Основные формулы
– Коэффициент прозрачности одномерного потенциального барьера $U(x)$ приближенно вычисляется по формуле

\[
D \approx \exp \left[-\frac{2}{\hbar} \int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \sqrt{2 m(U(x)-E)} d x\right],
\]

где $x_{1}, x_{2}$ – координаты точек, между которыми $U(x)>E$.
– Коэффициент прозрачности $D$ определяет вероятность прохождения частицей потенциального барьера. Коэффициент отражения $R$ определяет вероятность того, что частица после взаимодействия с барьером будет двигаться в противоположном направлении. Сумма указанных вероятностей должна равняться единице, поэтому
\[
R+D=1 \text {. }
\]

Величина $D(R)$ равна отношению плотности потока прошедших (отраженных) частиц к плотности потока падающих на барьер частиц.
Примеры решения задач
7.8.1. Частицы с массой $m$ и энергией $E$ движутся слева на потенциальный барьер (рис.7.4). Найти:
a) коэффициент отражения $R$ этого барьера при $E>U_{0}$;
б) эффективную глубину проникновения частиц в область $x>0$ при $E<U_{0}$, т.е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в $e$ раз.
Решение
При $x<0$ решение уравнения Шредингера (7.6.2) имеет вид
\[
\psi(x)=a_{1} e^{i k_{1} x}+b_{1} e^{-i k_{1}{ }^{2}},
\]

где $k_{1}=\sqrt{2 m E} / \hbar$, а коэффициенты $a_{1}$ и $b_{1}$ являются комплексными амплитудами падающей и отраженной волн соответственно.

Отношение квадрата модуля амплитуды отраженной волны $\left|b_{1}\right|^{2}$ к квадрату модуля амплитуды падающей волны $\left|a_{1}\right|^{2}$ определяет коэффициент отражения $R$, т.е.

\[
R=\left|\frac{b_{1}}{a_{1}}\right|^{2} .
\]

При $E>U_{0}$ решение уравнения Шредингера (7.6.2) в области $x>0$ должно иметь вид
\[
\psi(x)=a_{2} e^{i k_{2} x},
\]

где
\[
k_{2}=\frac{\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)}}{\hbar} .
\]

При записи выражения (3) мы учли асимптотическое условие, согласно которому в области больших положительных значений $x$ должна отсутствовать волна, распространяющаяся справа налево (поскольку падающая волна распространяется слева направо, в асимптотической области $x \rightarrow \infty$ рассеянная барьером волна также должна распространяться слева направо). Требования непрерывности волновой функции и ее первой производной в точке $x=0$ приводят к уравнениям: $a_{1}+b_{1}=a_{2}, k_{1}\left(a_{1}-b_{1}\right)=k_{2} a_{2}$, из которых следует, что
\[
R=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{E}-\sqrt{E-U_{0}}}{\sqrt{E}+\sqrt{E-U_{0}}}\right)^{2} .
\]

При $E<U_{0}$ решение уравнения Шредингера в области $x>0$ имеет вид
\[
\psi(x)=a_{2} e^{-\kappa x}+b_{2} e^{\kappa x},
\]

где
\[
\kappa=\frac{\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar} .
\]

Второе слагаемое в правой части (5) неограниченно возрастает при $x \rightarrow \infty$. Поэтому, из требования конечности волновой функции во всем пространстве следует, что $b_{2}=0$.

Таким образом, плотность вероятности нахождения частицы $|\psi(x)|^{2}$ в области $x>0$ уменьшается при увеличении $x$ пропорционально $\exp (-2 \kappa x)$. Следовательно, значение $x_{\text {эфф }}$, при котором плотность вероятности уменьшится в $e$ раз по сравнению с ее значением на границе барьера, равно $1 / 2 \kappa$.

Ответ: а) $R=\left(\frac{\sqrt{E}-\sqrt{E-U_{0}}}{\sqrt{E}+\sqrt{E-U_{0}}}\right)^{2}$ при $E>U_{0} ;$ б) $x_{\text {эфф }}=\frac{\hbar}{2 \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}}$ при $E<U_{0}$.
7.8.2. Воспользовавшись формулой (7.8.1), найти для электрона с энергией $E$ вероятность $D$ прохождения потенциального барьера, ширина которого 1 и высота $U_{0}$, если барьер имеет форму, показанную: а) на рис. 7.5 ; б) на рис. 7.6.
Решение
Для потенциала, изображенного на рис. 7.5, $x_{1}=0, x_{2}=l, U(x)=U_{0}$ при $0<x<l$ и поэтому согласно формуле (7.8.1)
\[
D \approx \exp \left\{-\frac{2}{\hbar} l \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}\right\} .
\]

Для потенциала, изображенного на рис. 7.6, запишем
\[
U(x)=\frac{U_{0}}{l} x \text { при } 0<x<l .
\]

Точка $x_{1}$ в формуле (7.8.1) определяется из условия
\[
E=U\left(x_{1}\right)
\]

откуда, с учетом выражения (2), получаем
\[
x_{1}=\frac{l}{U_{0}} E \text {. }
\]

Верхний предел интегрирования в формуле (7.8.1) при этом равен $x_{2}=l$.
Подставляя выражение (2), в формулу (7.6.1) и принимая во внимание указанные пределы интегрирования, получаем
\[
D \approx \exp \left\{-\frac{4 l \sqrt{2 m}}{3 \hbar U_{0}}\left(U_{0}-E\right)^{3 / 2}\right\} .
\]

Ответ: а) $D \approx \exp \left\{-\frac{2 l}{\hbar} \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}\right\}$; б) $D \approx\left\{-\frac{4 l \sqrt{2 m}}{3 \hbar U_{0}}\left(U_{0}-E\right)^{3 / 2}\right\}$.
7.8.3. Найти с помощью формулы (7.8.1) вероятность $D$ прохождения частицы с массой $m$ и энергией $E$ сквозь потенциальный барьер (рис. 7.7), где $U(x)=U_{0}\left(1-x^{2} / l^{2}\right)$. барьер (рис. 7.7), где $U(x)=U_{0}\left(1-x^{2} /{ }^{2}\right)$.
Решение
Выражение (7.8.1) для данного потенциала можно преобразовать к виду
\[
D \approx \exp \left\{-\frac{4 \sqrt{2 m U_{0}}}{\hbar l} I\right\}
\]

где
\[
I=\int_{0}^{x_{0}} \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} d x, x_{0}=l \sqrt{\left(U_{0}-E\right) / U_{0}}, E<U_{0} .
\]

Вычисление интеграла $I$ приводит к значению $I=\pi x_{0}^{2} / 4$. В результате, для коэффициента прозрачности барьера при $E<U_{0}$ получаем выражение
\[
D \approx \exp \left\{-\frac{\pi l\left(U_{0}-E\right)}{\hbar} \sqrt{\frac{2 m}{U_{0}}}\right\}
\]

Ответ: $D \approx \exp \left\{-\frac{\pi l\left(U_{0}-E\right)}{\hbar} \sqrt{\frac{2 m}{U_{0}}}\right\}$.