Основные формулы
— Уравнение состояния идеального газа:
$$pV=\frac{m}{M}RT\text{ или }p=nkT,$$

где $p,V,T$ — давление, объем и температура газа, соответственно, $m$ масса газа, $M$ — молярная масса газа, $n$ — концентрация молекул газа, $R=k{N}_{\mathrm{A}}=8,31$ Дж/(моль $\mathrm{K}$ ) — газовая постоянная, $k=1,38\times {10}^{-23}$ Дж/K постоянная Больцмана, $N_{\mathrm{A}}=6,02\times {10}^{23}$ моль ${}^{-1}$ — постоянная Авогадро.
— Барометрическая формула:
$$p=p_0\exp (-Mgh/RT),$$

где $p_0$ — давление на высоте $h=0$.
— Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа (для одного моля):
$$(p+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT,$$

где $V$ — молярный объем газа, $a$ и $b$ — постоянные, различные для разных газов.
— Критическая температура, критическое давление и критический молярный объем ван-дер-ваальсовского газа:
$$T_{\kappa }=\frac{8a}{27bR},p_{\kappa }=\frac{a}{27b^2},V_{\kappa }=3b$$

Примеры решения задач
2.1.1. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T=T_0+\alpha V^2$, где $T_0$ и $\alpha$ положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p$ и $V$.

Решение.
Комбинируя уравнение процесса $T=T_0+\alpha V^2$ с уравнением состояния идеального газа для одного моля $pV=RT$, получаем уравнение процесса в координатах $p$ и $V$
$$p=\frac{R{T}_0}{V}+\alpha RV.$$

Исследуем это выражение на минимум, для чего вычислим производную $dp/dV$ и приравняем ее к нулю:
$$\frac{dp}{dV}=-\frac{R{T}_0}{V^2}+\alpha R=0,$$

откуда объем $V_0$, при котором давление минимально равен $V_0=\sqrt{T_0/\alpha }$, а наименьшее возможное давление $p_0$ идеального газа в рассматриваемом процессе определяется выражением
$$p_0=\frac{R{T}_0}{V_0}+\alpha R{V}_0=2R\sqrt{\alpha T_0}.$$

Ответ: $p_0=2R\sqrt{\alpha T_0}$.
2.1.2. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $dT/dh$.
Решение.
Изменение давления связано с изменением высоты известным соотношением $dp=-\rho gdh$, где $\rho$ — плотность газа. С другой стороны, уравнение состояния идеального газа виде
$$p=\frac{m}{V}\frac{RT}{M}=\frac{\rho RT}{M}$$

дает
$$dp=\frac{\rho RdT}{M}.$$

Поэтому, градиент температуры может быть определен из соотношения
$$\frac{\rho RdT}{M}=-\rho gdh$$

или

$$dT/dh=-Mg/R\text{. }$$

Ответ: $dT/dh=-Mg/R$.
2.1.3. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h=0$ давление $p=p_0$, а температура изменяется с высотой как а) $T=T_0(1-ah)$; б) $T=T_0(1+ah)$, где $a$ — положительная постоянная.
Решение.
Комбинируя соотношение $dp=-\rho gdh$ с уравнением состояния идеального газа
$$p=\frac{m}{V}\frac{RT}{M}=\frac{\rho RT}{M},$$

получаем дифференциальное уравнение для определения зависимости давления $p$ от высоты $h$
$$\frac{dp}{p}=-\frac{Mgdh}{RT}.$$

Его решение с учетом начального условия $p=p_0$ при $h=0$ дает для случая а) следующую зависимость
$$p=p_0(1-ah{)}^{\frac{Mg}{R{T}_{0}a}},$$

а для случая б) получаем соотношение
$$p=p_0(1+ah{)}^{-\frac{Mg}{R{T}_{0}a}}.$$

Ответ: а) $p=p_0(1-ah{)}^{\frac{Mg}{R{T}_{0}a}}$;
б) $p=p_0(1+ah{)}^{-\frac{Mg}{R{T}_{0}a}}$.