Основные формулы
– Закон Био-Савара-Лапласа:
\[
d \boldsymbol{B}=\begin{array}{l}
\mu_{0} I[d \boldsymbol{l}, \boldsymbol{r}] \\
4 \pi r^{3}
\end{array}
\]
– Циркуляция вектора $B$ в вакууме и теорема Гаусса для него:
\[
\int \boldsymbol{B} d \boldsymbol{l}=\mu_{0} I, \int \boldsymbol{B} d \boldsymbol{S}=0
\]
– Сила Ампера:
\[
d \boldsymbol{F}=I[d \boldsymbol{l}, \boldsymbol{B}]
\]
– Циркуляция намагниченности:
\[
\oint J d l=I^{\prime}
\]
– Вектор $\boldsymbol{H}$ и его циркуляция:
\[
\boldsymbol{H}=\boldsymbol{B} / \mu_{0}-\boldsymbol{J}, \quad \int \boldsymbol{H} \boldsymbol{d} \boldsymbol{l}=\boldsymbol{I}
\]
– Условия на границе раздела двух магнетиков:
\[
B_{1 \mathrm{n}}=B_{2 \mathrm{n}}, H_{1 \tau}=H_{2 \tau}, \quad J_{2 \tau}-J_{1 \tau}=i_{\text {пов }}^{\prime}
\]
– Для магнетиков, у которых $\boldsymbol{J}=\chi \boldsymbol{H}$ :
\[
\boldsymbol{B}=\mu \mu_{0} \boldsymbol{H}, \mu=1+\chi
\]
Примеры решения задач
3.5.1. Ток $I$ течет вдоль длинной тонкостенной трубы радиуса $R$, имеющей по всей длине продольную прорезь ширины $h$. Найти индукцию магнитного поля внутри трубы, если $h \ll R$.
Решение
Из теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции следует, что внутри трубы без прорези магнитная индукция равна нулю. Таким образом, индукция в трубе с прорезью равна по абсолютной величине индукции, создаваемой током, текущим бы по вырезанной части трубы. Эту индукцию найдем по теореме о циркуляции. Ток, который тек бы по вырезанной части трубы, равен $I_{1}=I h / 2 \pi R$, где $R$ – расстояние от точки наблюдения до прорези. В этом случае теорема о циркуляции (3.5.2) принимает вид: $2 \pi R B=\mu_{0} I_{1}$. Отсюда находим $B=\mu_{0} I h / 4 \pi^{2} R^{2}$.
Ответ: $B=\mu_{0} I h / 4 \pi^{2} R^{2}$.
3.5.2. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного:
a) по плоскости с линейной плотностью $i$;
б) по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями $i$ и $-i$.
Решение
Для определения магнитной индукции воспользуемся теоремой о циркуляции. Выберем замкнутый контур в виде прямоугольника, перпендикулярного плоскости и току $i$, с основаниями длины $l$, параллельными плоскости и расположенными симметрично по обе стороны от нее. Из симметрии задачи следует, что вектор магнитной индукции должен быть параллелен плоскости и перпендикулярен $i$. Запишем теорему о циркуляции: $2 l B=\mu_{0} i l$, отсюда $B=\mu_{0} i / 2$.
В случае двух плоскостей индукция между ними удваивается и равна $B=\mu_{0} i$. Вне плоскостей индукция равна нулю.
Ответ: а) $B=\mu_{0} i / 2$; б) $B=\mu_{0} i$; $B=0$ вне плоскостей.
3.5.3. По однородному прямому проводу, радиус сечения которого $R$, течет постоянный ток плотности $j$. Найги индукцию магнитного поля этого тока в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиус-вектором $r$. Магнитная проницаемость всюду равна единице.
Решение
Линии магнитной индукции представляют собой окружности с центрами, лежащими на оси провода и перпендикулярные ей. Теорема о циркуляции для индукции $B_{\mathrm{i}}$ внутри и $B_{\mathrm{e}}$ вне провода имеет вид:
\[
2 \pi r B_{\mathrm{i}}=\mu_{0} j \pi r^{2}, \quad 2 \pi r B_{\mathrm{e}}=\mu_{0} j \pi R^{2} .
\]
Отсюда получим искомые значения индукций, которые представим в векторном виде $\boldsymbol{B}_{\mathrm{i}}=\mu_{0}[\boldsymbol{j r}] / 2, \boldsymbol{B}_{\mathrm{e}}=\mu_{0}[\boldsymbol{j r}] R^{2} / 2 r^{2}$.
Ответ: $\boldsymbol{B}_{\mathrm{i}}=\mu_{0}[\boldsymbol{j r}] / 2, \boldsymbol{B}_{\mathrm{e}}=\mu_{0}[\boldsymbol{j r}] R^{2} / 2 r^{2}$.
3.5.4. Найти плотность тока как функцию расстояния $r$ от оси аксиально-симметричного параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля внутри потока зависит от $r$ как $B=b r^{\alpha}$, где $b$ и $\alpha$-положительные постоянные.
Решение
Из теоремы о циркуляции вектора $\boldsymbol{B}$ найдем силу тока, протекающего по цилиндру радиуса $r$ :
\[
I(r)={ }_{\mu_{0}}^{2 \pi b} r^{\alpha+1} .
\]
Отсюда ток, протекающий через кольцевой слой радиуса $r$ и толщины $d r$ равен:
\[
d I={ }_{\mu_{0}}^{2 \pi b}(\alpha+1) r^{\alpha} d r .
\]
С другой стороны $d I=2 \pi r j \cdot d r$. Отсюда найдем плотность тока
\[
j=\begin{array}{c}
b(\alpha+1) r^{\alpha-1} \\
\mu_{0}
\end{array} .
\]
Ответ: $j=\begin{array}{c}b(\alpha+1) r^{\alpha-1} \\ \mu_{0}\end{array}$.
3.5.5. На деревянный тороид малого поперечного сечения намотано равномерно $N$ витков провода, по которому течет ток $I$. Найти отношение $\eta$ индукции магнитного поля внутри тороида к индукции в центре тороида.
Решение
Индукцию на оси тороида найдем с помощью теоремы о циркуляции $2 \pi R B_{0}=\mu_{0} N I$, где $R-$ радиус оси тороида:
\[
B_{0}=\mu_{0} N I / 2 \pi R \text {. }
\]
Поскольку ток подходит к тороиду и отходит от него в одной и той же точке, вдоль оси тороида также течет ток $I$. Таким образом индукция в центре тороида будет такой же, как от кольцевого тока радиуса $R$. Эту индукцию найдем с помощью закона Био-Савара-Лапласа (3.5.1):
\[
B_{c}=\mu_{0} I / 2 R \text {. }
\]
Отсюда получим искомое отношение $B_{0} / B_{c}=N / \pi$.
Ответ: $B_{0} / B_{c}=N / \pi$.
3.5.6. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка равен $R$, а индукция магнитного поля в его центре $B$.
Решение
Магнитный момент $p_{\mathrm{m}}$ витка равен $I \pi R^{2}$. Ток $I$ найдем с помощью формулы (1) задачи 3.5.5: $I=2 R B / \mu_{0}$. Используя это соотношение, находим магнитный момент $p_{\mathrm{m}}=2 \pi R^{3} B / \mu_{0}$.
Ответ: $p_{\mathrm{m}}=2 \pi R^{3} B / \mu_{0}$.
3.5.7. Непроводящий тонкий диск радиуса $R$, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью $\sigma$, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Найти:
a) индукцию магнитного поля в центре диска;
б) магнитный момент диска.
Решение
Разобьем диск на кольцевые слои радиуса $r$ и толщины $d r$. Заряд такого слоя равен $d q=\sigma 2 \pi r d r$. При вращении диска вдоль слоя течет эффективный ток равный $d I=d q / T=d q \omega / 2 \pi=\sigma \omega r d r$. Вклады этого тока в индукцию в центре кольца и в магнитный момент равны соответственно (см. формулу (1) задачи 3.5.5 и задачу 3.5.6):
\[
d B=\mu_{0} d I / 2 r=\mu_{0} \sigma \omega d r / 2, d p_{\mathrm{m}}=d I \pi r^{2}=\pi \sigma \omega r^{3} d r
\]
Интегрируя эти выражения по $r$ от нуля до $R$, найдем искомые величины индукции магнитного поля в центре диска $B=\mu_{0} \sigma \omega R / 2$ и магнитный момент диска $p_{\mathrm{m}}=\pi \sigma \omega R^{4} / 4$.
Ответ: $B=\mu_{0} \sigma \omega R / 2, p_{\mathrm{m}}=\pi \sigma \omega R^{4} / 4$.
3.5.8. Постоянный ток $I$ течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью $\chi$. Найти:
a) поверхностный молекулярный ток $I_{\text {пов }}^{\prime}$;
б) объемный молекулярный ток $I_{\text {об }}^{\prime}$.
Как эти токи направлены друг относительно друга?
Решение
По теореме о циркуляции для напряженности магнитного поля $2 \pi R H=I$ найдем $H$ внутри провода вблизи его поверхности $(R$ – радиус провода): $\quad H=I / 2 \pi R$. Отсюда определим намагниченность: $J=\chi H=\chi I / 2 \pi R$. Теперь по формуле (3.5.4) найдем объемный молекулярный ток: $I_{\text {об }}^{\prime}=\chi I$. Плотность поверхностного молекулярного тока определим из граничного условия (3.5.6) для $J$ (намагниченность вне провода равна нулю) $i_{\text {пов }}^{\prime}=-J$. Отсюда находим полный поверхностный молекулярный ток: $I_{\text {пов }}^{\prime}=2 \pi R i_{\text {пов }}=\chi I$.
Ответ: а) $I_{\text {пов }}^{\prime}=\chi I$, б) $I_{\text {об }}^{\prime}=\chi I$. Токи направлены навстречу друг другу.
3.5.9. Прямой бесконечно длинный проводник с током $I$ лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$. Найти модуль вектора магнитной индукции во всем пространстве в зависимости от расстояния $r$ до провода. Иметь в виду, что линии вектора $\boldsymbol{B}$ являются окружностями с центром на оси проводника.
Решение
Воспользуемся теоремой о циркуляции (3.5.5) для $H$ (напряженности магнитного поля в верхнем и нижнем полупространствах не равны друг другу): $\pi r\left(H_{1}+H_{2}\right)=I$. С другой стороны $H_{1,2}=B / \mu_{0} \mu_{1,2}$. Отсюда находим индукцию магнитного поля $B=\mu_{0} \mu_{1} \mu_{2} I / \pi r\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right.$.
Ответ: $B=\mu_{0} \mu_{1} \mu_{2} I / \pi r\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right)$.
3.5.10. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца равен $d$, ширина зазора $b$, индукция магнитного поля в зазоре $B$. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти модуль напряженности магнитного поля внутри магнита.
Решение
Напряженность магнитного поля в зазоре равна $H_{\mathrm{e}}=B / \mu_{0}$. Поскольку сторонние токи отсутствуют, циркуляция $H$ по замкнутому контуру равна нулю. Выберем контур в виде окружности, совпадающей с осью кольца. Имеем: $H_{\mathrm{e}} b+H_{\mathrm{i}}(\pi d-b)=0$. Отсюда, пренебрегая толщиной зазора по сравнению с длиной кольца, найдем напряженность поля внутри магнита: $H_{\mathrm{i}} \approx-B b / \mu_{0} \pi d$. Интересно отметить, что направления $H_{\mathrm{i}}$ и $B$ противоположны.
Ответ: $H_{\mathrm{i}} \approx-B b / \mu_{0} \pi d$.
