Основные формуль
– Условие квантования Бора: момент импульса электрона на стационарных круговых орбитах определяется выражением
\[
L=m v r_{\mathrm{n}}=n \hbar \quad(n=1,2,3, \ldots)
\]

где $m$ – масса электрона, $v$ – его скорость, $r_{\mathrm{n}}$ – радиус круговой орбиты в состоянии с главным квантовым числом $n$.
– Энергия электрона находящегося на $n$-ой орбите равна
\[
E_{\mathrm{n}}=-\frac{Z^{2} R \hbar}{n^{2}},
\]

где
\[
R=\frac{m k^{2} e^{4}}{2 \hbar^{3}}=2,07 \cdot 10^{16} c^{-1},
\]
$R$ – постоянная Ридберга, $Z$ – порядковый номер водородоподобного иона; $m, e$ – масса и заряд электрона соответственно, $k=1 /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right), \varepsilon_{0}$ электрическая постоянная.
– Радиус $n$-ой боровской орбиты водородоподобного иона определяется выражением

\[
r_{\mathrm{n}}=\frac{\hbar^{2}}{k m Z e^{2}} n^{2} .
\]
– Частота фотона, испускаемого при переходе электрона с $n$-го на $m$-ый уровень определяется обобщенной формулой Бальмера
\[
\omega_{\mathrm{nm}}=R Z^{2}\left(\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right) .
\]

Примеры решения задач
7.5.1. Частица массы $m$ движется по круговой орбите в центральносимметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния $r$ до центра поля как $U=\kappa r^{2} / 2, \kappa$ – положительная постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значение полной энергии частицы в данном поле.
Решение
Сила, действующая на частицу в данном потенциальном поле, определяется выражением
\[
\mathrm{F}=-
abla U(r)=-\kappa \mathrm{r},
\]

где $\mathrm{r}$ – радиус-вектор частицы. Предположим, что частица движется по круговой орбите. Согласно условию квантования Бора (7.5.1) радиус орбиты $r_{n}$ должен быть связан с модулем скорости $v$ соотношением
\[
m v r_{\mathrm{n}}=n \hbar,
\]

где $n=1,2, \ldots$ – главное квантовое число, принимающее целочисленные значения. С другой стороны, запишем обычное классическое уравнение, связывающее скорость и радиус орбиты при движении частицы в силовое поле (1) (второй закон динамики Ньютона)
\[
\frac{m v^{2}}{r_{\mathrm{n}}}=\kappa r_{\mathrm{n}} .
\]

С помощью формул (2), (3) находим
\[
r_{\text {п }}=\sqrt{\frac{\hbar n}{m \omega_{0}}},
\]

где $\omega_{0}=\sqrt{\kappa / m}$. Из равенства (3) следует, что кинетическая энергия выражается через потенциальную энергию соотношением

\[
\frac{m v^{2}}{2}=\frac{1}{2} \kappa r_{\mathrm{n}}^{2}=U\left(r_{\mathrm{n}}\right) .
\]

Поэтому полная энергия частицы в состоянии с главным квантовым числом $n$ равна
\[
E_{\mathrm{n}}=\frac{m v^{2}}{2}+U\left(r_{\mathrm{n}}\right)=2 U\left(r_{\mathrm{n}}\right)=\hbar \omega_{0} n .
\]

Ответ: $r_{\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{\hbar n}{m \omega_{0}}} ; E_{\mathrm{n}}=\hbar \omega_{0} n$, где $\omega_{0}=\sqrt{\kappa / m}, n=1,2 \ldots$
7.5.2. Определить $\omega$ – круговую частоту обращения электрона на $n$ ой круговой орбите водородоподобного иона. Вычислить эту величину для иона $\mathrm{He}^{+}$при $n=2$.
Решение
Частоту $\omega$ обращения электрона на $n$-ой круговой орбите водородоподобного иона вычислим по формуле
\[
\omega=\frac{2 \pi}{T},
\]

где
\[
T=\frac{2 \pi r_{\text {п }}}{v}
\]
– период обращения электрона. Таким образом,
\[
\omega=\frac{v}{r_{\mathrm{n}}} .
\]

Радиус $n$-ой боровской орбиты определяется выражением (7.5.4). Скорость электрона на этой орбите находим с помощью условия квантования Бора (7.5.1) по формуле
\[
v=\frac{\hbar n}{m r_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{Z} e^{2} k}{\hbar n} .
\]

Подставляя выражения (7.5.4) и (4) в (3), находим
\[
\omega=\frac{k^{2} Z^{2} e^{4} m}{\hbar^{3} n^{3}}=\frac{2 Z^{2}}{n^{3}} R .
\]

Для иона $\mathrm{He}^{+}$следует положить $Z=2$. Для уровня с $n=2$ величина $2 Z^{2} / n^{3}=1$, поэтому $\omega=R=2,07 \cdot 10^{16} c^{-1}$.

Ответ: $\omega=\frac{k^{2} Z^{2} e^{4} m}{\hbar^{3} n^{3}}=\frac{2 Z^{2}}{n^{3}} R ; \omega=R=2,07 \cdot 10^{16} c^{-1}$ при $Z=2, n=2$.
7.5.3. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся, атомом водорода один из них оказался способным испустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атома находятся в основном состоянии.
Решение
Найдем, прежде всего, скорость движения центра масс двух атомов водорода
\[
\mathrm{v}_{0}=\frac{1}{2} \mathrm{v},
\]

где $\mathrm{v}$ – скорость налетающего атома водорода в лабораторной системе отсчета. Таким образом, модуль скорости каждого из атомов водорода в системе центра масс равен $v_{0}$, а их общая кинетическая энергия в этой системе отсчета вычисляется по формуле
\[
T_{0}=M v_{0}^{2}=\frac{1}{4} M v^{2}=\frac{1}{2} T,
\]

где $M$ – масса атома водорода, $T$ – кинетическая энергия налетающего атома в лабораторной системе отсчета.

Минимальное значение $T_{0}$, необходимое для возбуждения одного из атомов из основного состояния ( $n=1$ ) в первое возбужденное состояние ( $n=2$ ), согласно формуле (7.5.5) определяется выражением (при $Z=1$ )
\[
T_{0 \min }=\hbar \omega_{21}=\frac{3}{4} \hbar R .
\]

С помощью формул (2), (3) находим минимальное значение кинетической энергии налетающего атома водорода $T$ в лабораторной системе отсчета $T_{\min }=\frac{3}{2} \hbar R=20,5$ эВ.
Ответ: $T_{\min }=\frac{3}{2} \hbar R=20,5$ эВ.