Основные формулы
— Закон электромагнитной индукции Фарадея:
$$E_{\mathrm{i}}=-d\mathrm{\Phi }/dt$$
— Индуктивность соленоида:
$$L=\mu {\mu }_0{n}^{2}V$$

— Собственная энергия тока:
$$W=L{I}^2/2$$
— Объемная плотность энергии магнитного поля:
$$w=\mathit{B}\mathit{H}/2$$
— Плотность тока смещения:
$$j_{\mathrm{c}\mathrm{м}}=\partial D/\partial t$$
— Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
$$\begin{array}{ll}\mathrm{rot}\mathit{E}=-\partial \mathit{B}/\partial t,& \mathrm{div}\mathit{B}=0\\ \mathrm{rot}\mathit{H}=\mathit{j}+\partial \mathit{D}/\partial t,& \mathrm{div}\mathit{D}=\rho \end{array}$$
— Сила Лоренца:
$$\mathit{F}=q\mathit{E}+q[\mathit{v}\mathit{B}]$$

Примеры решения задач
3.6.1. Провод, имеющий форму параболы $y=k{x}^2$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости
Рис. 3.8 параболы. Из вершины параболы в момент $t=0$ начали двигать прямолинейную перемычку, параллельную оси $x$. Найти э.д.с. индукции в образовавшемся контуре как функцию $y$, если перемычку перемещают:
а) с постоянной скоростью $v$;
б) с постоянным ускорением $a$, причем в момент $t=0$ скорость перемычки была равна нулю.
Решение
При перемещении перемычки на расстояние $dy$ увеличение площади контура равно $dS=2xdy=2\sqrt{y/k}dy$. Увеличение площади контура приводит к изменению через него магнитного потока и, в свою очередь, к появлению ЭДС индукции, модуль которой равен
$$E_{\mathrm{i}}=B\frac{dS}{dt}=2B\sqrt{\frac{y}{k}}\frac{dy}{dt}$$

В случае а) $y=vt$. Отсюда $E_{\mathrm{i}}=2Bv\sqrt{y/k}$.
В случае б) $y=a{t}^2/2$. Подставляя это соотношение в (1) и выражая $t$ через $y$, получим $E_{\mathrm{i}}=2By\sqrt{2a/k}$.
Ответ: а) $E_{\mathrm{i}}=2Bv\sqrt{y/k}$, б) $E_{\mathrm{i}}=2By\sqrt{2a/k}$.
3.6.2. По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка. Последняя имеет длину $l$ массу $m$ и сопротивление $R$. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярном плоскости проводника. В момент $t=0$ на перемычку стали действовать постоянной горизонтальной силой $F$. Найти зависимость от $t$ скорости перемычки. Самоиндукция и сопротивление Побразного проводника пренебрежимо малы.
Решение
В момент времени, когда скорость перемычки равна $V$, ЭДС индукции равна $BVl$. При этом ток, протекающий в контуре равен $I=BVl/R$. Таким образом на перемычку действует сила Ампера, равная $BlI$, направленная против скорости движения. Перемычка движется под действием внешней силы $F$ и силы Ампера, и ее закон движения имеет вид:
$${}_{dt}^{dV}=F-B^2{l}^{2}V/R.$$

Решая это дифференциальное уравнение стандартным методом разделения переменных с учетом начального условия ( $V=0$ при $t=0$ ), получим зависимость
$$V(t)=\frac{FR}{B^2{l}^2}[1-\exp (-B^2{l}^{2}tlmR)].$$

Ответ: $V(t)=\frac{FR}{B^2{l}^2}[1-\exp (-B^2{l}^{2}t/mR)]$.
3.6.3. В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения $a$ и числом витков на единицу длины $n$ изменяют ток с постоянной скоростью $\dot{I}\mathrm{A}/\mathrm{c}$.

Найти модуль напряженности вихревого электрического поля как функцию расстояния $r$ от оси соленоида.
Решение
Магнитную индукцию внутри соленоида легко найти, используя теорему о циркуляции (3.5.2): $B={\mu }_{0}nI$. Магнитный поток через окружность радиуса $r$ с центром, лежащим на оси соленоида имеет вид:
$$\mathrm{\Phi }=B\pi r^2\text{ (при }r<a),\mathrm{\Phi }=B\pi a^2\text{ (при }r>a\text{ ). }$$

Вихревое электрическое поле найдем, используя закон Фарадея для электромагнитной индукции (3.6.1): $d\mathrm{\Phi }/dt=-2\pi rE$. Отсюда найдем модуль напряженности поля внутри и вне соленоида.
Ответ: $E={\mu }_{0}nr\dot{I}/2$ (при $r<a$ ), $E={\mu }_{0}n{a}^2\dot{I}/2r$ (при $r>a$ ).
3.6.4. Катушку индуктивности $L$ и сопротивления $R$ подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколько времени ток через катушку достигнет $\eta =0,5$ установившегося значения?
Решение
В нашей цепи действуют ЭДС источника постоянного напряжения $E$ и ЭДС самоиндукции. Для определения зависимости тока от времени воспользуемся законом Ома для замкнутой цепи:
$$E-L_{dt}^{dI}=IR$$

Решая это дифференциальное уравнение стандартным методом разделения переменных с учетом начального условия $I=0$ при $t=0$, получим зависимость $I(t)$ :
$$I(t)={}_R^E(1-\exp (-\frac{R}{L}t))$$

Установившееся значение тока равно $E/R$. Отсюда уравнение для определения времени $t$ имеет вид:
$$\eta =1-\exp (-\frac{R}{L}t).$$

Отсюда найдем время $t=-(L/R)\ln (1-\eta )$.
Ответ: $t=-(L/R)\ln (1-\eta )$.

3.6.5. Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего собой два тонкостенных коаксиальных цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в $\eta$ раз больше, чем радиус внутреннего. Магнитную проницаемость среды между цилиндрами считать равной единице.
Решение
Пусть ток в кабеле равен $I$. Тогда напряженность магнитного поля между цилиндрами кабеля определяется с помощью теоремы о циркуляции для вектора $H:H=I/2\pi r$, где $r$ — расстояние от оси кабеля до точки наблюдения. При этом плотность энергии магнитного поля равна $w={\mu }_0{H}^2/2$. Интегрируя это соотношение по объему, заключенному между обкладками кабеля единичной длины, получим заключенную там магнитную энергию:
$$W={\int }_r^{R}2\pi r_{1}wd{r}_1=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi }{\int }_r^R{r}_1=r_4=I^2\ln (R/r).$$

Отсюда, воспользовавшись формулой (3.6.3) и тем, что $\eta =R/r$, найдем индуктивность единицы длины кабеля $L={\mu }_0\ln (\eta )/2\pi$.
Ответ: $L={\mu }_0\ln (\eta )/2\pi$.
3.6.6. Определить индуктивность тороидального соленоида из $N$ витков, внутренний радиус которого равен $b$, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной $a$. Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью $\mu$.
Решение
Напряженность магнитного поля внутри тороида на расстоянии $r$ от его оси найдем, воспользовавшись теоремой о циркуляции (3.5.5). Пусть ток тороида равен $I$. Тогда $2\pi rH=NI$, откуда $H=NI/2\pi r$. Разобьем внутреннее пространство тороида на цилиндрические слои радиуса $r$ и толщиной $dr$. Тогда магнитная энергия, заключенная в таком слое, равна $dW={\mu }_0\mu H^2\pi ardr$. Проинтегрировав это соотношение по $r$ от $b$ до $b+a$, найдем магнитную энергию тороида:

$$W=\frac{{\mu }_0\mu N^2{I}^{2}a}{4\pi }{\int }_b^{b+a}dr/r=\frac{{\mu }_0\mu N^2{I}^{2}a}{4\pi }\ln (1+a/b).$$

Отсюда, воспользовавшись (3.6.3), найдем индуктивность соленоида
$$L=\underset{2\pi }{{\mu }_0\mu N^2}a\ln (1+a/b).$$

Ответ: $L=\frac{{\mu }_0\mu N^2}{2\pi }a\ln (1+a/b)$.
3.6.7. Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. В момент $t=0$ внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти:
a) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент; б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен $q$.
Решение
Построим внутри проводящей среды сферическую оболочку, радиуса $r$, концентрическую проводящим сферам. Тогда электрическая индукция на поверхности оболочки равна $D=q/4\pi r^2$, а ток смещения $j_{\mathrm{cm}}=\partial D/\partial t=(dq/dt)/4\pi r^2$. В то же время, ток равен $I=-dq/dt$, а плотность тока на расстоянии $r$ от центра $j=I/4\pi r^2$. Отсюда получаем, что $j_{\mathrm{cm}}=-j$.

Из теоремы Гаусса для электрической индукции (3.2.3) следует, что ток смещения через произвольную замкнутую поверхность равен $dq/dt=-I$. В то же время $I=4\pi r^{2}j=4\pi r^{2}E/\rho$. Поскольку $E=q/4\pi {\epsilon }_0\epsilon r^2$, то модуль тока смещения равен $I_{\text{см }}=q/{\epsilon }_0\epsilon \rho$.
Ответ: а) $j_{\mathrm{c}\mathrm{м}}=-j$, б) $I_{\text{см }}=q/{\epsilon }_0\epsilon \rho$.
3.6.8. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.
Решение
Для доказательства воспользуемся следующим уравнением Максвелла в интегральной форме: $\int \mathit{H}\mathit{l}\mathit{l}=\int (\mathit{j}+\partial \mathit{D}/d\mathit{t})d\mathit{S}$. Выберем в качестве замкнугого контура окружность радиуса $r$ с центром на оси конденсатора. Тогда вследствие симметрии задачи используемое нами уравнение Максвелла принимает вид:
$$2\pi rH=(j+\partial D/\partial t)\pi r^2.$$

Плотность тока $j=-(dq/dt)/S$, где $S$ — площадь пластин конденсатора. В то же время электрическая индукция внутри конденсатора $D=q/S$. Подставляя соотношения для $j$ и $D$ в (1), получим, что $H=0$.
3.6.9. Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения электрического заряда, т.е. $\mathrm{div}j=-\partial \rho /\partial t$.
Решение
Для доказательства воспользуемся следующими уравнениями Максвелла: $\mathrm{rot}\mathit{H}=\mathit{j}+\partial \mathit{D}/\partial t,\mathrm{div}\mathit{D}=\rho$. Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения и воспользуемся тем, что $\mathrm{div}(\mathrm{rot}\mathit{H})\equiv 0$. Имеем:
$$\mathrm{div}j+\mathrm{div}(\partial D/dt)=0$$

Продифференцируем по времени второе уравнение Максвелла: $\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{div}\mathit{D})=\frac{\partial \rho }{\partial t}$. Поменяв в этом соотношении порядок дифференцирования по координатам и времени и подставив его в (1), получим закон сохранения заряда.
3.6.10. Протон, ускоренный разностью потенциалов $U$, попадает в момент $t=0$ в однородное электрическое поле плоского конденсатора, длина пластин которого в направлении движения равна $l$. Напряженность поля меняется во времени как $E=\epsilon t$, где $\epsilon$ — постоянная. Считая протон нерелятивистским, найти угол между направлениями его движения до и после пролета конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь.
Решение
Выберем систему координат таким образом, чтобы ось $x$ была параллельна пластинам, а ось $y$ — перпендикулярна им. Пусть также протон влетает в конденсатор вдоль оси $x$. Скорость $V_{\mathrm{x}}$, с которой протон влетает в конденсатор, найдем при помощи закона сохранения энергии: $eU=m{V}_{\mathrm{x}}^2/2$, откуда $V_{\mathrm{x}}=(2eU/m{)}^{1/2}$. Эта компонента скорости не будет меняться во время движения протона. Найдем теперь время пролета протона через конденсатор: $\tau =l/V_{\mathrm{x}}$. Ускорение протона вдоль оси $y$ имеет вид: $a_{\mathrm{y}}=e\epsilon t/m$. Интегрируя это соотношение по времени от нуля до $\tau$, найдем компоненту скорости $V_y$, которую будет иметь протон, вылетая из конденсатора: $V_{\text{у }}=e\epsilon {\tau }^2/2m$. Отсюда найдем тангенс угла отклонения $\mathrm{tg}\alpha =V_{\mathrm{y}}/V_{\mathrm{x}}=\epsilon l^2\sqrt{m/32e{U}^3}$.
Ответ: $\mathrm{tg}\alpha =\epsilon l^2\sqrt{m/32e{U}^3}$.
3.6.11. Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $U$, выходит из точки А вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии $l$ от точки А при двух последовательных значениях индукции магнитного поля $B_1$ и $B_2$. Найти удельный заряд $q/m$ частиц.
Решение
Рассмотрим частицу, влетевшую в магнитное поле со скоростью $V$ под углом $\alpha$ к линиям магнитной индукции. В этом случае частица будет двигаться по винтовой линии, ось которой совпадает с направлением вектора магнитной индукции $\mathit{B}$. Шаг винтовой линии равен $h=VT\cos \alpha$, где $T=2\pi m/qB$ — период обращения частицы в магнитном поле. Если $\alpha <<1$, то шаг винтовой линии перестает зависеть от $\alpha .h=2\pi mV/qB$.

Заряженные частицы в слабо расходящемся пучке будут двигаться по винтовым линиям с одинаковым шагом. Следовательно, они будут фокусироваться в тех точках, расстояние от которых до точки А равно целому числу шагов винтовой линии. Соответствующие соотношения для полей $B_1$ и $B_2$ имеют вид:
$$\frac{l}{\left(2\pi mV/q{B}_1\right)}=n,\frac{1}{\left(2\pi mV/q{B}_2\right)}=n+1,$$

где $n$ — целое число. Выражая скорость $V$ через $U$ с помощью соотношения $V=(2qU/m{)}^{1/2}$, решим систему (1) относительно $q/m$. В результате получим
$$\frac{q}{m}=\frac{8{\pi }^{2}U}{l^2{(B_2-B_1)}^2}.$$

Ответ: $\frac{q}{m}=\frac{8{\pi }^{2}U}{l^2{(B_2-B_1)}^2}$.
3.6.12. С поверхности цилиндрического провода радиуса $a$, по которому течет постоянный ток $I$, вылетает электрон с начальной скоростью $v_0$, перпендикулярной к поверхности провода. На какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока?
Решение
Направим ось $x$ декартовой системы координат перпендикулярно оси провода, а ось $y$ — вдоль нее. Рассмотрим заряд, двигающийся в плоскости $xy$. Магнитная индукция поля, создаваемого проводом с током может быть найдена с помощью теоремы о циркуляции (3.5.2) (см. также задачу 3.5.1): $B={\mu }_{0}I/2\pi x$. При движении заряда в магнитном поле его скорость остается неизменной. Поэтому, радиус кривизны траектории электрона в точке на расстоянии $x$ от оси провода найдем, записав уравнение его движения: $m{v}_0^2/R=e{v}_{0}B$. Отсюда
$$R=m{v}_0/eB=\frac{2\pi m{v}_{0}x}{{\mu }_{0}eI}.$$

Пусть $\theta$ — угол между осью $x$ и касательной к траектории. Тогда $dx=Rd\theta \cos \theta$, или $\cos \theta d\theta =dx/R$. Когда координата $x$ меняется от $a$ до максимального расстояния $r_{\mathrm{m}}$, на которое удаляется электрон от оси провода, угол $\theta$ меняется от нуля до $\pi /2$. Поэтому
$${\int }_0^{\pi /2}\cos \theta d\theta ={\int }_a^{r_{\mathrm{m}}}dx/R.$$

Произеедя элементарное интегрирование, получим соотношение:
$$\ln \left(r_{\mathrm{m}}/a\right)=\frac{2\pi m{v}_0}{{\mu }_{0}eI},$$

из которого найдем
$$r_{\mathrm{m}}=a\exp \left(\frac{2\pi m{v}_0}{{\mu }_{0}eI}\right).$$
$$\text{ Ответ: }{r}_{\mathrm{m}}=a\exp \left(\frac{2\pi m{v}_0}{{\mu }_{0}eI}\right)\text{. }$$