Основные формулы
– Если на осциллятор действует вынуждающая сила, которая изменяется по гармоническому закону: $F(t)=F_{0} \cos \omega t$, то колебания описываются дифференциальным уравнением
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+2 \beta \frac{d x}{d t}+\omega_{0}^{2} x=f_{0} \cos \omega t,
\]

где $f_{\mathrm{o}}=F_{0} / m$, остальные обозначения те же, что и в формуле (4.2.2).
– Общим решением неоднородного уравнения (4.3.1) является сумма решений однородного уравнения (4.2.2) (т.е. уравнения, в котором $f(t)=$ 0 ) и частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения дается формулой (4.2.3). С течением времени свободные колебания осциллятора затухают.
– Частное решение неоднородного уравнения имеет вид (его часто называют установившимся решением)
\[
x=a \cos (\omega t-\varphi),
\]

где
\[
a=\frac{f_{0}}{\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}\right]^{1 / 2}},
\]
$\varphi$ – сдвиг между фазами установившегося колебания и вынуждающей силы, который определяется выражением
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{2 \beta \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} .
\]
– Максимум амплитуды смещения достигается при
\[
\omega_{\text {pe } 3}=\left[\omega_{0}^{2}-2 \beta^{2}\right]^{1 / 2}
\]
– Амплитуда смещения при резонансе равна
\[
a_{\mathrm{p} e 3}=\frac{f_{0}}{2 \beta\left[\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right]^{1 / 2}} .
\]

Примеры решения задач
4.3.1. Шарик массы $m$ может совершать незатухающие гармонические колебания около точки $x=0$ с собственной частотой $\omega_{0}$. В момент $t=0$, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему приложили вынуждающую силу $F_{x}=F_{0} \cos \omega$, совпадающую по направлению с осью $x$. Найти:
a) закон вынужденных колебаний шарика $x(t)$,
б) закон движения шарика в случае, если $\omega=\omega_{0}$.
Решение
a) Движение шарика под действием вынуждающей силы описывается уравнением (4.3.1) с коэффициентом затухания $\beta=0$, т.е.
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} x=f_{0} \cos \omega
\]

Общее решение этого уравнения имеет вид
\[
x=a_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\alpha\right)+a \cos (\omega t-\varphi),
\]

где первое слагаемое представляет собой решение уравнения (1) с нулевой правой частью (т. е. однородного уравнения), второе слагаемое – решение неоднородного уравнения (1), где
\[
a=\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}, \quad \varphi=0 .
\]

Неизвестные коэффициенты $a_{0}$ и $\alpha$ определим из начальных условий
\[
\begin{array}{l}
x(0)=a_{0} \cos \alpha+\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}=0, \\
\left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=o}=-a_{0} \omega_{0} \sin \alpha=0 .
\end{array}
\]

Из уравнения (5) следует, что $\alpha=0$. Из уравнения (4) получаем
\[
a_{0}=-\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}{ }^{2}-\omega^{2}\right)} .
\]

Подставляя найденные значения $a_{0}$ и $\alpha$ в уравнение (2), получим искомое решение задачи
\[
x=\frac{F_{0}\left(\cos \omega_{0} t-\cos \omega t\right)}{m\left(\omega^{2}-\omega_{0}{ }^{2}\right)} .
\]
б) Представим $\omega$ в виде $\omega=\omega_{0}+\Delta \omega$ и подставим это выражение в
(6). После простых тригонометрических преобразований получим
\[
x(\mathrm{t})=\frac{F_{0}}{m} \cdot \frac{\cos \omega t-\cos \omega_{0} t \cdot \cos \Delta \omega t+\sin \omega_{0} t \cdot \sin \Delta \omega t}{\left(\omega_{0}+\Delta \omega\right)^{2}-\omega_{0}{ }^{2}} .
\]

Полагая $\Delta \omega$ малым, таким, что $\Delta \omega<<\omega, \omega_{0}$ и $\Delta \omega<<1$, и оставляя в разложении (7) по малым параметрам члены не выше 1 -й степени по $\Delta \omega$ и $\Delta \omega t$, получим
\[
x=\frac{F_{0}}{m} \cdot \frac{\Delta \omega t \cdot \sin \omega_{0} t}{2 \omega_{0} \Delta \omega}=\frac{F_{0} t \cdot \sin \omega_{0} t}{2 m \omega_{0}} .
\]

Таким образом, при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебаний шарика амплитуда колебаний линейно возрастает в зависимости от времени.
Ответ: а) $x=\frac{F_{0}\left(\cos \omega_{0} t-\cos \omega t\right)}{m\left(\omega^{2}-\omega_{0}{ }^{2}\right)}$,
б) $x=\frac{F_{0} t \cdot \sin \omega_{0} t}{2 m \omega_{0}}$.
4.3.2. При частотах вынуждающей гармонической силы $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуды скорости частицы равны между собой. Найти частоту, соответствующую резонансу скорости.
Решение
Смещение частицы при вынужденных гармонических колебаниях определяется формулой (4.3.2). Сначала, используя (4.3.2), найдем частоту, при которой амплитуда скорости имеет максимальное значение. Уравнение для скорости частицы получим, дифференцируя (4.3.2) по времени
\[
V(t)=-a \omega \sin (\omega t-\varphi)=V_{0} \sin (\omega t-\varphi),
\]

где
\[
V_{0}=a \omega=\frac{f_{0} \omega}{\left[\left(\omega^{2}-\omega_{0}{ }^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}\right]^{1 / 2}}
\]
– амплитуда скорости, зависящая от частоты $\omega$. Частота, при которой $V_{0}(\omega)$ имеет максимальное значение, определяется из уравнения
\[
\frac{d V_{0}}{d \omega}=0 .
\]

Решая уравнение (2), находим, что $V_{0}$ достигает максимального значения при $\omega=\omega_{0}$, т.е.
\[
V_{0}\left(\omega_{0}\right)=V_{0}{ }^{\max },
\]

причем
\[
V_{0}^{\max }=\frac{f_{0}}{2 \beta}=\frac{F_{0}}{2 m \beta} .
\]

Мы получили интересный результат: частота, при которой амплитуда смещения достигает максимума (см. (4.3.3)), не совпадает с частотой, при которой максимума достигает скорость частицы.

Далее воспользуемся условием, что амплитуды скорости при частотах $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ равны
\[
\frac{f_{0} \omega}{\left[\left(\omega_{1}{ }^{2}-\omega_{0}{ }^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega_{1}{ }^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{f_{0} \omega}{\left[\left(\omega_{2}{ }^{2}-\omega_{0}{ }^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega_{2}{ }^{2}\right]^{1 / 2}}
\]

Поскольку, в соответствии с (3), максимум амплитуды скорости достигается при $\omega=\omega_{0}$, то из уравнения (5) мы можем определить $\omega_{0}$. Разрешая (5) относительно $\omega_{0}$, получим искомый результат задачи
\[
\omega_{0}=\left[\omega_{1} \omega_{2}\right]^{1 / 2} \text {. }
\]

Ответ: $\omega_{0}=\left[\omega_{1} \omega_{2}\right]^{1 / 2}$.
4.3.3. Под действием внешней вертикальной силы $F_{\mathrm{r}}=F_{0} \cos \omega \boldsymbol{t}$ тело, подвешенное на пружинке, совершает установившиеся вынужденные колебания по закону $x=a \cos (\omega t-\varphi)$. Найти работу силы $F$ за период колебания.
Решение
Элементарная работа силы за период определяется выражением
\[
d A=F_{x} d x,
\]

где
\[
d x=-a \omega \sin (\omega t-\varphi) d t .
\]

Подставляя (2) в (1), получаем
\[
d A=-\left(F_{0} \cos \omega t\right) a \omega \sin (\omega t-\varphi) d t .
\]

Работа за период
\[
A_{\mathrm{T}}=-a \omega F_{0} \int_{0}^{T} \cos \omega t \sin (\omega t-\varphi) d t .
\]

Используя известное тригонометрическое соотношение, получим
\[
A_{\mathrm{T}}=-a \omega F_{0} \int_{o}^{T}[\sin (2 \omega t-\varphi)+\sin (-\varphi)] d t .
\]

Интеграл от первого слагаемого за период равен нулю. В результате получаем окончательно
\[
A_{\mathrm{T}}=\left(a \omega F_{0} T \sin \varphi\right) / 2=\pi a F_{0} \sin \varphi .
\]

Ответ: $A_{\mathrm{T}}=\pi a F_{\mathrm{o}} \sin \varphi$.