхностной плотности заряда $\sigma(x)$ на плоскости (здесь $x$ – расстояние от прямой на плоскости, где $\sigma$ максимальна).
Решение
Согласно методу изображений, взаимодействие нити с плоскостью может быть представлено, как взаимодействие с противоположно заряженной нитью-изображением, расположенной симметрично под плоскостью. Воспользовавшись формулой (1) задачи 3.1.7, получим силу, действующую на единицу длины нити:
\[
F=\lambda^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} l
\]
Для определение поверхностной плотности, найдем напряженность поля непосредственно над плоскостью. Эта напряженность перпендикулярна плоскости и равна:
\[
E_{\mathrm{n}}=\frac{\lambda l}{\pi \varepsilon_{0}\left(x^{2}+l^{2}\right)}
\]
Отсюда по формуле (3.2.1) найдем поверхностную плотность $\sigma=E_{\mathrm{n}} \varepsilon_{0}$.
Ответ: а) $F=\lambda^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} l$, б) $\sigma(x)=\frac{\lambda l}{\pi\left(x^{2}+l^{2}\right)}$.
3.2.3. Найти потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии $l$ от ее центра находится точечный заряд $q$.
Решение
Поскольку сфера не заряжена, несмотря на перераспределение зарядов на ее поверхности, вклад поверхностного индуцированного заряда в величину потенциала в ее центре равен нулю. Поэтому, потенциал центра сферы определяется только вкладом заряда $q: \varphi=q / 4 \pi \varepsilon_{0} l$. Внутри полости в проводнике электрическое поле равно нулю, поэтому все точки в полости имеют один и тот же потенциал и, следовательно, потенциал поверхности сферы равен потенциалу в ее центре.
Ответ: $\varphi=q / 4 \pi \varepsilon_{0} l$
3.2.4. Точечный заряд $q=3,4$ нКл находится на расстоянии $r=$ 2,5 см от центра О незаряженного сферического слоя проводника, радиусы которого $R_{1}=5$ см и $R_{2}=8$ см. Найти потенциал в точке $\mathrm{O}$.
Решение
Поскольку заряд $q$ находится в полости внутри слоя, то заряды, индуцированные на внутренней и внешней поверхности слоя равны, соответственно, $-q$ и $q$. Действительно, поток напряженности поля через замкнутую поверхность, расположенную в проводящей части слоя должен быть равен нулю. Следовательно, заряд на внутренней поверхности равен $-q$. Таким образом, потенциал в точке О равен:
\[
\varphi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right) .
\]
Ответ: $\varphi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)$.
3.2.5. Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии $d$ друг от друга. Крайние пластины соединены проводником, а на внутренние пластины подана разность потенциалов $\Delta \varphi$. Найти:
a) напряженность электрического поля между пластинами;
б) суммарный заряд на единицу площади каждой пластины.
Решение
Пусть пластины расположены в вертикальной плоскости и пронумерованы слева направо. Их плотности зарядов, соответственно, равны $\sigma_{1}, \sigma_{2},-\sigma_{2},-\sigma_{1}$. Воспользуемся тем, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости равна $E=\sigma / 2 \varepsilon_{0}$. Отсюда напряженности поля между пластинами равны:
\[
E_{12}=\sigma_{1} / \varepsilon_{0}, E_{23}=\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right) / \varepsilon_{0}, E_{34}=\sigma_{1} / \varepsilon_{0} .
\]
Разность потенциалов между крайними пластинами равна нулю:
\[
\left(E_{12}+E_{23}+E_{34}\right) d=0 .
\]
Разность потенциалов между второй и третьей пластинами равна $\Delta \varphi$ :
\[
E_{23} d=\Delta \varphi \text {. }
\]
Решая (1), (2), (3) совместно, получим искомые напряженности и плотности заряда.
Ответ: а) $E_{23}=\Delta \varphi / d, E_{12}=E_{34}=E_{23} / 2$;
б) $\sigma_{1}=-\frac{\varepsilon_{0}}{2 d} \Delta \varphi, \sigma_{2}=\frac{3 \varepsilon_{0}}{2 d} \Delta \varphi, \sigma_{3}=-\sigma_{2}, \sigma_{4}=-\sigma_{1}$.
3.2.6. Точечный сторонний заряд $q$ находится в центре шара из однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Найти поляризованность $P$ шара как функцию радиус-вектора $r$ относительно центра шара, а также связанный заряд $q^{\prime}$ внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.
Решение
Вначале найдем электрическую индукцию $D$. По формуле (3.2.3) имеем: $4 \pi r^{2} D=q$, откуда
\[
D=q / 4 \pi r^{2}
\]
Далее, используя (3.2.3), находим поляризованность:
\[
P=\begin{array}{cc}
\varepsilon-1 & q \\
\varepsilon & 4 \pi r^{2}
\end{array} .
\]
Заряд $q^{\prime}$ найдем по формуле (3.2.2): $q^{\prime}=-(\varepsilon-1) q / \varepsilon$.
Ответ: $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{r})=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} \frac{q \boldsymbol{r}}{4 \pi r^{3}}, q^{\prime}=-(\varepsilon-1) q / \varepsilon$.
3.2.7. Точечный сторонний заряд $q$ находится в центре диэлектрического шара радиуса $a$ с проницаемостью $\varepsilon_{1}$. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon_{2}$. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков.
Решение
Электрическая индукция во всем пространстве описывается формулой (1) задачи 3.2.6. Поляризованности внутри и вне шара найдем с помощью формул (3.2.3):
Поверхностная плотность связанного заряда определяется скачком поляризованности при $r=a$ (см. (3.2.4)).
Ответ: $\sigma^{\prime}=\underset{4 \pi a^{2} \varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}{q}\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right)$.
3.2.8. Вблизи точки А (рис. 3.4) границы раздела стекло – вакуум напряженность электрического поля в вакууме $E_{0}=10 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, причем угол между вектором $\boldsymbol{E}_{0}$ и нормалью $\boldsymbol{n}$ к границе раздела $\alpha_{0}=30$ градусов. Найти напряженность $E$ поля в стекле вблизи точки А, угол $\alpha$ между векторами $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{n}$, а также поверхностную плотность связанных зарядов в точке A.
Решение
Воспользуемся граничными условиями (3.2.4) для $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$ :
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{0} E_{0} \cos \alpha_{0}=\varepsilon \varepsilon_{0} E \cos \alpha, \\
E_{0} \sin \alpha_{0}=E \sin \alpha
\end{array}
\]
Решая эти уравнения относительно $E$ и $\alpha$, получим:
\[
\operatorname{tg} \alpha=\varepsilon \operatorname{tg} \alpha_{0}, \quad E=\frac{E_{0}}{\varepsilon} \sqrt{\cos ^{2} \alpha_{0}+\varepsilon^{2} \sin ^{2} \alpha_{0}} .
\]
Поверхностную плотность связанных зарядов найдем из условия (3.2.4) для поляризованности (необходимо учесть, что поляризованность в вакууме равна нулю):
\[
\sigma^{\prime}=P_{0 \mathrm{n}}=\varepsilon_{0}(1-1 / \varepsilon) E_{0} \cos \alpha_{0} .
\]
Рис. 3.4
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha=\varepsilon \operatorname{tg} \alpha_{0}, E=\frac{E_{0}}{\varepsilon} \sqrt{\cos ^{2} \alpha_{0}+\varepsilon^{2} \sin ^{2} \alpha_{0}}$;
\[
\sigma^{\prime}=P_{0 \mathrm{n}}=\varepsilon_{0}(1-1 / \varepsilon) E_{0} \cos \alpha_{0} .
\]
3.2.9. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью $\rho$. Толщина пластины $2 d$. Найти:
a) модуль напряженность электрического поля и потенциал как функции расстояния $l$ от середины пластины (потенциал в центре пластины положить равным нулю).
б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.
Решение
Найдем вначале напряженность электрического поля $E_{\mathrm{i}}$ внутри пластины. Воспользуемся теоремой Гаусса для электрической индукции $\boldsymbol{D}$ (3.2.3). В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр с основаниями площади $S$, параллельными плоскости симметрии пластины, расположенный симметрично относительно этой плоскости. Пусть высота цилиндра равна $2 l(l<d)$. Имеем:
\[
2 S D_{\mathrm{i}}=\rho 2 l S,
\]
откуда $D_{\mathrm{i}}=\rho l$ и, таким образом, $E_{\mathrm{i}}=\rho l / \varepsilon_{0} \varepsilon$.
Напряженность поля вне пластины $E_{\mathrm{e}}$ найдем, выбрав в качестве замкнутой поверхности цилиндр с $l>d: 2 S E_{\mathrm{e}}=\rho 2 d S / \varepsilon_{0}$. Отсюда $E_{\mathrm{e}}=\rho d / \varepsilon_{0}$. С учетом того, что потенциал в центре пластины равен нулю, потенциал в точке $l$ равен
\[
\varphi=-\int_{0}^{l} E\left(l_{1}\right) d l_{1} .
\]
Отсюда имеем:
\[
\varphi_{\mathrm{i}}=-\rho l^{2} / 2 \varepsilon \varepsilon_{0}, \varphi_{\mathrm{e}}=-\left(d / 2 \varepsilon_{0}+l-d\right) \rho d / \varepsilon_{0} .
\]
Для определения плотностей связанного заряда найдем поляризованность внутри пластины (поляризованность снаружи равна нулю):
\[
P_{\mathrm{i}}=\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) E_{\mathrm{i}}=(\varepsilon-1) \rho l / \varepsilon .
\]
Отсюда, используя формулу (3.2.2) $\left(2 S P_{\mathrm{i}}=-\rho^{\prime} 2 l S\right)$, найдем объемную плотность связанного заряда: $\rho^{\prime}=-\rho(\varepsilon-1) / \varepsilon$. Поверхностная плотность связанного заряда определяется поляризованностью $P_{\mathrm{i}}$ у границы пластины: $\sigma^{\prime}=\rho d(\varepsilon-1) / \varepsilon$.
\[
\begin{array}{l}
\text { Ответ: } E_{\mathrm{i}}=\rho l / \varepsilon_{0}, E_{\mathrm{e}}=\rho d / \varepsilon_{0}, \\
\varphi_{\mathrm{i}}=-\rho l^{2} / 2 \varepsilon \varepsilon_{0}, \varphi_{\mathrm{e}}=-\left(d / 2 \varepsilon_{0}+l-d\right) \rho d / \varepsilon_{0}, \\
\rho^{\prime}=-\rho(\varepsilon-1) / \varepsilon, \sigma^{\prime}=\rho d(\varepsilon-1) / \varepsilon .
\end{array}
\]
3.2.10. При некоторых условиях поляризованность безграничной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид: $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}_{0}\left(1-x^{2} / d^{2}\right)$, где $\boldsymbol{P}_{0}$ – вектор, перпендикулярный к пластине, $\boldsymbol{x}$ – расстояние от середины пластины, $d$ – ее полутолщина. Найти напряженность электрического поля внутри пластины и разность потенциалов между ее поверхностями.
Решение
Поскольку пластина не заряжена, электрическая индукция в ней равна нулю. Поэтому $\boldsymbol{E}=-\boldsymbol{P} / \varepsilon_{0}$ (см. (3.2.3)). Разность потенциалов $U$ найдем при помощи интегрирования:
\[
U=\int_{-d}^{d} E d x,
\]
откуда получаем
\[
U=\begin{array}{c}
4 P_{0} d \\
3 \varepsilon_{0}
\end{array} .
\]
Ответ: $\boldsymbol{E}=-\boldsymbol{P}_{0}\left(1-x^{2} / d^{2}\right) / \varepsilon_{0}, U=\frac{4 P_{0} d}{3 \varepsilon_{0}}$.
