Основные формуль
— Уравнение движения осциллятора с учетом затухания
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k x-r \frac{d x}{d t}
\]

Последний член в (4.2.1) представляет собой силу сопротивления среды, которая пропорциональна скорости тела; $r$ носит название коэффициента сопротивления.
— Запишем (4.2.1) в другой форме
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+2 \beta \frac{d x}{d t}+\omega_{0}^{2} x=0,
\]

где коэффициент $\beta=r / 2 m$ — называется коэффициентом затухания, $\omega_{0}{ }^{2}=$ $k / m$
— Решение уравнения (4.2.2):
\[
x=a_{0} e^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha),
\]

где $a_{0}, \alpha$ — произвольные постоянные, $\omega=\left[\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right]^{1 / 2}$ — циклическая частота затухающих колебаний, $T=2 \pi / \omega$ — их период, $a(t)=a_{0} \exp (-\beta t)$ амплитуда затухающих колебаний.
— Логарифмический декремент затухания:
\[
\lambda=\ln [a(t) / a(t+T)]=\beta T,
\]

$N_{\mathrm{e}}=1 / \lambda$ — число колебаний, в течение которых амплитуда спадает в е раз.
— Добротность колебательной системы:
\[
Q=\pi \lambda=\pi N_{\mathrm{e}} .
\]
— Энергия осциллятора при слабом затухании ( $\beta<\omega_{0}$ ):
\[
E(t)=E_{0} \exp (-2 \beta t),
\]

где $E_{\mathrm{o}}=k a_{0}{ }^{2} / 2$ — энергия осциллятора при $t=0$. Из (4.2.6) следует, что $d E=2 \beta E d t$.
— Изменение энергии осциллятора за период:
\[
\Delta E=-2 \beta T E=-2 \lambda E
\]

Примеры решения задач
4.2.1. Точка совершает затухающие колебания с частотой $\omega=25 \mathrm{c}^{-1}$. Найти коэффициент затухания $\beta$, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в $\eta=1,02$ раза меньше амплитуды.
Решение
Смещение точки из положения равновесия при затухающих колебаниях описывается уравнением (4.2.3):
\[
x=a_{0} e^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha) .
\]

Из этого уравнения следует, что сдвиг фазы между смещением и скоростью точки отличается от $\pi / 2$. Отсюда следует, в частности, что максимальная величина смещения и минимальная величина скорости точки достигаются не одновременно. В этом одно из отличий затухающих и незатухающих колебаний.
Дифференцируя (1) по времени, найдем скорость точки
\[
V(t)=a_{0} e^{-\beta t}[-\beta \cos (\omega t+\alpha)-\omega \sin (\omega t+\alpha)] .
\]

В соответствии с условием задачи
\[
\begin{array}{c}
V(0)=a_{0}[-\beta \cos (\alpha)-\omega \sin (\alpha)]=0, \\
x(0) / a_{0}=\cos \alpha=1 / \eta
\end{array}
\]

Отсюда получаем
\[
\operatorname{tg} \alpha=-\beta / \alpha, \quad \cos \alpha=1 / \eta .
\]

Поскольку $\beta$ и $\omega$ положительны, то из (2) следует, что $\alpha<0$. Далее из (2) получаем
\[
\beta=\omega|\operatorname{tg} \alpha|=\omega\left[1-\cos ^{2} \alpha\right]^{2} / \cos \alpha=\omega\left[\left(1 / \cos ^{2} \alpha\right)-1\right]^{1 / 2}=\omega\left[\eta^{2}-1\right]^{1 / 2} .
\]

Ответ: $\beta=\omega\left[\eta^{2}-1\right]^{1 / 2}$.
4.2.2. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания $\lambda_{0}=1.5$. Каким будет значение $\lambda$, если сопротивление среды увеличить в $n=2$ раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?
Решение
В соответствии с формулами (4.2.3) и (4.2.4) имеем
\[
\lambda=\beta T=\frac{2 \pi \beta}{\left[\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right]^{1 / 2}}
\]

Из (1) при $\lambda=\lambda_{0}, \beta=\beta_{0}$ получаем (коэффициент затухания $\beta_{0}$ соответствует случаю, когда логарифмический декремент затухания равен $\left.\lambda_{0}\right)$
\[
\lambda_{0}=\beta_{0} T=\frac{2 \pi \beta_{0}}{\left[\omega_{0}{ }^{2}-\beta_{0}{ }^{2}\right]^{1 / 2}} .
\]

Возводя обе части равенства (2) в квадрат и разрешая полученное уравнение относительно $\beta_{0}$, получаем
\[
\beta_{0}=\frac{\lambda_{0} \omega_{0}}{\left[4 \pi^{2}+\lambda_{0}^{2}\right]^{1 / 2}} .
\]

Для случая, когда коэффициент $\beta$ увеличен по условию задачи по сравнению с первоначальным значением в $n=\beta / \beta_{0}=2$ раза, получаем, используя (1) и (3)
\[
\begin{array}{l}
\lambda=\frac{2 \pi n \beta_{0}}{\left[\omega_{0}{ }^{2}-\left(n \beta_{0}\right)^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{2 \pi}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{n \beta_{0}}\right)^{2}-1\right]^{1 / 2}}= \\
=\frac{2 \pi}{\left[\frac{\omega_{0}{ }^{2}\left(4 \pi^{2}+\lambda_{0}{ }^{2}\right)}{\left(n \lambda_{0} \omega_{0}\right)^{2}}-1\right]^{1 / 2}}=\frac{2 \pi n \lambda_{0}}{\left[4 \pi^{2}+\lambda_{0}{ }^{2}\left(1-n^{2}\right)\right]^{1 / 2}} .
\end{array}
\]

Полагая в (4) $n=2$, получаем $\lambda_{1} \cong 3,3$. Колебания маятника станут невозможны при $\lambda=\infty$. Это реализуется в случае, когда знаменатель в (4) обращается в нуль. В результате приходим к уравнению
\[
1+\left(1-n^{2}\right)\left(\lambda_{0} / 2 \pi\right)^{2}=0
\]

откуда
\[
n^{\prime}=\left[1+\left(2 \pi / \lambda_{0}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \cong 4,3 .
\]

Ответ: $\left.\lambda_{1}=n \lambda_{0} /\left[1+\left(1-n^{2}\right) \lambda_{0} / 2 \pi\right)^{2}\right]^{1 / 2}=3,3$;
\[
n^{\prime}=\left[1+\left(2 \pi / \lambda_{0}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \cong 4,3
\]
4.2.3. Найти добротность математического маятника длины $l=$ 50 см, если за промежуток времени $\tau=5,2$ мин его полная механическая энергия уменьшилась в $\eta=4 \times 10^{4}$ раз.
Решение
Согласно формуле (4.2.5)
\[
Q=\frac{\pi}{\lambda}=\frac{\pi}{\beta T},
\]

где $T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{\left[\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right]^{1 / 2}}, \omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{l}}$ — собственная частота незатухающих колебаний математического маятника.

Предположим, что затухание в системе мало. В этом случае, согласно (4.2.6)
\[
E(t)=E_{0} \exp (-2 \beta t) .
\]

Отсюда найдем $\beta$
\[
\beta=\frac{1}{2 \tau} \ln \left[\frac{E_{0}}{E(\tau)}\right]=\frac{\ln \eta}{2 \tau} .
\]

Подставляя выражение для $T$ и $\beta$ в формулу для $Q$, получим
\[
Q=\frac{\pi\left[\omega_{0}{ }^{2}-\beta^{2}\right]^{1 / 2}}{\beta 2 \pi}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\beta}\right)^{2}-1\right]^{1 / 2}=\frac{1}{2}\left[\frac{4 \tau^{2} \omega_{0}{ }^{2}}{i n^{2} \tau}-1\right]^{1 / 2}=\frac{1}{2}\left[\frac{4 g \tau^{2}}{l \cdot \ln \tau}-1\right]^{1 / 2}
\]

Так как $N_{\mathrm{e}}=Q / \pi \gg 1$, то колебания действительно слабо затухающие, и, следовательно, предположение, сделанное выше, верно.
Ответ: $Q=\frac{1}{2}\left[\frac{4 g \tau^{2}}{l \cdot \ln \tau}-1\right]^{1 / 2} \cong 130$.