Основные формулы
– Уравнение плоской незатухающей волны, движущейся вдоль оси X
\[
\xi=a \cos (\omega t-k x)
\]

где $\xi$ – смещение частиц среды из положения равновесия, а – амплитуда смещения, $\omega$ – циклическая частота, $k=2 \pi \lambda \lambda$ – волновое число, $\lambda$ – длина волны.
– Уравнение плоской затухающей волны, движущейся вдоль оси х
\[
\xi(x, t)=a e^{-j x} \cos (\omega t-k x),
\]

где $j$ – коэффициент затухания волны.
– Уравнение плоской волны, движущейся в произвольном направлении в пространстве
\[
\xi(\boldsymbol{r}, t)=a \cos (\omega \mathrm{t}-\boldsymbol{k}),
\]

где $\boldsymbol{r}$ – радиус- вектор точки наблюдения; $\boldsymbol{k}=k \boldsymbol{n}=\frac{2 \pi}{\lambda} \boldsymbol{n}$ – волновой вектор; $\boldsymbol{n}=(\alpha, \beta, \gamma)$ – единичный вектор параллельный $\boldsymbol{k} ; \alpha, \beta, \gamma-$ направляющие косинусы вектора $n$.
– Фазовая скорость волны, т.е. скорость перемещения поверхности постоянной фазы, направленная вдоль нормали к этой поверхности параллельно вектору $\boldsymbol{k}$.
\[
V=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T},
\]

где $T$ – период колебаний волны.
Примеры решения задач
4.4.1. Плоская волна с частотой $\omega$ распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей $x, y, z$ со скоростями соответственно $V_{1}, V_{2}, V_{3}$. Найти волновой вектор $k$, если орты осей координат $e_{x}, e_{y}, e_{z}$ заданы.

Решение
На рис. 4.8 схематически представлена плоская волна в некоторый момент времени распространяющаяся со скоростями вдоль осей $x, y, z$.
Рис. 4.8

Уравнение плоской волны имеет вид (см. (4.4.3) и (4.4.4))
\[
\xi=a \cos (\omega t-k r)=a \cos \left(\omega t-\frac{\omega}{V} n r\right)=a \cos \left[\omega t-\frac{\omega}{V}(\alpha x+\beta y+\gamma z)\right] .
\]

Положим $y=z=0$; тогда
\[
\xi=a \cos \left(\omega t-\frac{\omega}{V} \alpha x\right)=a \cos \left(\omega t-\frac{\omega}{V_{1}} x\right)=a \cos \left(\omega t-k_{x} x\right)
\]

Из (2) следует, что
\[
k_{x}=\frac{\omega}{(V / \alpha)}=\frac{\omega}{V_{1}} .
\]

Аналогично получаем выражения для $k_{y}$ и $k_{z}$
\[
k_{y}=\frac{\omega}{V_{2}}, k_{z}=\frac{\omega}{V_{3}} .
\]

Окончательно:
\[
\boldsymbol{k}=\omega\left(\boldsymbol{e}_{x} \frac{1}{V_{1}}+\boldsymbol{e}_{y} \frac{1}{V_{2}}+\boldsymbol{e}_{z} \frac{1}{V_{3}}\right),
\]

где $\boldsymbol{e}_{x}, \boldsymbol{e}_{y}, \boldsymbol{e}_{z}$ – единичные векторы, направленные вдоль осей $x, y, z$.
Ответ: $k=\omega\left(e_{x} \frac{1}{V_{1}}+e_{y} \frac{1}{V_{2}}+e_{z} \frac{1}{V_{3}}\right)$.
4.4.2 В среде $К$ распространяется упругая плоская волна $\xi=a \cos (\omega t-k x)$. Найти уравнение этой волны в системе отсчёта $\mathrm{K}^{\prime}$, движущейся в положительном направлении оси $x$ с постоянной скоростью $V$ по отношению к среде К.
Решение
Выберем в пространстве произвольную точку А. Координаты $x$ и $x^{\prime}$ точки А в системах $\mathrm{K}$ и $\mathrm{K}^{\prime}$ связаны между собой соотношением $x=$ $x^{\prime}+V t$.
Рис.4.9

Подставляя это соотношение в выражение для фазы волны, получим
\[
\begin{array}{c}
\omega t-k x=\omega t-k\left(x^{\prime}+V t\right)=(\omega-k V) t-k x^{\prime}= \\
=\left(\omega-\frac{\omega}{v} V\right) t-k x^{\prime}=\omega\left(1-\frac{V}{v}\right) t-k x^{\prime},
\end{array}
\]

где $v=\frac{\omega}{k}$ – фазовая скорость волны в среде
В результате получаем

\[
\xi=a \cos \left[\omega\left(1-\frac{V}{v}\right) t-k x^{\prime}\right] .
\]

Это соотношение описывает эффект Доплера в случае движения приемника излучения относительно среды со скоростью $V$.
Ответ: $\boldsymbol{\xi}=a \cos \left[\omega\left(1-\frac{V}{v}\right) t-k x^{\prime}\right]$.
4.4.3. В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида $\xi=a e^{-i x} \cos (\omega t-k x)$, где $a, j, \omega$ и $k$ – постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на $\eta=1,0 \%$, если $j=0,42 \mathrm{~m}^{-1}$ и длина волны $\lambda=50 \mathrm{~cm}$.
Решение
Амплитуды волн в точках с координатами $x_{1}$ и $x_{2}$ определяются выражениями $a_{1}=a e^{-j x_{1}}, a_{2}=a e^{-j x_{2}}$. По условию задачи
\[
\eta=\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{2}}=1-e^{-j\left(x_{2}-x_{1}\right)} .
\]

Отсюда $x_{2}-x_{1}=-\frac{\ln (1-\eta)}{j}$. Разность фаз волны в точках 1 и 2
\[
\begin{array}{c}
\Delta \varphi_{21}=-k\left(x_{2}-x_{1}\right)=\frac{k \ln (1-\eta)}{j}=\frac{2 \pi \cdot \ln (1-\eta)}{\lambda j}= \\
=\frac{2 \pi(-0,01)}{0,5 \cdot 0,42} \cong-0,3 \text { рад. }
\end{array}
\]

Окончательно получаем
\[
\Delta \varphi_{21}=\frac{2 \pi \cdot \ln (1-\eta)}{\lambda j}=-0.3 \text { рад. }
\]

Ответ: $\Delta \varphi_{21}=\frac{2 \pi \cdot \ln (1-\eta)}{\lambda j}=-0.3$ рад.