Основные формулы
– Уравнение состояния идеального газа:
\[
p V=\frac{m}{M} R T \text { или } p=n k T,
\]
где $p, V, T$ – давление, объем и температура газа, соответственно, $m$ масса газа, $M$ – молярная масса газа, $n$ – концентрация молекул газа, $R=k N_{\mathrm{A}}=8,31$ Дж/(моль $\mathrm{K}$ ) – газовая постоянная, $k=1,38 \times 10^{-23}$ Дж/K постоянная Больцмана, $N_{\mathrm{A}}=6,02 \times 10^{23}$ моль $^{-1}$ – постоянная Авогадро.
– Барометрическая формула:
\[
p=p_{0} \exp (-M g h / R T),
\]
где $p_{0}$ – давление на высоте $h=0$.
– Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа (для одного моля):
\[
\left(p+\frac{a}{V^{2}}\right)(V-b)=R T,
\]
где $V$ – молярный объем газа, $a$ и $b$ – постоянные, различные для разных газов.
– Критическая температура, критическое давление и критический молярный объем ван-дер-ваальсовского газа:
\[
T_{\mathrm{\kappa}}=\frac{8 a}{27 b R}, p_{\kappa}=\frac{a}{27 b^{2}}, V_{\kappa}=3 b
\]
Примеры решения задач
2.1.1. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T=T_{0}+\alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $\alpha$ положительные постоянные, $V$ – объем одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p$ и $V$.
Решение.
Комбинируя уравнение процесса $T=T_{0}+\alpha V^{2}$ с уравнением состояния идеального газа для одного моля $p V=R T$, получаем уравнение процесса в координатах $p$ и $V$
\[
p=\frac{R T_{0}}{V}+\alpha R V .
\]
Исследуем это выражение на минимум, для чего вычислим производную $d p / d V$ и приравняем ее к нулю:
\[
\frac{d p}{d V}=-\frac{R T_{0}}{V^{2}}+\alpha R=0,
\]
откуда объем $V_{0}$, при котором давление минимально равен $V_{0}=\sqrt{T_{0} / \alpha}$, а наименьшее возможное давление $p_{0}$ идеального газа в рассматриваемом процессе определяется выражением
\[
p_{0}=\frac{R T_{0}}{V_{0}}+\alpha R V_{0}=2 R \sqrt{\alpha T_{0}} .
\]
Ответ: $p_{0}=2 R \sqrt{\alpha T_{0}}$.
2.1.2. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $d T / d h$.
Решение.
Изменение давления связано с изменением высоты известным соотношением $d p=-\rho g d h$, где $\rho$ – плотность газа. С другой стороны, уравнение состояния идеального газа виде
\[
p=\frac{m}{V} \frac{R T}{M}=\frac{\rho R T}{M}
\]
дает
\[
d p=\frac{\rho R d T}{M} .
\]
Поэтому, градиент температуры может быть определен из соотношения
\[
\frac{\rho R d T}{M}=-\rho g d h
\]
или
\[
d T / d h=-M g / R \text {. }
\]
Ответ: $d T / d h=-M g / R$.
2.1.3. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h=0$ давление $p=p_{0}$, а температура изменяется с высотой как а) $T=T_{0}(1-a h)$; б) $T=T_{0}(1+a h)$, где $a$ – положительная постоянная.
Решение.
Комбинируя соотношение $d p=-\rho g d h$ с уравнением состояния идеального газа
\[
p=\frac{m}{V} \frac{R T}{M}=\frac{\rho R T}{M},
\]
получаем дифференциальное уравнение для определения зависимости давления $p$ от высоты $h$
\[
\frac{d p}{p}=-\frac{M g d h}{R T} .
\]
Его решение с учетом начального условия $p=p_{0}$ при $h=0$ дает для случая а) следующую зависимость
\[
p=p_{0}(1-a h)^{\frac{M g}{R T_{0} a}},
\]
а для случая б) получаем соотношение
\[
p=p_{0}(1+a h)^{-\frac{M g}{R T_{0} a}} .
\]
Ответ: а) $p=p_{0}(1-a h)^{\frac{M g}{R T_{0} a}}$;
б) $p=p_{0}(1+a h)^{-\frac{M g}{R T_{0} a}}$.
