Основные формулы
— Закон электромагнитной индукции Фарадея:
\[
E_{\mathrm{i}}=-d \Phi / d t
\]
— Индуктивность соленоида:
\[
L=\mu \mu_{0} n^{2} V
\]

— Собственная энергия тока:
\[
W=L I^{2} / 2
\]
— Объемная плотность энергии магнитного поля:
\[
w=\boldsymbol{B H} / 2
\]
— Плотность тока смещения:
\[
j_{\mathrm{cм}}=\partial D / \partial t
\]
— Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
\[
\begin{array}{ll}
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}=-\partial \boldsymbol{B} / \partial t, & \operatorname{div} \boldsymbol{B}=0 \\
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\partial \boldsymbol{D} / \partial t, & \operatorname{div} \boldsymbol{D}=\rho
\end{array}
\]
— Сила Лоренца:
\[
\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{E}+q[\boldsymbol{v} \boldsymbol{B}]
\]

Примеры решения задач
3.6.1. Провод, имеющий форму параболы $y=k x^{2}$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости
Рис. 3.8 параболы. Из вершины параболы в момент $t=0$ начали двигать прямолинейную перемычку, параллельную оси $x$. Найти э.д.с. индукции в образовавшемся контуре как функцию $y$, если перемычку перемещают:
а) с постоянной скоростью $v$;
б) с постоянным ускорением $a$, причем в момент $t=0$ скорость перемычки была равна нулю.
Решение
При перемещении перемычки на расстояние $d y$ увеличение площади контура равно $d S=2 x d y=2 \sqrt{y / k} d y$. Увеличение площади контура приводит к изменению через него магнитного потока и, в свою очередь, к появлению ЭДС индукции, модуль которой равен
\[
E_{\mathrm{i}}=B \frac{d S}{d t}=2 B \sqrt{\frac{y}{k}} \frac{d y}{d t}
\]

В случае а) $y=v t$. Отсюда $E_{\mathrm{i}}=2 B v \sqrt{y / k}$.
В случае б) $y=a t^{2} / 2$. Подставляя это соотношение в (1) и выражая $t$ через $y$, получим $E_{\mathrm{i}}=2 B y \sqrt{2 a / k}$.
Ответ: а) $E_{\mathrm{i}}=2 B v \sqrt{y / k}$, б) $E_{\mathrm{i}}=2 B y \sqrt{2 a / k}$.
3.6.2. По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка. Последняя имеет длину $l$ массу $m$ и сопротивление $R$. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярном плоскости проводника. В момент $t=0$ на перемычку стали действовать постоянной горизонтальной силой $F$. Найти зависимость от $t$ скорости перемычки. Самоиндукция и сопротивление Побразного проводника пренебрежимо малы.
Решение
В момент времени, когда скорость перемычки равна $V$, ЭДС индукции равна $B V l$. При этом ток, протекающий в контуре равен $I=B V l / R$. Таким образом на перемычку действует сила Ампера, равная $B l I$, направленная против скорости движения. Перемычка движется под действием внешней силы $F$ и силы Ампера, и ее закон движения имеет вид:
\[
{ }_{d t}^{d V}=F-B^{2} l^{2} V / R .
\]

Решая это дифференциальное уравнение стандартным методом разделения переменных с учетом начального условия ( $V=0$ при $t=0$ ), получим зависимость
\[
V(t)=\frac{F R}{B^{2} l^{2}}\left[1-\exp \left(-B^{2} l^{2} t l m R\right)\right] .
\]

Ответ: $V(t)=\frac{F R}{B^{2} l^{2}}\left[1-\exp \left(-B^{2} l^{2} t / m R\right)\right]$.
3.6.3. В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения $a$ и числом витков на единицу длины $n$ изменяют ток с постоянной скоростью $\dot{I} \mathrm{~A} / \mathrm{c}$.

Найти модуль напряженности вихревого электрического поля как функцию расстояния $r$ от оси соленоида.
Решение
Магнитную индукцию внутри соленоида легко найти, используя теорему о циркуляции (3.5.2): $B=\mu_{0} n I$. Магнитный поток через окружность радиуса $r$ с центром, лежащим на оси соленоида имеет вид:
\[
\left.\Phi=B \pi r^{2} \text { (при } r<a\right), \Phi=B \pi a^{2} \text { (при } r>a \text { ). }
\]

Вихревое электрическое поле найдем, используя закон Фарадея для электромагнитной индукции (3.6.1): $d \Phi / d t=-2 \pi r E$. Отсюда найдем модуль напряженности поля внутри и вне соленоида.
Ответ: $E=\mu_{0} n r \dot{I} / 2$ (при $r<a$ ), $E=\mu_{0} n a^{2} \dot{I} / 2 r$ (при $r>a$ ).
3.6.4. Катушку индуктивности $L$ и сопротивления $R$ подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколько времени ток через катушку достигнет $\eta=0,5$ установившегося значения?
Решение
В нашей цепи действуют ЭДС источника постоянного напряжения $E$ и ЭДС самоиндукции. Для определения зависимости тока от времени воспользуемся законом Ома для замкнутой цепи:
\[
E-L_{d t}^{d I}=I R
\]

Решая это дифференциальное уравнение стандартным методом разделения переменных с учетом начального условия $I=0$ при $t=0$, получим зависимость $I(t)$ :
\[
I(t)={ }_{R}^{E}\left(1-\exp \left(-\frac{R}{L} t\right)\right)
\]

Установившееся значение тока равно $E / R$. Отсюда уравнение для определения времени $t$ имеет вид:
\[
\eta=1-\exp \left(-\frac{R}{L} t\right) .
\]

Отсюда найдем время $t=-(L / R) \ln (1-\eta)$.
Ответ: $t=-(L / R) \ln (1-\eta)$.

3.6.5. Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего собой два тонкостенных коаксиальных цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в $\eta$ раз больше, чем радиус внутреннего. Магнитную проницаемость среды между цилиндрами считать равной единице.
Решение
Пусть ток в кабеле равен $I$. Тогда напряженность магнитного поля между цилиндрами кабеля определяется с помощью теоремы о циркуляции для вектора $H: H=I / 2 \pi r$, где $r$ — расстояние от оси кабеля до точки наблюдения. При этом плотность энергии магнитного поля равна $w=\mu_{0} H^{2} / 2$. Интегрируя это соотношение по объему, заключенному между обкладками кабеля единичной длины, получим заключенную там магнитную энергию:
\[
W=\int_{r}^{R} 2 \pi r_{1} w d r_{1}=\frac{\mu_{0} I^{2}}{4 \pi} \int_{r}^{R} r_{1}=r_{4}=I^{2} \ln (R / r) .
\]

Отсюда, воспользовавшись формулой (3.6.3) и тем, что $\eta=R / r$, найдем индуктивность единицы длины кабеля $L=\mu_{0} \ln (\eta) / 2 \pi$.
Ответ: $L=\mu_{0} \ln (\eta) / 2 \pi$.
3.6.6. Определить индуктивность тороидального соленоида из $N$ витков, внутренний радиус которого равен $b$, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной $a$. Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью $\mu$.
Решение
Напряженность магнитного поля внутри тороида на расстоянии $r$ от его оси найдем, воспользовавшись теоремой о циркуляции (3.5.5). Пусть ток тороида равен $I$. Тогда $2 \pi r H=N I$, откуда $H=N I / 2 \pi r$. Разобьем внутреннее пространство тороида на цилиндрические слои радиуса $r$ и толщиной $d r$. Тогда магнитная энергия, заключенная в таком слое, равна $d W=\mu_{0} \mu H^{2} \pi a r d r$. Проинтегрировав это соотношение по $r$ от $b$ до $b+a$, найдем магнитную энергию тороида:

\[
W=\frac{\mu_{0} \mu N^{2} I^{2} a}{4 \pi} \int_{b}^{b+a} d r / r=\frac{\mu_{0} \mu N^{2} I^{2} a}{4 \pi} \ln (1+a / b) .
\]

Отсюда, воспользовавшись (3.6.3), найдем индуктивность соленоида
\[
L=\underset{2 \pi}{\mu_{0} \mu N^{2}} a \ln (1+a / b) .
\]

Ответ: $L=\frac{\mu_{0} \mu N^{2}}{2 \pi} a \ln (1+a / b)$.
3.6.7. Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. В момент $t=0$ внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти:
a) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент; б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен $q$.
Решение
Построим внутри проводящей среды сферическую оболочку, радиуса $r$, концентрическую проводящим сферам. Тогда электрическая индукция на поверхности оболочки равна $D=q / 4 \pi r^{2}$, а ток смещения $j_{\mathrm{cm}}=\partial D / \partial t=(d q / d t) / 4 \pi r^{2}$. В то же время, ток равен $I=-d q / d t$, а плотность тока на расстоянии $r$ от центра $j=I / 4 \pi r^{2}$. Отсюда получаем, что $j_{\mathrm{cm}}=-j$.

Из теоремы Гаусса для электрической индукции (3.2.3) следует, что ток смещения через произвольную замкнутую поверхность равен $d q / d t=-I$. В то же время $I=4 \pi r^{2} j=4 \pi r^{2} E / \rho$. Поскольку $E=q / 4 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon r^{2}$, то модуль тока смещения равен $I_{\text {см }}=q / \varepsilon_{0} \varepsilon \rho$.
Ответ: а) $j_{\mathrm{cм}}=-j$, б) $I_{\text {см }}=q / \varepsilon_{0} \varepsilon \rho$.
3.6.8. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.
Решение
Для доказательства воспользуемся следующим уравнением Максвелла в интегральной форме: $\int \boldsymbol{H} \boldsymbol{l} \boldsymbol{l}=\int(\boldsymbol{j}+\partial \boldsymbol{D} / d \boldsymbol{t}) d \boldsymbol{S}$. Выберем в качестве замкнугого контура окружность радиуса $r$ с центром на оси конденсатора. Тогда вследствие симметрии задачи используемое нами уравнение Максвелла принимает вид:
\[
2 \pi r H=(j+\partial D / \partial t) \pi r^{2} .
\]

Плотность тока $j=-(d q / d t) / S$, где $S$ — площадь пластин конденсатора. В то же время электрическая индукция внутри конденсатора $D=q / S$. Подставляя соотношения для $j$ и $D$ в (1), получим, что $H=0$.
3.6.9. Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения электрического заряда, т.е. $\operatorname{div} j=-\partial \rho / \partial t$.
Решение
Для доказательства воспользуемся следующими уравнениями Максвелла: $\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\partial \boldsymbol{D} / \partial t, \operatorname{div} \boldsymbol{D}=\rho$. Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения и воспользуемся тем, что $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \boldsymbol{H}) \equiv 0$. Имеем:
\[
\operatorname{div} j+\operatorname{div}(\partial D / d t)=0
\]

Продифференцируем по времени второе уравнение Максвелла: $\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{div} \boldsymbol{D})=\frac{\partial \rho}{\partial t}$. Поменяв в этом соотношении порядок дифференцирования по координатам и времени и подставив его в (1), получим закон сохранения заряда.
3.6.10. Протон, ускоренный разностью потенциалов $U$, попадает в момент $t=0$ в однородное электрическое поле плоского конденсатора, длина пластин которого в направлении движения равна $l$. Напряженность поля меняется во времени как $E=\varepsilon t$, где $\varepsilon$ — постоянная. Считая протон нерелятивистским, найти угол между направлениями его движения до и после пролета конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь.
Решение
Выберем систему координат таким образом, чтобы ось $x$ была параллельна пластинам, а ось $y$ — перпендикулярна им. Пусть также протон влетает в конденсатор вдоль оси $x$. Скорость $V_{\mathrm{x}}$, с которой протон влетает в конденсатор, найдем при помощи закона сохранения энергии: $e U=m V_{\mathrm{x}}^{2} / 2$, откуда $V_{\mathrm{x}}=(2 e U / m)^{1 / 2}$. Эта компонента скорости не будет меняться во время движения протона. Найдем теперь время пролета протона через конденсатор: $\tau=l / V_{\mathrm{x}}$. Ускорение протона вдоль оси $y$ имеет вид: $a_{\mathrm{y}}=e \varepsilon t / m$. Интегрируя это соотношение по времени от нуля до $\tau$, найдем компоненту скорости $V_{y}$, которую будет иметь протон, вылетая из конденсатора: $V_{\text {у }}=e \varepsilon \tau^{2} / 2 m$. Отсюда найдем тангенс угла отклонения $\operatorname{tg} \alpha=V_{\mathrm{y}} / V_{\mathrm{x}}=\varepsilon l^{2} \sqrt{m / 32 e U^{3}}$.
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha=\varepsilon l^{2} \sqrt{m / 32 e U^{3}}$.
3.6.11. Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $U$, выходит из точки А вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии $l$ от точки А при двух последовательных значениях индукции магнитного поля $B_{1}$ и $B_{2}$. Найти удельный заряд $q / m$ частиц.
Решение
Рассмотрим частицу, влетевшую в магнитное поле со скоростью $V$ под углом $\alpha$ к линиям магнитной индукции. В этом случае частица будет двигаться по винтовой линии, ось которой совпадает с направлением вектора магнитной индукции $\boldsymbol{B}$. Шаг винтовой линии равен $h=V T \cos \alpha$, где $T=2 \pi m / q B$ — период обращения частицы в магнитном поле. Если $\alpha<<1$, то шаг винтовой линии перестает зависеть от $\alpha . h=2 \pi m V / q B$.

Заряженные частицы в слабо расходящемся пучке будут двигаться по винтовым линиям с одинаковым шагом. Следовательно, они будут фокусироваться в тех точках, расстояние от которых до точки А равно целому числу шагов винтовой линии. Соответствующие соотношения для полей $B_{1}$ и $B_{2}$ имеют вид:
\[
\frac{l}{\left(2 \pi m V / q B_{1}\right)}=n, \frac{1}{\left(2 \pi m V / q B_{2}\right)}=n+1,
\]

где $n$ — целое число. Выражая скорость $V$ через $U$ с помощью соотношения $V=(2 q U / m)^{1 / 2}$, решим систему (1) относительно $q / m$. В результате получим
\[
\frac{q}{m}=\frac{8 \pi^{2} U}{l^{2}\left(B_{2}-B_{1}\right)^{2}} .
\]

Ответ: $\quad \frac{q}{m}=\frac{8 \pi^{2} U}{l^{2}\left(B_{2}-B_{1}\right)^{2}}$.
3.6.12. С поверхности цилиндрического провода радиуса $a$, по которому течет постоянный ток $I$, вылетает электрон с начальной скоростью $v_{0}$, перпендикулярной к поверхности провода. На какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока?
Решение
Направим ось $x$ декартовой системы координат перпендикулярно оси провода, а ось $y$ — вдоль нее. Рассмотрим заряд, двигающийся в плоскости $x y$. Магнитная индукция поля, создаваемого проводом с током может быть найдена с помощью теоремы о циркуляции (3.5.2) (см. также задачу 3.5.1): $B=\mu_{0} I / 2 \pi x$. При движении заряда в магнитном поле его скорость остается неизменной. Поэтому, радиус кривизны траектории электрона в точке на расстоянии $x$ от оси провода найдем, записав уравнение его движения: $m v_{0}^{2} / R=e v_{0} B$. Отсюда
\[
R=m v_{0} / e B=\frac{2 \pi m v_{0} x}{\mu_{0} e I} .
\]

Пусть $\theta$ — угол между осью $x$ и касательной к траектории. Тогда $d x=R d \theta \cos \theta$, или $\cos \theta d \theta=d x / R$. Когда координата $x$ меняется от $a$ до максимального расстояния $r_{\mathrm{m}}$, на которое удаляется электрон от оси провода, угол $\theta$ меняется от нуля до $\pi / 2$. Поэтому
\[
\int_{0}^{\pi / 2} \cos \theta d \theta=\int_{a}^{r_{\mathrm{m}}} d x / R .
\]

Произеедя элементарное интегрирование, получим соотношение:
\[
\ln \left(r_{\mathrm{m}} / a\right)=\frac{2 \pi m v_{0}}{\mu_{0} e I},
\]

из которого найдем
\[
r_{\mathrm{m}}=a \exp \left(\frac{2 \pi m v_{0}}{\mu_{0} e I}\right) .
\]
\[
\text { Ответ: } r_{\mathrm{m}}=a \exp \left(\frac{2 \pi m v_{0}}{\mu_{0} e I}\right) \text {. }
\]