Основные формуль
— Условие квантования Бора: момент импульса электрона на стационарных круговых орбитах определяется выражением
$$L=mv{r}_{\mathrm{n}}=n\hslash (n=1,2,3,\dots )$$

где $m$ — масса электрона, $v$ — его скорость, $r_{\mathrm{n}}$ — радиус круговой орбиты в состоянии с главным квантовым числом $n$.
— Энергия электрона находящегося на $n$-ой орбите равна
$$E_{\mathrm{n}}=-\frac{Z^{2}R\hslash }{n^2},$$

где
$$R=\frac{m{k}^2{e}^4}{2{\hslash }^3}=2,07\cdot {10}^{16}{c}^{-1},$$
$R$ — постоянная Ридберга, $Z$ — порядковый номер водородоподобного иона; $m,e$ — масса и заряд электрона соответственно, $k=1/\left(4\pi {\epsilon }_0\right),{\epsilon }_0$ электрическая постоянная.
— Радиус $n$-ой боровской орбиты водородоподобного иона определяется выражением

$$r_{\mathrm{n}}=\frac{{\hslash }^2}{kmZ{e}^2}{n}^2.$$
— Частота фотона, испускаемого при переходе электрона с $n$-го на $m$-ый уровень определяется обобщенной формулой Бальмера
$${\omega }_{\mathrm{nm}}=R{Z}^2(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}).$$

Примеры решения задач
7.5.1. Частица массы $m$ движется по круговой орбите в центральносимметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния $r$ до центра поля как $U=\kappa r^2/2,\kappa$ — положительная постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значение полной энергии частицы в данном поле.
Решение
Сила, действующая на частицу в данном потенциальном поле, определяется выражением
$$\mathrm{F}=-ablaU(r)=-\kappa \mathrm{r},$$

где $\mathrm{r}$ — радиус-вектор частицы. Предположим, что частица движется по круговой орбите. Согласно условию квантования Бора (7.5.1) радиус орбиты $r_n$ должен быть связан с модулем скорости $v$ соотношением
$$mv{r}_{\mathrm{n}}=n\hslash ,$$

где $n=1,2,\dots$ — главное квантовое число, принимающее целочисленные значения. С другой стороны, запишем обычное классическое уравнение, связывающее скорость и радиус орбиты при движении частицы в силовое поле (1) (второй закон динамики Ньютона)
$$\frac{m{v}^2}{r_{\mathrm{n}}}=\kappa r_{\mathrm{n}}.$$

С помощью формул (2), (3) находим
$$r_{\text{п }}=\sqrt{\frac{\hslash n}{m{\omega }_0}},$$

где ${\omega }_0=\sqrt{\kappa /m}$. Из равенства (3) следует, что кинетическая энергия выражается через потенциальную энергию соотношением

$$\frac{m{v}^2}{2}=\frac{1}{2}\kappa r_{\mathrm{n}}^2=U\left(r_{\mathrm{n}}\right).$$

Поэтому полная энергия частицы в состоянии с главным квантовым числом $n$ равна
$$E_{\mathrm{n}}=\frac{m{v}^2}{2}+U\left(r_{\mathrm{n}}\right)=2U\left(r_{\mathrm{n}}\right)=\hslash {\omega }_{0}n.$$

Ответ: $r_{\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{\hslash n}{m{\omega }_0}};E_{\mathrm{n}}=\hslash {\omega }_{0}n$, где ${\omega }_0=\sqrt{\kappa /m},n=1,2\dots$
7.5.2. Определить $\omega$ — круговую частоту обращения электрона на $n$ ой круговой орбите водородоподобного иона. Вычислить эту величину для иона ${\mathrm{He}}^{+}$при $n=2$.
Решение
Частоту $\omega$ обращения электрона на $n$-ой круговой орбите водородоподобного иона вычислим по формуле
$$\omega =\frac{2\pi }{T},$$

где
$$T=\frac{2\pi r_{\text{п }}}{v}$$
— период обращения электрона. Таким образом,
$$\omega =\frac{v}{r_{\mathrm{n}}}.$$

Радиус $n$-ой боровской орбиты определяется выражением (7.5.4). Скорость электрона на этой орбите находим с помощью условия квантования Бора (7.5.1) по формуле
$$v=\frac{\hslash n}{m{r}_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{Z}{e}^{2}k}{\hslash n}.$$

Подставляя выражения (7.5.4) и (4) в (3), находим
$$\omega =\frac{k^2{Z}^2{e}^{4}m}{{\hslash }^3{n}^3}=\frac{2Z^2}{n^3}R.$$

Для иона ${\mathrm{He}}^{+}$следует положить $Z=2$. Для уровня с $n=2$ величина $2Z^2/n^3=1$, поэтому $\omega =R=2,07\cdot {10}^{16}{c}^{-1}$.

Ответ: $\omega =\frac{k^2{Z}^2{e}^{4}m}{{\hslash }^3{n}^3}=\frac{2Z^2}{n^3}R;\omega =R=2,07\cdot {10}^{16}{c}^{-1}$ при $Z=2,n=2$.
7.5.3. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся, атомом водорода один из них оказался способным испустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атома находятся в основном состоянии.
Решение
Найдем, прежде всего, скорость движения центра масс двух атомов водорода
$${\mathrm{v}}_0=\frac{1}{2}\mathrm{v},$$

где $\mathrm{v}$ — скорость налетающего атома водорода в лабораторной системе отсчета. Таким образом, модуль скорости каждого из атомов водорода в системе центра масс равен $v_0$, а их общая кинетическая энергия в этой системе отсчета вычисляется по формуле
$$T_0=M{v}_0^2=\frac{1}{4}M{v}^2=\frac{1}{2}T,$$

где $M$ — масса атома водорода, $T$ — кинетическая энергия налетающего атома в лабораторной системе отсчета.

Минимальное значение $T_0$, необходимое для возбуждения одного из атомов из основного состояния ( $n=1$ ) в первое возбужденное состояние ( $n=2$ ), согласно формуле (7.5.5) определяется выражением (при $Z=1$ )
$$T_{0min}=\hslash {\omega }_{21}=\frac{3}{4}\hslash R.$$

С помощью формул (2), (3) находим минимальное значение кинетической энергии налетающего атома водорода $T$ в лабораторной системе отсчета $T_{min}=\frac{3}{2}\hslash R=20,5$ эВ.
Ответ: $T_{min}=\frac{3}{2}\hslash R=20,5$ эВ.