Основные формулы
– Кривая относительной спектральной чувствительности глаза $V(\lambda)$ (кривая видимости)
Рис. 5.1
При одинаковом потоке энергии электромагнитного излучения зрительно оцениваемая интенсивность света для разных длин волн оказывается разной. Этот факт количественно выражается кривой $V(\lambda)$. Наибольшая чувствительность глаза соответствует $\lambda=0,555$ мкм.
– Для характеристики интенсивности света с учетом его способности вызывать зрительное ощущение вводится световой поток $\Phi$. Для интервала $d \lambda$ световой поток $d \Phi$ определяется как произведение потока энергии $d \Phi$, на соответствующее значение функции $V(\lambda)$ :
\[
d \Phi=V(\lambda) d \Phi_{3} .
\]
– Единицей светового потока является люмен (лм). Из опыта установлено, что при $\lambda=0,555$ мкм световому потоку 1 лм соответствует поток энергии А
\[
\mathrm{A}=0,0016 \mathrm{BT} / \mathrm{M}
\]

Коэффициент А носит название механического эквивалента света.
– Сила света точечного источника (единица измерения – кандела (кд))
\[
I=\frac{d \Phi}{d \lambda}
\]

где $d \Phi$ – световой поток, излучаемый источником в пределах телесного угла $d \Omega$.
– Световой поток
\[
\Phi=\int I d \Omega .
\]
– Единица измерения – люмен (лм): 1 лм $=1$ кд 1 ст (ст – стерадиан).
– Освещенность
\[
E=\frac{d \Phi_{n a d}}{d S},
\]

где $d \Phi_{\text {пад }}$ – световой поток, падающий на поверхность площадью $d S$. Единица измерения – люкс (лк): 1 лк $=1$ лм : $1 \mathrm{~m}^{2}$.
– Светимость
\[
M=\frac{d \Phi_{u c n}}{d S},
\]

где $d \Phi_{\text {исп }}$ – световой поток, испускаемый площадкой $d S$ во всех направлениях по одну сторону от площадки. Единица измерения люмен на квадратный метр (лм/м²).
– Яркость
\[
L=\frac{d \Phi}{\Delta S d \Omega \cos \theta}=\frac{I}{\Delta S \cos \theta},
\]

где $d \Phi$ – световой поток, посылаемый площадкой $d S$ в телесный угол $d \Omega, \theta$ – угол между нормалью к площадке и направлением излучения; величина $d S \cos \theta$ представляет собой видимую поверхность площадки $d S$ в направлении излучения. Единица измерения – кандела на квадратный метр (кд/ $\mathrm{M}^{2}$ ). Источник света, яркость $L$ которого не зависит от направления, носит название ламбертовского источника.
– Для ламбертовского источника справедливо соотношение
\[
M=\pi L
\]

Примеры решения задач
5.1.1. Точечный изотропный источник испускает световой поток $\Phi=10$ лм с длиной волны $\lambda=0.59$ мкм. Найти амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей этого светового потока на расстоянии $r=1$ м от источника. Воспользоваться рисунком 5.1.

Решение
Световой поток $\Phi$ и поток энергии $\Phi_{\text {э }}$ согласно (5.1.1.) и (5.1.2) связаны между собой соотношением
\[
\Phi_{\supset}=\frac{\Phi A}{V(\lambda)},
\]

где $\Phi_{3}$ выражается в ваттах, а $\Phi$ – в люменах. В соответствии с рис. 5.1 при $\lambda=0,59$ мкм $V(\lambda)=0,72$.

Плотность потока энергии (среднее значение вектора Пойнтинга $S$ ) на расстоянии $\mathrm{r}$ от точечного источника (сферическая волна) равна
\[
<S>=\frac{\Phi_{3}}{4 \pi r^{2}} .
\]

Величина <S> выражается через амплитуды напряженности электрического и магнитного полей следующим образом (см., например, задачу (4.5.2)):
\[
<S>=\frac{1}{2} E_{m} H_{m}
\]

В вакууме (см. (4.5.4))
\[
H_{m}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} E_{m} .
\]

Следовательно
\[
\langle S\rangle=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} E_{m}{ }^{2}=\frac{\Phi A}{V(\lambda) 4 \pi r^{2}}
\]

Отсюда получаем
\[
E_{m}^{2}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} \frac{2 \Phi A}{4 \pi r^{2} V(\lambda)} .
\]

Подставляя в (2) значения $\varepsilon_{0}=8,85 \Phi / \mathrm{M}, \quad \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \Gamma_{\mathrm{H}} / \mathrm{m}$, $\mathrm{A}=0,0016 \mathrm{~B} / л$ и и используя формулу (1), получаем
\[
E_{m}=1,1 \mathrm{~B} / \mathrm{M}, \quad H_{m}=3 \mathrm{MA} / \mathrm{m} .
\]

Ответ: $E_{m}=1,1 \mathrm{~B} / \mathrm{m}, \quad H_{m}=3 \mathrm{~mA} / \mathrm{m}$.
5.1.2. Определить светимость поверхности, яркость которой зависит от направления по закону $L=L_{0} \cos \theta$, где $\theta$ – угол между направлением излучения и нормалью к поверхности.

Решение
Светимость М определяется как световой поток испускаемый поверхностью единичной площади во всех направлениях. Поверхность единичной площади с яркостью $L(\theta)$ излучает в телесный угол $d \Omega$ световой поток $d \Phi$
\[
d \Phi=L(\theta) \cos \theta d \Omega .
\]

Полный поток, испускаемый площадкой, равен
\[
\Phi=M=\int_{\Omega} L(\theta) \cos \theta d \Omega,
\]

где интегрирование ведется по полупространству с одной стороны от площадки.

По условию задачи $L=L_{0} \cos \theta, d \Omega=\sin \theta d \theta d \varphi$, где $\varphi \quad$ азимутальный угол в сферической системе координат. Далее получаем
\[
\begin{array}{l}
M=\int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} L_{0} \cos ^{2} \theta \sin \theta d \theta= \\
2 \pi L_{0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \theta(-d \cos \theta)=\frac{2 \pi}{3} L_{0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\left(\cos ^{3} \theta\right)=\frac{2 \pi L_{0}}{3}
\end{array}
\]

Ответ: $M=\frac{2 \pi L_{0}}{3}$.
5.1.3. Равномерно светящийся купол, имеющий вид полусферы, опирается на горизонтальную поверхность. Определить освещенность в центре этой поверхности, если яркость купола равна $L$ и не зависит от направления.
Решение
Возьмем на сфере произвольную точку $\mathrm{A}$, положение которой характеризуется углом $\alpha$ между отрезком ОА (см. рис. 5.2) и нормалью к плоскости, где О – центр сферической поверхности. Тогда освещенность $\Delta E$, создаваемая элементарной площадкой $\Delta S_{2}$ вблизи точки А на сферической поверхности в точке $\mathrm{O}$, равна

\[
\Delta E=\frac{\Delta \Phi}{\Delta S_{1}},
\]

где согласно (5.1.7) $\Delta \Phi=L \Delta S_{2} \Delta \Omega$ элементарный световой поток, посылаемый площадкой в телесный угол $\Delta \Omega$, под которым видна из точки А Рис. 5.2 элементарная площадка площадью $\Delta \mathrm{S}_{1}$ вблизи точки О. В выражении для $\Delta \Phi$ мы учли тот факт, что в направлении $\mathrm{AO}$ в формуле (5.1.7) $\theta=0$.
\[
\Delta \Omega=\frac{\sigma}{R^{2}}=\frac{\Delta S_{1} \cos \alpha}{R^{2}},
\]

где $R$ – радиус полусферы, $\sigma=\Delta S_{1} \cos \alpha$ – видимая из точки А площадь элементарной площадки $\Delta S_{1}$. Далее имеем
\[
\Delta E=\frac{L \Delta S_{2} \Delta \Omega}{\Delta S_{1}}=\frac{L \Delta S_{2} \Delta S_{1} \cos \alpha}{\Delta S_{1} R^{2}}=\frac{L \Delta S_{2} \cos \alpha}{R^{2}} .
\]

Для определения полной освещенности в точке О нужно провести интегрированию по поверхности полусферы:
\[
E=\int_{S} \frac{L \cos \alpha d S_{2}}{R^{2}},
\]
$d S_{2}=R^{2} \sin \alpha d \alpha d \varphi$; данном случае $\alpha$ и $\varphi$ – полярный и азимутальный углы сферической системы координат с центром в точке О. С учетом этого получаем
\[
E=\int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} L \cos \alpha \sin \alpha d \alpha=2 \pi L \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \alpha(-d \cos \alpha)=\pi L
\]

Таким образом, освещенность в точке О
\[
E=\pi L \text {. }
\]

Ответ: $E=\pi L$.
5.1.4. Ламбертовский источник имеет вид бесконечной плоскости. Его яркость равна $L$. Найти освещенность площадки, расположенной параллельно данному источнику.

Решение
Так как светящаяся плоскость бесконечна, то в силу симметрии задачи поток световой энергии всюду направлен вдоль нормали к этой плоскости. Построим цилиндр (см. рис. 5.3), опирающийся на площадку площадью $S$, параллельную светящейся плоскости. Ось цилиндра перпендикулярна плоскости.
В соответствии со сказанным, вся энергия, испущенная с торца цилиндра, опирающегося на светящуюся поверхность,
Рис. 5.3 достигнет другого торца цилиндра. Полный световой поток, излученный ламбертовским

источником с площадки $S$ равен
\[
\Phi=M S,
\]

где $M=\pi L$ – светимость источника. Отсюда получаем для искомой освещенности $\mathrm{E}$
\[
E=\frac{\Phi}{S}=\frac{\pi L S}{S} .
\]

Окончательно получаем $E=\pi L$.
Ответ: $E=\pi L$.