Основные формулы
– Энергия фотона
\[
\varepsilon=\hbar \omega=\frac{2 \pi \hbar c}{\lambda},
\]
где $\lambda$ и $\omega$ – длина волны и циклическая частота излучения соответственно, $\hbar$ – постоянная Планка, $c$ – скорость света.
– Импульс фотона
\[
p=\frac{\hbar \omega}{c}=\frac{2 \pi \hbar}{\lambda} .
\]
– Формула Эйнштейна
\[
\varepsilon=\hbar \omega=A+T_{\max },
\]
где $\varepsilon=\hbar \omega$ – энергия фотона, падающего на поверхность металла; $A$ работа выхода электрона из металла; $T_{\max }$ – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
– Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в нерелятивистском и релятивистском случаях выражается различными формулами:
a) если фотоэффект вызван фотоном, имеющим энергию много меньшую энергии покоя электрона (т.е $\hbar \omega<<m c^{2} \cong 0.51 \mathrm{M}$ э ), где $m-$ масса электрона, $c$ – скорость света), то можно воспользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии электрона
\[
T_{\max }=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2},
\]
где $v_{\max }$-максимальная скорость фотоэлектрона;
б) если фотоэффект вызван фотоном, обладающим энергией порядка или больше энергии покоя электрона (т.е $\hbar \omega \geq m c^{2} \cong 0.51 \mathrm{M}$ эВ), то следует пользоваться релятивистским выражением для кинетической энергии фотоэлектрона
\[
T_{\max }=m c^{2}(\gamma-1),
\]
где
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad \beta=\frac{v_{\max }}{\mathrm{c}} .
\]
– Красная граница фотоэффекта
\[
\lambda_{0}=\frac{2 \pi \hbar c}{A} \text { или } \omega_{0}=\frac{A}{\hbar},
\]
где $\lambda_{0}$ – максимальная длина волны излучения, $\omega_{0}$ – минимальная циклическая частота, при которой еще возможен фотоэффект.
– Средняя плотность потока фотонов < $j>$ (т.е. среднее число фотонов, пролетающих в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению движения фотонов) и концентрация фотонов $n$ (среднее число фотонов в единице обьёма) связаны между собой соотношением
\[
<j>=\text { cn. }
\]
Примеры решения задач
7.1.1. Точечный изотропный источник испускает свет с $\lambda=589$ нм. Световая мощность источника $P=10$ Вт. Найти:
a) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии $r=2,0$ м от источника;
б) расстояние от источника до точки, где средняя концентрация фотонов $n=100 \mathrm{~cm}^{-3}$.
Решение
Найдем, прежде всего, число фотонов, испускаемых источником в единицу времени $d N / d t$. Из определения мощности источника и формулы (7.1.1) следует, что
\[
\frac{d N}{d t}=\frac{P}{\hbar \omega}=\frac{P \lambda}{2 \pi \hbar c} .
\]
Окружим точечный источник сферической поверхностью радиуса $r$. Очевидно, что число фотонов, пролетающих через эту поверхность в единицу времени, равно $d N / d t$. Поэтому из определения плотности потока фотонов и формулы (1) находим
\[
<j>=\frac{1}{4 \pi r^{2}} \frac{d N}{d t}=\frac{P \lambda}{8 \pi^{2} \hbar c r^{2}} .
\]
Если выражение (2) поделить на скорость света, то согласно формуле (7.1.7), получим концентрацию фотонов на расстоянии $r$ от источника. Таким образом, расстояние $r$, на котором имеется заданная концентрация фотонов, определяется выражением
\[
r=\frac{1}{2 \pi c} \sqrt{\frac{P \lambda}{2 \hbar n}} .
\]
Подставляя в формулы (2), (3) численные значения величин, получаем
\[
<j>=6 \times 10^{17} \mathrm{M}^{-2} \mathrm{c}^{-1}, \quad r=9 \mathrm{M}
\]
Ответ: $\langle j\rangle=\frac{1}{4 \pi r^{2}} \frac{d N}{d t}=\frac{P \lambda}{8 \pi^{2} \hbar c r^{2}}=6 \times 10^{17} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{c}^{-1}$;
\[
r=\frac{1}{2 \pi c} \sqrt{\frac{P \lambda}{2 \hbar n}}=9 \mathrm{M} .
\]
7.1.2. Короткий импульс света с энергией $E=7,5$ Дж в виде узкого почти параллельного пучка падает на зеркальную пластинку с коэффициентом отражения $\rho=0,60$. Угол падения $v=30^{\circ}$. Определить с помощью корпускулярных представлений импульс, переданный пластинке.
Решение
Пусть $N$ – число фотонов в импульсе света с полной энергией $E$. Согласно формуле (7.1.2) полный импульс налетающих фотонов равен
\[
\mathrm{p}=N \frac{\hbar \omega}{c} \mathrm{n}=\frac{E}{c} \mathrm{n},
\]
где $\mathrm{n}$ – единичный вектор в направлении движения налетающих фотонов. От зеркальной пластинки с коэффициентом отражения $\rho$ отразится $N^{\prime}=\rho N$ фотонов. Их общий импульс определяется выражением
\[
\mathrm{p}^{\prime}=N^{\prime} \frac{\hbar \omega}{c} \mathrm{n}^{\prime}=\rho \frac{E}{c} \mathrm{n}^{\prime},
\]
где $\mathrm{n}^{\prime}$ – единичный вектор в направлении движения отраженных фотонов. Импульс, переданный пластине, равен
\[
\Delta \mathrm{p}=\mathrm{p}-\mathrm{p}^{\prime}=\frac{E}{c}\left(\mathrm{n}-\rho \mathrm{n}^{\prime}\right) .
\]
Модуль импульса, переданного пластине, найдем, возводя выражение (3) в квадрат
\[
|\Delta \mathrm{p}|^{2}=\frac{E^{2}}{c^{2}}\left(1+\rho^{2}-2 \rho \cos \varphi\right),
\]
где $\varphi$-угол между векторами $\mathrm{n}$ и $\mathrm{n}^{\prime}$. Как видно из рис.7.1, $\varphi=\pi-2 \vartheta$. Учитывая, что $\cos \varphi=-\cos 2 \vartheta$, окончательно получаем
\[
|\Delta \mathrm{p}|=\frac{E}{c} \sqrt{1+\rho^{2}+2 \rho \cos 2 v} .
\]
Подставляя в это выражение численные значения величин, находим $|\Delta \mathrm{p}|=35 \mathrm{нH} \cdot \mathbf{c}$.
Ответ: $|\Delta \mathrm{p}|=\frac{E}{c} \sqrt{1+\rho^{2}+2 \rho \cos 2 \vartheta}=35 \mathrm{нH} \cdot \mathrm{c}$.
7.1.3. Найти длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость электронов, подлетающих к антикатоду трубки, $v=0,85 c$, где $c$ – скорость света.
Решение
Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра $\lambda_{\min }$ вычисляется по формуле
\[
\lambda_{\min }=\frac{2 \pi c}{\omega_{\max }}
\]
с учетом условия, что вся кинетическая энергия электрона $T$, подлетающего к антикатоду трубки, трансформируется в энергию излучения, т.е. $\hbar \omega_{\max }=T$, и следовательно
\[
\lambda_{\min }=\frac{2 \pi c \hbar}{T} .
\]
Поскольку по условию задачи скорость электронов не мала по сравнению со скоростью света, для вычисления кинетической энергии электрона $T$ следует воспользоваться релятивистским выражением (7.1.5). В результате получаем
\[
\lambda_{\min }=\frac{2 \pi \hbar}{m c(\gamma-1)} \text {, }
\]
где
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}} .
\]
Подставляя численное значение скорости электрона, находим $\lambda_{\min }=2,8$ пм.
Ответ: $\lambda_{\min }=\frac{2 \pi \hbar}{m c(\gamma-1)}=2,8$ пм, где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}$.
7.1.4. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длинами волн $\lambda_{1}=0,35$ мкм и $\lambda_{2}=0,54$ мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в $\eta=2,0$ раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.
Решение
С помощью формул (7.1.1), (7.1.3), (7.1.4) находим
\[
v_{\max }^{2}=\frac{2}{m}\left(\frac{2 \pi c \hbar}{\lambda}-A\right) \text {, }
\]
где $m$ – масса электрона, $\lambda$ – длина волны падающего излучения. Вычисляя отношение максимальных скоростей электронов, соответствующих длинам волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$
\[
\frac{v_{1 \max }}{v_{2 \max }}=\eta
\]
получаем уравнение
\[
\frac{2 \pi c \hbar}{\lambda_{1}}-A=\eta^{2}\left(\frac{2 \pi c \hbar}{\lambda_{2}}-A\right),
\]
из которого находим
\[
A=\frac{2 \pi c \hbar\left(\eta^{2} \lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}{\lambda_{1} \lambda_{2}\left(\eta^{2}-1\right)} .
\]
Подставляя численные значения величин, имеем $A=1,9$ эВ.
Ответ: $A=\frac{2 \pi c \hbar\left(\eta^{2} \lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}{\lambda_{1} \lambda_{2}\left(\eta^{2}-1\right)}=1,9$ эВ.
