Основные формулы
— Векторы обозначены жирным курсивным шрифтом (например $\mathit{r},\mathit{v},\mathit{a}$ ), а их модули — светлым курсивным шрифтом (например $r,v,a$ ).
— Скорость и ускорение частицы:
$$v=\frac{dr}{dt},a=\frac{dv}{dt}.$$

где $\mathit{r}$ — радиус-вектор рассматриваемой частицы.
— Ускорение частицы в проекциях на касательную и нормаль к траектории ее движения:
$$a_{\tau }=\frac{dv}{dt},a_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{R},$$

где $R$ — радиус кривизны траектории в данной точке, $v$ — модуль вектора скорости частицы.
— Путь, пройденный частицей:
$$s=\int vdt,$$

где $v$ — модуль скорости частицы.
— Угловые скорость и ускорение твердого тела:
$$\omega =\frac{d\phi }{dt},\beta =\frac{d\omega }{dt},$$

где $\mathit{\phi }$ — вектор, соответствующий углу поворота тела $\phi$.
— Связь между линейными и угловыми величинами при плоском движении твердого тела:
$$v=v_{\mathrm{O}}+[\omega r]\text{, }$$
$r$ — радиус-вектор рассматриваемой точки тела относительно произвольной точки О тела, $v_{\mathrm{O}}$ — скорость точки $\mathrm{O}$.
— Связь между линейными и угловыми величинами при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:
$$v=[\omega r],a_{\mathrm{n}}={\omega }^{2}R,a_{\tau }=\beta R,$$

где $\mathit{r}$ — радиус-вектор рассматриваемой точки тела относительно произвольной точки, принадлежащей оси вращения, $R$ — расстояние от точки до оси вращения.

Примеры решения задач
1.1.1. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое — под углом $\theta ={60}^{\circ }$ к горизонту. Начальная скорость каждого тела $v_0=25\mathrm{m}/$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через $t_0=1,7\mathrm{c}$.
Решение.
Уравнения движения первого тела, брошенного вертикально вверх, имеют вид:
$$\begin{array}{c}x=0,\\ y=v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2},\end{array}$$

а уравнения движения второго тела
$$\begin{array}{c}x=v_{0}t\cos \theta ,\\ y=v_{0}t\sin \theta -\frac{g{t}^2}{2}.\end{array}$$

К моменту времени $t_0$ первое тело будет в точке с координатами
$$\begin{array}{c}{x}_1=0,\\ y_1=v_0{t}_0-\frac{g{t}_0^2}{2},\end{array}$$

а второе тело — в точке
$$\begin{array}{c}{x}_2=v_0{t}_0\cos \theta ,\\ y_2=v_0{t}_0\sin \theta -\frac{g{t}_0^2}{2}.\end{array}$$

Расстояние $d$ между этими точками равно
$$d={[{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2]}^{1/2}=v_0{t}_0\sqrt{2(1-\sin \theta )}.$$

Используя численные условия задачи, получаем искомое расстояние $d=22$ м.
Ответ: $d=v_0{t}_0\sqrt{2(1-\sin \theta )}=22\mathrm{m}$.

1.1.2. Радиус-вектор частицы меняется со временем $t$ по закону $\mathit{r}=\mathit{b}t(1-\alpha t)$, где $\mathit{b}$ — постоянный вектор, $\alpha$ — положительная постоянная. Найти:
a) скорость $v$ и ускорение $a$ частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени $\mathrm{\Delta }t$, по истечении которого частица вернется
в исходную точку, а также путь, который она пройдет при этом.
Решение
Дифференцируя радиус-вектор частицы $r$ по времени, получаем скорость частицы $v$ в виде
$$v=\frac{dr}{dt}=b(1-2\alpha t),$$

дифференцируя, затем, полученное выражение для скорости частицы $v$ еще раз по времени, приходим к выражению для ускорения
$$a=-2ab\text{. }$$

Из этих выражений видно, что вектор ускорения частицы $a$ постоянен и направлен навстречу ее скорости $v$ и, следовательно, частица движется равнозамедленно. В некоторый момент времени $t_0$ частица достигнет точки поворота, в которой ее скорость $v$ обратится в ноль. Условие $v=0$ определяет время движения частицы до точки поворота
$$t_0=\frac{1}{2\alpha },$$

а радиус-вектор точки поворота $r_0$ найдем подстановкой времени $t_0$ в исходное выражение, определяющее зависимость радиуса-вектора частицы от времени
$${\mathit{r}}_0=\mathit{b}{t}_0(1-\alpha t_0)=\frac{\mathit{b}}{4\alpha }.$$

Так как частица движется по прямой линии (вектор $\mathit{b}=\mathrm{const}$ ), то ее путь до поворота и обратно равен удвоенной длине радиуса-вектора $r_0$ точки поворота. Следовательно, искомый путь равен
$$s=2\left|r_0\right|=\frac{|b|}{2\alpha }.$$

Промежуток времени $\mathrm{\Delta }t$, по истечении которого частица вернется в исходную точку определяется из уравнения
$$r=bt(1-\alpha t)=0,$$

которое имеет два корня $t=0$ и $t=1/\alpha$. Первый корень соответствует моменту старта точки, а второй корень моменту ее возврата в точку старта. Поэтому искомый промежуток времени $\mathrm{\Delta }t$ равен
$$\mathrm{\Delta }t=1/\alpha \text{. }$$

Ответ: а) $v=b(1-2\alpha t);a=-2\alpha b$. б) $\mathrm{\Delta }t=1/\alpha ;s=|b|/2\alpha$
1.1.3. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $a=\alpha \sqrt{v}$, где $\alpha$ положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_0$. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?
Решение
Так как точка движется замедляясь, то дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости точки от времени, имеет вид
$$\frac{dv}{dt}=-\alpha \sqrt{v}.$$

Решение этого уравнения с разделяющимися переменными, с учетом начального условия $v=v_0$ при $t=0$, дает
$$v={(\sqrt{v_0}-\frac{\alpha t}{2})}^2.$$

Время $t_0$ до остановки точки определяется из условия $v=0$, откуда
$$t_0=\frac{2\sqrt{v_0}}{\alpha }.$$

Найдем уравнение движения точки. Для этого направим ось $\mathit{x}$ вдоль прямой, по которой движется точка и составим дифференциальное уравнение ее движения
$$v=\frac{dx}{dt}={(\sqrt{v_0}-\frac{\alpha t}{2})}^2.$$

Решение этого уравнения имеет вид
$$x={\int }_0^t{(\sqrt{v_0}-\frac{\alpha t}{2})}^{2}dt=\frac{2}{3\alpha }[\sqrt{v_0^3}-{(\sqrt{v_0}-\frac{\alpha t}{2})}^3],$$

а координата точки остановки определится подстановкой в это выражение времени движения точки до остановки $t_0$ вместо текущего времени $t$. Путь $s$ пройденный телом до остановки как раз равен этой координате, так как точка вплоть до остановки все время двигалась в одну и ту же сторону. В результате получим
$$s=\frac{2}{3\alpha }\sqrt{v_0^3}.$$

Ответ: $s=\frac{2}{3\alpha }\sqrt{v_0^3};t_0=\frac{2\sqrt{v_0}}{\alpha }$.
1.1.4. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы: a) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности; б) радиус кривизны начала его траектории был в $\eta =8,0$ раз больше, чем в вершине?
Решение
Уравнения движения тела, брошенного со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту (см. рис. 1.1), имеют вид:
$$\begin{array}{c}x=v_{0}t\cos \alpha ,\\ y=v_{0}t\sin \alpha -g{t}^2/2,\end{array}$$

а соответствующие зависимости от времени проекций скорости тела на горизонтальное и вертикальное направление таковы
$$\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{x}}=dx/dt=v_0\cos \alpha \\ v_{\mathrm{y}}=dy/dx=v_0\sin \alpha -gt.\end{array}$$

Условие $v_y=0$ определяет время движения тела до верхней точки траектории
$$t_1=\frac{v_0\sin \alpha }{g},$$

а координата $y$ верхней точки, получаемая при подстановке этого времени
в уравнение движения тела, дает высоту подъема
$$H=\frac{{(v_0\sin \alpha )}^2}{2g}.$$

a) В вершине траектории нормальное ускорение равно $g$, а скорость тела равна $v=v_{\mathrm{x}}=v_0\cos \alpha$, поэтому радиус кривизны траектории определяется выражением $R_1={(v_0\cos \alpha )}^2/g$. По условию задачи $R_{\mathrm{I}}=H$, откуда $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{2}$ и $\alpha =54,8^0$.
б) Найдем радиус кривизны $R_0$ начала траектории движения тела. Как видно из рис. 1.1 нормальное ускорение тела в точке бросания равно $a_{\mathrm{n}}=g\cos \alpha$, поэтому $R_0=v_0^2/(g\cos \alpha )$. Используя выражение для радиуса кривизны траектории в вершине $R_1={(v_0\cos \alpha )}^2/g$ и соотношение $R_0=\eta R_1$, заданное по условию задачи, получаем $\cos \alpha ={\eta }^{-3}=1/2$ и $\alpha ={60}^0$.
Ответ: а) $\alpha =\mathrm{arctg}\sqrt{2}=54,8^0$; б) $\alpha =\arccos {\eta }^{-3}={60}^0$.
1.1.5. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_0$. Благодаря ветру, шар приобретает горизонтальную компоненту скорости $v_{\mathrm{x}}=\alpha y$, где $\alpha$ постоянная, $y$ — высота подъема. Найти зависимость от высоты подъема:
a) величины сноса шара $x(y)$;
б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.
Решение
Найдем уравнения движения шара. Так как по оси $у$ шар движется равномерно со скоростью $v_0$, то координата шара $y$ зависит от времени подъема $t$ по закону $y=v_{0}t$. Зависимость координаты шара $x$ от времени $t$ можно определить из дифференциального уравнения
$$v_{\mathrm{x}}=\frac{dx}{dt}=\alpha y=\alpha v_{0}t,$$

решение которого, с учетом начального условия $x=0$ при $t=0$, имеет вид
$$x=\frac{\alpha v_0{t}^2}{2}.$$

Учитывая, что $t=y/v_0$, определим искомую величину сноса шара $x$ в зависимости от высоты подъема $y$ :
$$x=\frac{\alpha y^2}{2v_0}.$$

Компонента ускорения $a_y=0$, так как по оси $y$ шар движется равномерно. Компоненту ускорения $a_{\mathrm{x}}$ найдем дважды дифференцируя координату $x$ по времени $t$. В результате получим $a_{\mathrm{x}}=\alpha v_0$ и, следовательно, полное ускорение шара равно $a=\sqrt{a_{\mathrm{x}}^2+a_{\mathrm{y}}^2}=\alpha v_0$.
Тангенциальное ускорение шара равно
$$a_{\tau }=\frac{dv}{dt}$$

где $v$ — полная скорость шара определяется выражением
$$v=\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{{\left(\alpha v_{0}t\right)}^2+v_0^2},$$

дифференцируя которое по времени, получаем
$$a_{\tau }=\frac{dv}{dt}=\frac{{\alpha }^2{v}_0^{2}t}{\sqrt{{\left(\alpha v_{0}t\right)}^2+v_0^2}}.$$

Избавляясь от времени с помощью соотношения $t=y/v_0$, получаем зависимость тангенциального ускорения шара от высоты его подъема
$$a_{\tau }=\frac{{\alpha }^{2}y}{\sqrt{1+{\left(\alpha y/v_0\right)}^2}}.$$

Нормальное ускорение шара $a_{\mathrm{n}}$ найдем, учитывая взаимную перпендикулярность векторов ${\mathit{a}}_{\tau }$ и ${\mathit{a}}_{\mathrm{n}}$, по теореме Пифагора:
$$a_{\mathrm{n}}=\sqrt{a^2-a_{\tau }^2}=\frac{\alpha v_0}{\sqrt{1+{\left(\alpha y/v_0\right)}^2}}.$$

Ответ: а) $x=\frac{\alpha y^2}{2v_0}$; б) $a=\alpha v_0,a_{\tau }=\frac{{\alpha }^{2}y}{\sqrt{1+{\left(\alpha y/v_0\right)}^2}},a_{\mathrm{n}}=\frac{\alpha v_0}{\sqrt{1+{\left(\alpha y/v_0\right)}^2}}$.
1.1.6. Точка движется по окружности со скоростью $v=\alpha t$, где $\alpha =0,5\mathrm{m}/{\mathrm{c}}^2$. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет $n=0,1$ длины окружности после начала движения.
Решение
Тангенциальное ускорение частицы равно
$$a_{\tau }=dv/dt=d(\alpha t)/dt=\alpha$$

и остается постоянным. Нормальное ускорение частицы зависит от времени по закону

$$a_{\mathrm{n}}=v^2/R={\alpha }^2{t}^2/R.$$

Найдем время $t_0$, за которое частица пройдет $n$-тую часть окружности. Зависимость пройденного частицей пути $s$ от времени определяется дифференциальным уравнением
$$ds/dt=\alpha t,$$

решение которого имеет вид: $s=\alpha a^2/2$. Поэтому, искомое время $t_0$ находится из условия
$$2\pi Rn=\alpha a_0^2/2,$$

откуда получаем соотношение ${\alpha }^2{t}^2=4\pi Rn\alpha$, подставляя которое в выражение для нормального ускорения, получаем $a_{\mathrm{n}}=4\pi \alpha n$. Полное ускорение в этот момент времени равно
$$a=\sqrt{{\alpha }^2+(4\pi \alpha n{)}^2}=\alpha \sqrt{1+(4\pi n{)}^2}.$$

Подставляя численные значения задачи, получим $a=0,8\mathrm{m}/{\mathrm{c}}^2$.
Ответ: $a=\alpha \sqrt{1+(4\pi n{)}^2}=0,8\mathrm{m}/{\mathrm{c}}^2$.
1.1.7. Частица А движется в одну сторону по траектории (см. рис. 1.2) с тангенциальным ускорением $a_{\tau }=\alpha \tau$, где $\alpha$ — постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью $x$, а $\tau$ — единичный вектор, связанный с частицей $\mathrm{A}$ и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты. Найти скорость частицы в зависимости от $x$, если в точке $x=0$ ее скорость равна нулю.
Решение
Дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости частицы $v$ от времени $t$, имеет вид
$$\frac{dv}{dt}=a_{\tau }.$$

Учитывая, что
$$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}{v}_{\mathrm{x}}=\frac{dv}{dx}v\cos \theta ,$$

где $\theta$ — угол между векторами $\alpha$ и $\tau$, получаем
$$\frac{dv}{dx}v\cos \theta =|\alpha \Vert \tau |\cos \theta$$

или
$$v\frac{dv}{dx}=\alpha .$$

Решение этого дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, с учетом начального условия $x=0$ при $t=0$, дает искомую зависимость скорости частицы от ее координаты
$$v=\sqrt{2\alpha x}\text{. }$$

Ответ: $v=\sqrt{2\alpha x}$.
1.1.8. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол $\phi$ его поворота зависит от времени как $\phi =\beta t^2$, где $\beta =0,20$ рад/ ${\mathrm{c}}^2$. Найти полное ускорение $a$ точки А на ободе колеса в момент $t=2,5\mathrm{c}$, если скорость точки А в этот момент $v=0,65\mathrm{m}/\mathrm{c}$.
Решение.
Угловая скорость вращения колеса $\omega$ в момент времени $t$ равна
$$\omega =\frac{d\phi }{dt}=2\beta t$$

Так как линейная скорость $v$ точки А в этот момент времени связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением $v=\omega R$, то радиус колеса $R$ равен
$$R=\frac{v}{2\beta t},$$

а нормальное ускорение этой точки определяется выражением
$$a_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{R}=2\beta vt.$$

Тангенциальное ускорение точки А в момент времени $t$ равно
$$a_{\tau }=\frac{dv}{dt}=R\frac{d\omega }{dt}=\frac{v}{2\beta t}2\beta =\frac{v}{t}$$

и, следовательно, полное ускорение в этот момент времени имеет вид
$$a=\sqrt{a_{\tau }^2+a_{\mathrm{n}}^2}=\sqrt{(v/t{)}^2+(2\beta vt{)}^2}=(v/t)\sqrt{1+{\left(2\beta t^2\right)}^2}.$$

Используя численные условия задачи, получаем $a=0,7\mathrm{m}/{\mathrm{c}}^2$.

Ответ: $a=(v/t)\sqrt{1+{\left(2\beta t^2\right)}^2}=0,7\mathrm{m}/{\mathrm{c}}^2$.
1.1.9. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением $\beta =\alpha t$, где $\alpha =2,0\times {10}^{-2}$ рад/ ${\mathrm{c}}^3$. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол $\phi ={60}^{\circ }$ с ее вектором скорости?
Решение
Вектор скорости $v$ некоторой точки тела, вращающейся по окружности радиуса $R$, направлен по касательной к этой окружности и, следовательно, коллинеарен вектору тангенциального ускорения $a_{\tau }$ этой точки (см. рис. 1.3). Поэтому, тангенс угла $\phi$ между вектором скорости $v$ и полным ускорением $a$ вращающейся точки равен
$$\mathrm{tg}\phi =\frac{a_{\mathrm{n}}}{a_{\tau }}$$

Тангенциальное ускорение $a_{\tau }$ связано с угловым ускорением $\beta$ известным соотношением $a_{\tau }=\beta R=\alpha tR$.

С другой стороны
$$a_{\tau }=\frac{dv}{dt}$$

и, поэтому, для определения зависимости скорости $v$ от времени $t$ получаем дифференциальное уравнение
$$\frac{dv}{dt}=\alpha R,$$

решение которого имеет вид
$$v=\frac{\alpha R{t}^2}{2}$$
‘ и позволяет определить нормальное ускорение $a_{\mathrm{n}}$ вращающейся точки
$$a_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{R}=\frac{{\alpha }^{2}R{t}^4}{4}\text{. }$$

Искомое выражение для тангенса угла $\phi$ между вектором скорости $v$ и полным ускорением $a$ вращающейся точки имеет вид
$$\mathrm{tg}\phi =\frac{a_{\mathrm{n}}}{a_{\mathrm{t}}}=\frac{\alpha t^3}{4},$$

откуда
$$t=\sqrt[3]{\frac{4\mathrm{tg}\phi }{\alpha }}.$$

Используя численные условия задачи, получаем $t=7\mathrm{c}$.

Ответ: $t=\sqrt[3]{\frac{4\mathrm{tg}\phi }{\alpha }}=7\mathrm{c}$.
1.1.10. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота $\phi$ по закону $\omega ={\omega }_0-a\phi$, где ${\omega }_0$ и $a$ — положительные постоянные. В момент времени $t=0$ угол $\phi =0$. Найти зависимость от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.
Решение
По определению угловой скорости вращения
$$\omega =\frac{d\phi }{dt}$$

и, поэтому, зависимость угла поворота тела $\phi$ определится из дифференциального уравнения
$$\frac{d\phi }{dt}={\omega }_0-a\phi ,$$

которое, с целью разделения переменных интегрирования, перепишем в виде
$$\frac{d\phi }{{\omega }_0-a\phi }=dt.$$

Взяв неопределенный интеграл от левой и правой частей этого уравнения, получаем
$$-\frac{\ln ({\omega }_0-a\phi )}{a}=t+C$$

или
$$\phi =\frac{{\omega }_0-e^{-a(t+C)}}{a},$$

где $C$ — константа интегрирования. Так как при $t=0$ угол $\phi =0$, то
$$e^{-aC}={\omega }_0$$

и, следовательно, искомая зависимость угла поворота тела $\phi$ от времени $t$ имеет вид
$$\phi =\frac{{\omega }_0}{a}(1-e^{-at}),$$

а зависимость угловой скорости $\omega$ от времени $t$ определяется дифференцированием последнего выражения
$$\omega =\frac{d\phi }{dt}={\omega }_0{e}^{-at}.$$

Ответ: а) $\phi (t)=\frac{{\omega }_0}{a}(1-e^{-at})$; б) $\omega (t)={\omega }_0{e}^{-at}$.
1.1.11. Точка А находится на ободе колеса радиуса $R=0,50\mathrm{m}$, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью $v=1,0\mathrm{m}/\mathrm{c}$. Найти:
a) модуль и направление ускорения точки $\mathrm{A}$;
б) полный путь $s$, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.
Решение
Точка колеса А участвует одновременно в двух движениях поступательном со скоростью $v$ и вращательном со скоростью $v_{\text{вр }}$. Так как колесо катится без проскальзывания, то скорость вращения точки А равна скорости поступательного движения колеса, то есть $v_{\text{вр }}=v$. Перемещение колеса происходит с постоянной скоростью, поэтому ускорение точки А определяется центростремительным ускорением вращательного движения $a_{\mathrm{A}}=v^2/R=2,0\mathrm{m}/{\mathrm{c}}^2$.
Направление векторов $v$ и $v_{\text{вр }}$ для некоторого положеңия точки $\mathrm{A}$, определяемого центральным углом $\alpha$, показано на рис. 1.4. Проекции скорости точки А на горизонтальное и вертикальное направление равны
$$\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{Ax}}=v-v\cos \alpha \\ v_{\mathrm{Ay}}=v\sin \alpha ,\end{array}$$

а полная скорость определяется выражением
$$v_{\mathrm{A}}=\sqrt{v_{\mathrm{Ax}}^2+v_{\mathrm{Ay}}^2}=2v|\sin (\alpha /2)|,$$

где $\alpha =\omega t$ и $\omega$ — угловая скорость вращения колеса.
Полный путь, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания поверхности равен
$$s={\int }_0^{2\pi /\omega }{v}_{\mathrm{A}}(t)dt=2v{\int }_0^{2\pi /\omega }\sin (\alpha /2|dt=\frac{2v}{\omega }{\int }_0^{2\pi }\sin (\alpha /2\mid d\alpha =8R.$$

Используя численные данные задачи, получаем $s=4,0$ м.
Ответ: а) $a_{\mathrm{A}}=v^2/R=2,0\mathrm{m}/{\mathrm{c}}^2$, вектор ${\mathit{a}}_{\mathrm{A}}$ направлен все время к центру колеса; б) $s=8R=4,0\mathrm{m}$.
1.1.12. Шар радиуса $R=10\mathrm{cm}$ катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр (точка $\mathrm{C}$ на рис. 1.5) движется с постоянным ускорением $a=2,5\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2$. Через $t=2,0\mathrm{c}$ после начала движения его положение соответствует рисунку. Найти:
a) скорости точек А и В;
б) ускорения точек $\mathrm{A}$ и $\mathrm{O}$.
Решение
Рис. 1.5
Скорость центра шара (точки С) через время $t$ после начала движения равна $v_{\mathrm{C}}=at$ и определяет скорость поступательного движения шара в этот момент времени. Каждая точка на поверхности шара участвует одновременно в двух движениях поступательном со скоростью $v_{\mathrm{C}}$ и вращательном со скоростью $v_{\text{вр }}$. В частности, точка шара $O$ тоже участвует в двух движениях с направлением соответствующих скоростей, показанных на рис. 1.6.
Так как полная скорость точки О равна
Рис. 1.6 нулю (шар не проскальзывает), то $v_{\text{вр }}=v_{\mathrm{C}}$. Скорость точки А будет равна сумме $v_{\mathrm{A}}=v_{\mathrm{Bp}}+v_{\mathrm{C}}=2v_{\mathrm{C}}=2at$, а скорость точки В найдем по теореме Пифагора
$v_{\mathrm{B}}=\sqrt{v_{\mathrm{C}}^2+v_{\mathrm{Bp}}^2}=\sqrt{2}at$. Используя численные условия задачи, получаем $v_{\mathrm{A}}=10\mathrm{cm}/\mathrm{c}$ и $v_{\mathrm{B}}=7\mathrm{cm}/\mathrm{c}$.

Полное ускорение точки А шара равно векторной сумме трех векторов: вектора ускорения поступательного движения $\mathit{a}$, вектора тангенциального ускорения вращательного движения $a_{\tau }$ (оба этих вектора направлены по касательной к шару) и вектора центростремительного ускорения вращательного движения $a_n$ (см. рис. 1.7). По определению $a_{\tau }=d{v}_{\text{вр }}/dt$ и, следовательно, $a_{\tau }=a$. Поэтому, полное касательное ускорение точки А равно $2a$.
Рис. 1.7 Нормальное ускорение вращательного движения точки А равно $a_{\mathrm{n}}={\left(v_{\mathrm{в}\mathrm{p}}\right)}^2/R=(at{)}^2/R$. Полное ускорение точки А найдем по теореме Пифагора
$$a_A=\sqrt{(2a{)}^2+{\left(\frac{(at{)}^2}{R}\right)}^2}=2a\sqrt{1+{\left(\frac{a{t}^2}{2R}\right)}^2}.$$

Для точки шара $\mathrm{O}$ направление векторов ускорения поступательного движения $\mathit{a}$, тангенциального ускорения вращательного движения ${\mathit{a}}_{\tau }$ и вектора центростремительного ускорения вращательного движения ${\mathit{a}}_{\text{n }}$ показано на рисунке 1.7. Так как $a_{\tau }=a$, то полное касательное ускорение точки О равно нулю и, следовательно, полное ускорение точки О равно нормальному ускорению этой точки, то есть
$$a_{\mathrm{O}}=a_{\mathrm{n}}=(at{)}^2/R\text{. }$$

Используя численные условия задачи, находим $a_{\mathrm{A}}=5,6\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2$ и $a_{\mathrm{O}}=2,5\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2$.
Ответ: а) $v_{\mathrm{A}}=2at=10\mathrm{cm}/\mathrm{c};v_{\mathrm{B}}=\sqrt{2}at=7\mathrm{cm}/\mathrm{c};$ б) $a_{\mathrm{A}}=2a\sqrt{1+{\left(\frac{a{t}^2}{2R}\right)}^2}$ $=5,6\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2;a_{\mathrm{O}}=\frac{(at{)}^2}{R}=2,5\mathrm{cm}/{\mathrm{c}}^2$.
1.1.13. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра равен $r$. Найти радиусы кривизны траекторий точек А и В (см. рис. 1.5).

Решение
Полная скорость точки А цилиндра в некоторый момент времени равна удвоенной мгновенной скорости центра цилиндра С в этот момент, то есть $v_{\mathrm{A}}=2v_{\mathrm{C}}$ (смотри решение предыдущей задачи). Полная скорость точки А направлена по касательной к траектории движения этой точки.

Найдем нормальное ускорение точки А для этой траектории, то есть компоненту полного ускорения точки А перпендикулярную направлению полной скорости точки А цилиндра. Полное ускорение точки А равно векторной сумме трех векторов: вектора мгновенного ускорения поступательного движения $\mathit{a}$, вектора тангенциального ускорения вращательного движения ${\mathit{a}}_{\tau }$ (оба этих вектора направлены по касательной к цилиндру) и вектора центростремительного ускорения вращательного движения ${\mathit{a}}_{\mathrm{n}}$ (см. рис. 1.7). Из этих трех векторов только ${\mathit{a}}_{\mathrm{n}}$ дает отличную от нуля проекцию на нужное направление. Эта проекция равна длине вектора ${\mathit{a}}_{\mathrm{n}}$, то есть $a_{\mathrm{n}}={\left(v_{\mathrm{C}}\right)}^2/r$.

С другой стороны, полная скорость точки А и нормальное ускорение к траектории точки А связаны известным соотношением $a_{\mathrm{n}}={\left(v_{\mathrm{A}}\right)}^2/R_{\mathrm{A}}$, где $R_{\mathrm{A}}$ — радиус кривизны траектории, откуда
$$R_{\mathrm{A}}=\frac{v_{\mathrm{A}}^2}{a_{\mathrm{n}}}=\frac{{\left(2v_{\mathrm{C}}\right)}^2}{v_{\mathrm{C}}^2/r}=4r.$$

Аналогично, полная скорость точки В равна $v_{\mathrm{B}}=\sqrt{2}{v}_{\mathrm{C}}$ и направлена под углом ${45}^0$ к направлению вектора $v_{\mathrm{C}}$ (см. решение предыдущей задачи). Полное ускорение точки В равно сумме трех векторов: вектора ускорения поступательного движения $\mathit{a}$, вектора тангенциального ускорения вращательного движения ${\mathit{a}}_{\tau }$ и вектора центростремительного ускорения вращательного движения ${\mathit{a}}_{\mathrm{n}}$ (см. рис. 1.8).
Найдем проекцию этих векторов на направление перпендикулярное вектору скорости точки В. Так как длины векторов $\mathit{a}$ и ${\mathit{a}}_{\tau }$ равны друг другу (см. решение предыдущей задачи), то проекции этих векторов равны и противоположны по знаку. Следовательно проекция полного ускорения точки В на нужное направление равна $a_{\mathrm{n}}\cos {45}^{\circ }=a_{\mathrm{n}}/\sqrt{2}$. Это и есть ускорение точки В нормальное к траектории ее движения (перпендикулярное вектору $v_{\mathrm{B}}$ ). Поэтому, радиус кривизны траектории точки В равен
$$R_{\mathrm{B}}=\frac{v_{\mathrm{B}}^2}{a_{\mathrm{n}}/\sqrt{2}}=\frac{2v_{\mathrm{C}}^2}{v_{\mathrm{C}}^2/(r\sqrt{2})}=2r\sqrt{2}.$$

Ответ: $R_{\mathrm{A}}=4r;R_{\mathrm{B}}=2r\sqrt{2}$.
1.1.14. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями ${\omega }_1=3,0$ рад/с и ${\omega }_2=4,0$ рад/с. Найти угловую скорость и угловое ускорение одного тела относительно другого.
Решение
Перейдем во вращающуюся систему отсчета, связанную с первым телом. В этой системе отсчета второе тело участвует одновременно в двух движениях: вращении с вектором угловой скорости — ${\omega }_1$ относительно первой оси и вращении с вектором угловой скорости ${\omega }_2$ относительно второй оси. Так как оси вращения перпендикулярны друг другу, то векторы — ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$, будучи направленными по соответствующим осям вращения, взаимно перпендикулярны. Вектор полной угловой скорости второго тела относительно первого равен $\omega ={\omega }_2-{\omega }_1$, а длина этого вектора может быть найдена по теореме Пифагора: $\omega =\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}$. Используя численные условия задачи, получаем $\omega =5,0$ рад/с.

Угловое ускорение второго тела относительно первого по определению равно
$$\mathit{\beta }=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d{\omega }_2}{dt}-\frac{d{\omega }_1}{dt}.$$

В рассматриваемой системе отсчета вектор ${\omega }_1$ остается неизменным как по величине, так и по направлению и, следовательно, $d{\omega }_1/dt=0$. Вектор ${\omega }_2$ в этой системе отсчета вращается с угловой скоростью ${\omega }_1$ относительно оси, проходящей через вектор ${\omega }_1$, и направлен перпендикулярно этой оси. Рассматривая ${\omega }_2$ как радиус-вектор некоторой точки, расположенной на его конце, приходим к тому, что $d{\omega }_2/dt$ имеет смысл линейной скорости вращения этой точки по окружности с \»радиусом\» ${\omega }_2$, то есть $\left|d{\omega }_2/dt\right|={\omega }_1{\omega }_2$. В результате, угловое ускорение $\beta$ одного тела относительно другого определяется выражением
$$\beta =\left|\frac{d\omega }{dt}\right|=\left|\frac{d{\omega }_2}{dt}\right|={\omega }_1{\omega }_2.$$

Используя численные условия задачи, получаем $\beta =12,0$ рад/. ${\mathrm{c}}^2$.
Ответ: $\omega =\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}=5,0\mathrm{pa}\mathrm{д}/\mathrm{c};\beta ={\omega }_1{\omega }_2=12,0\mathrm{pa}\mathrm{д}/{\mathrm{c}}^2$.
1.1.15. Круглый конус с углом полураствора $\alpha ={30}^{\circ }$ и радиусом основания $R=5,0\mathrm{cm}$ катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис. 1.9. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке $\mathrm{O}$, которая находится на одном уровне с точкой С — центром основания конуса. Скорость точки С равна $v=10,0$ см/с. Найти модули: а) угловой скорости конуса; б) углового ускорения конуса.
Решение
Конус участвует одновременно в двух движениях: вращении вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью ${\omega }_1$ и вращении вокруг оси ОС с угловой скоростью ${\omega }_2$. Направление соответствующих векторов показано на рис. 1.9. При этом, точка С движется по окружности радиуса $R/\mathrm{tg}\alpha$ с постоянной скоростью $v$, поэтому ${\omega }_1=v\mathrm{tg}\alpha /R$.
Так как конус катится по горизонтальной плоскости без скольжения, то скорость вращения вокруг оси ОС тех точек основания конуса, которые соприкасаются с плоскостью, равна $v$. Радиус окружности по которой вращаются эти точки равен $R$, поэтому угловая скорость вращения конуса вокруг оси ОС равна ${\omega }_2=v/R$.
a) Принимая во внимание, что векторы ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ взаимно перпендикулярны, получаем для модуля вектора полной угловой скорости конуса $\omega ={\omega }_1+{\omega }_2$ выражение
$$\omega =\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}=\frac{v}{R}\sqrt{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}=\frac{v}{R\cos \alpha }.$$

Используя численные значения задачи, получаем $\omega =2,3$ рад/с.
б) Вектор углового ускорения конуса равен по определению
$$\mathit{\beta }=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d{\omega }_1}{dt}+\frac{d{\omega }_2}{dt},$$

причем первое слагаемое в этой сумме равно нулю, так как вектор ${\omega }_1$ остается неизменным, как по длине, так и по направлению. Вектор же ${\omega }_2$, оставаясь неизменным по длине, вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ${\omega }_1$ и направлен перпендикулярно этой оси. Рассматривая ${\omega }_2$ как радиус-вектор некоторой точки, расположенной на его конце, приходим к выводу, что $d{\omega }_2/dt$ имеет смысл линейной скорости вращения этой точки по окружности с \»радиусом” ${\omega }_2$, то есть $\left|d{\omega }_2/dt\right|={\omega }_1{\omega }_2$. В результате, угловое ускорение $\beta$ конуса определяется выражением
$$\beta ={\omega }_1{\omega }_2=(v/R{)}^2\mathrm{tg}\alpha ,$$

откуда $\beta =2,3$ рад/ ${\mathrm{c}}^2$.
Ответ: а) $\omega =v/(R\cos \alpha )=2,3$ рад/c; б) $\beta =(v/R{)}^2\mathrm{tg}\alpha =2,3$ рад $/{\mathrm{c}}^2$.